2020年中考数学压轴题突破专题5 二次函数与线段和角的数量关系问题

1、2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练专题05二次函数与线段和角的数量关系问题【真题再现】1（2019年宿迁28题）如图，抛物线yx2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，连接AC，点P在抛物线上，且满足PAB2ACO求点P的坐标；（3）如图，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由2（2019年盐城27题）如图所示，二次函数yk（x1）2+2的图象与一次函数ykxk+

2、2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k0（1）求A、B两点的横坐标；（2）若OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得ODC2BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由13（2018年常州28题）如图，二次函数ybx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）（1）b，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3

3、）连接AC、BC，判断CAB和CBA的数量关系，并说明理由4（2019年苏州28题）如图，抛物线yx2+（a+1）xa与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点eqoac(,C)已知ABC的面积是6（1）求a的值；（2）求ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为eqoac(,d)，QPB的面积为2d，且PAQAQB，求点Q的坐标25（2018年无锡28题）已知：如图，一次函数ykx1的图象经过点A（3，m）（m0），与y轴交于点B点C在线段AB上，且BC2AC，过

4、点C作x轴的垂线，垂足为点D若ACCD（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（，0），求这条抛物线的函数表达式6（2017年苏州28题）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OBOC点D在函数图象上，CDx轴，且CD2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点（1）求b、c的值；（2）如图，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N试

5、问：抛物线上是否存在点eqoac(,Q)，使得PQN与APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由【专项突破】【题组一】1（2020无锡模拟）如图，已知二次函数yax22ax+c（a0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C过点A的直线ykx+2k（k0）与这个二次函数的图象的另一个交点为F，与该图象的对称轴交于点E，与y轴交于点D，且DEEF（1）求点A的坐标；（2）若BDF的面积为12，求这个二次函数的关系式；3（3）设二次函数的顶点为P，连接PF，PC，若CPF2DAB，求此时二次函数的表达式2（2020镇江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函

6、数yx2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线yx2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PMy轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQAB于点Q，连接eqoac(,PB)，当PBQ中有某个角的度数等于OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标3（2020滨湖区模拟）已知二次函数yax2+4amx（m0）的对称轴与x轴交于点B，与直线l：y交于点C，点A是该二次函数图象与直线l在第二象限的交点，点D是抛物线的顶

7、点，已知AC：CO1：2，DOB45，ACD的面积为2（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点P为抛物线对称轴上的一个点，且POC45，求点P坐标44（2020营口模拟）如图1，抛物线yx2+mx+n交x轴于点A（2，0）和点B，交y轴于点C（0，2）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M在抛物线上，且eqoac(,S)AOM2eqoac(,S)BOC，求点M的坐标；（3）如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DNx轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值【题组二】5（2019梁溪区校级二模）已知，在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m），其中m0，与x轴相交于点B（4，0）抛物

8、线yax2+bx（a0）经过点B，它与直线l相交于另一点C（1）若AC：BC1：3，求a的值（用含m的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，若抛物线的顶点为F，其对称轴与直线l和x轴分别相交于点D、E，当以F、C、D为顶点的三角形与BED相似时，求抛物线的函数表达式6（2019邗江区校级二模）如图，抛物线yax2+3x+c（a0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OBOC4（1）求该抛物线的函数解析式（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CDOD交BC于点F，当eqoac(,S)COF：eqoac(,S)CDF4：3时，求点

9、D的坐标5（3）如图2，点E的坐标为（0，2），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的PBE中，是否存在点P，使PBE或PEB等于2OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由7（2019靖江市校级一模）如图，抛物线ymx216mx+48m（m0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E（1）若OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得ODBOAD，

10、且点D为线段AE的中点求m的值；此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n立，求实数n的最小值4my1250成8（2019姑苏区校级二模）已知抛物线经过点A（1，0）、点B（3，0）、点C（0，3），点D为抛物线在第一象限内图象上一动点，连接AD，交y轴于点E，将点C关于线段AD作轴对称，对称点为C，连接AC（1）求抛物线的解析式；（2）如图1如果点C落在x轴，求点E坐标；（3）如图2，连接AC、BC，BC与AD交于点F，拖动点D，点C落在第四象限，作FGAC，交x轴于点M，交AC于点G，若AGF90，求点M的横坐标6【题组三】9（2019宿豫区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线ya

11、x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，且抛物线经过点D（2，3）（1）求这条抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G在x轴上原抛物线上一点M平移后的对应点为点eqoac(,N)，如果AMN是以MN为底边的等腰三角形，求点N的坐标；（3）若点P为抛物线上第一象限内的动点，过点B作BEOP，垂足为E，点Q为y轴上的一个动点，连接QE、QD，试求QE+QD的最小值10（2019灌南县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx的图象经过点A（1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）M（

12、s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；连接MA、MB，若AMB不小于60，求t的取值范围711（2019润州区二模）如图，已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与直线AB相交，与x轴、y轴交于A（2，0）、B（1）求点O关于AB的对称点P的坐标；（2）若点P在二次函数yax2+bx+c（a0）的图象上，求二次函数yax2+bx+c（a0）的关系式（3）在（2）的条件下，在ABP内存在点M，使得MA+MB+MP的值最小，则相应点M的坐标为12（2019洪泽区二模）如图，抛物线yax2+bx+5经过A（1，0）和B（

13、5，0），与y轴交于点C点为点D，连接BC，BD点P是抛物线对称轴上的一个动点（1）a，b；（2）若CPB90，求点P的坐标；（3）是否存在点P，使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由（4）如图，抛物线对称轴交x轴于点E，设BDE的度数为a，点M是线段BC上动点，作射线AM，将AM绕A点逆时针旋转2a度，旋转后的射线交直线BC与点N，请直接写出MN的最小值（直接写出结果）8【题组四】13（2019高港区三模）定义：两条长度相等，且它们所在的直线互相垂直，我们称这两条线段互为等垂线段如图，直线y2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B（

14、1）若线段AB与线段BC互为等垂线段求A、B、C的坐标（2）如图，点D是反比例函数y的图象上任意一点，点E（m，1），线段DE与线段AB互为等垂线段，求m的值；（3）抛物线yax2+bx+c（a0）经过A、B两点用含a的代数式表示b点P为平面直角坐标系内的一点，在抛物线上存在点Q，使得线段PQ与线段AB互为等垂线段，且它们互相平分，请直接写出满足上述条件的a值14（2019丹阳市一模）如图（1），二次函数yax2bx（a0）的图象与x轴、直线yx的交点分别为点A（4，0）、B（5，5）（1）a，b，AOB；（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且PBOOBA，求点P的坐标；（3）如图

15、（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD2设点C的横坐标为m过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF当CF+DE取得最大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值15（2019建湖县二模）如图，二次函数yax23ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线yx+4经过点B、C9（1）求抛物线的表达式；（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由连接AC，当直线AM与直线BC的夹角ANB等

16、于ACB的2倍时，请求出点M的横坐标16（2019无锡二模）已知，如图，二次函数yax2+2ax3a（a0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：ykx对称（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BDAC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两动点，连接CN，NM、MD，求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值【题组五】17（2019兴化市二模）已知，关于x的二次函数yax22ax（a0）的顶点为C，与x轴交于点O、A，关于x的一次函数yax（a0）（1）试说明点C在一次函数的图象上；（

17、2）若两个点（k，y1）、（k+2，y2）（k0，2）都在二次函数的图象上，是否存在整数k，满足？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由；（3）若点E是二次函数图象上一动点，E点的横坐标是n，且1n1，过点E作y轴的平行线，与一次函数图象交于点F，当0a2时，求线段EF的最大值18（2019清江浦区一模）如图，抛物线yax2+bx+4（a0）与x轴交于点B（3，0）和C（4，0）与y轴交于点A10（1）a，b；t（2）点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向B运动，同时，点N从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BC向C运动，当点M到达B点时，两点停止运动为何值时，以B、M、N为顶

18、点的三角形是等腰三角形？（3）点P是第一象限抛物线上的一点，若BP恰好平分ABC，请直接写出此时点P的坐标19（2019常州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：ykx+m交y轴于点C，与抛物线yax2+bx交于点A（4，0）、B（，）（1）直线l的表达式为：，抛物线的表达式为：；（2）若点P是二次函数yax2+bx在第四象限内的图象上的一点，且2eqoac(,S)APBeqoac(,S)AOB，求AOP的面积；（3）若点Q是二次函数图象上一点，设点Q到直线l的距离为d，到抛物线的对称轴的距离为d1，当|dd1|2时，请直接写出点Q的坐标20（2019东台市模拟）如图，抛物线yax2+

19、bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：y径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值11x1于点F，以EF为直【题组六】21（2019昆山市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（a0）交x轴于点A（2，0），B（3，0），交y轴于点C，且经过点D（6，6），连接AD，BD（

20、1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点M为X轴上方的抛物线上一点，能否在点A左侧的x轴上找到另一点N，使得AMN与ABD相似？若相似，请求出此时点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与A，D重合），过点P作PQy轴交直线AD于点Q，以PQ为直径作E，则E在直线AD上所截得的线段长度的最大值等于（直接写出答案）22（2019泰兴市一模）如图1，抛物线l1：y1a（x2）2与直线l2：y2am（x2）+b（a，m，b为常数，a0，m0）交于A，B两点，直线l2交x轴交于点C点A的坐标为（m+2，n）（1）若a1，m3，则A的坐标为，b，点B的坐标为；

21、（2）已知点M（0，4），N（3，4），抛物线l1与线段MN有两个公共点，求a的取值范围；（3）如图1，求证：AB3AC；如图2，设抛物线顶点为F，直线l2交抛物线的对称轴于点D，直线l3：y32am（x2）+d（d为常数，d0）经过点A，并交抛物线的对称轴于点E，若BFDpAED12（p为常数），则p的值是否发生变化？若不变，请求出p的值；若变化，请说明理由23（2019铜山区二模）已知，如图，二次函数yax2+bx+c图象交x轴于A（1，0），交y轴于点C（0，3），D是抛物线的顶点，对称轴DF经过x轴上的点F（1，0）（1）求二次函数关系式；（2）对称轴DF与BC交于点M，点P为对称轴D

22、F上一动点求APPD的最小值及取得最小值时点P的坐标；在的条件下，把APF沿着x轴向右平移t个单位长度（0eqoac(,t)4）时，设APF与MBF重叠部分面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并求出S的最大值24（2019靖江市一模）如图1，将抛物线yax2（a0平移到顶点M恰好落在直线yx+3上，且抛物线过直线与y轴的交点A，设此时抛物线顶点的横坐标为m（m0）（1）用含m的代数式表示a；（2）如图2，RtCBT与抛物线交于C、D、T三点，B90，BCx轴，CD2BDtBT2eqoac(,t)，TDC的面积为4求抛物线方程；如图3，P为抛物线AM段上任一点，Q（0，4），连结QP并延长交线

23、段AM于N，求的最大值13参考答案【真题再现】1（2019年宿迁28题）如图，抛物线yx2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，连接AC，点P在抛物线上，且满足PAB2ACO求点P的坐标；（3）如图，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由【分析】（1）把点A、C坐标代入抛物线解析式即求得b、c的值（2）点P可以在x轴上方或下方，需分类讨论若点P在x轴下方，延长AP到H，使AH

24、AB构造等腰ABH，作BH中点G，即有PAB2BAG2ACO，利用ACO的三角函数值，求BG、BH的长，进而求得H的坐标，求得直线AH的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标若点P在x轴上方，根据对称性，AP一定经过点H关于x轴的对称点H，求得直线AH的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标（3）设点Q横坐标为t，用t表示直线AQ、BN的解析式，把x1分别代入即求得点M、N的纵坐标，再求DM、DN的长，即得到DM+DN为定值【解析】（1）抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），C（0，3）解得：抛物线的函数表达式为yx2+2x314（2）若点P在x轴下方，如图1，延长AP到H，使AH

25、AB，过点B作BIx轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HIBI于点I当x2+2x30，解得：x13，x21B（3，0）A（1，0），C（0，3）OA1，OC3，ACRtAOC中，sinACO，AB4，cosACOABAH，G为BH中点AGBH，BGGHBAGHAG，即PAB2BAGPAB2ACOBAGACORtABG中，AGB90，sinBAGBGABBH2BGHBI+ABGABG+BAG90HBIBAGACORtBHI中，BIH90，sinHBI，cosHBIHIBH，BIBHxH3，yH，即H（，）设直线AH解析式为ykx+a解得：直线AH：yx解得：（即点A

26、），P（，）若点P在x轴上方，如图2，15在AP上截取AHAH，则H与H关于x轴对称H（，）设直线AH解析式为ykx+a解得：直线AH：yx解得：（即点A），P（，）综上所述，点P的坐标为（，）或（，）（3）DM+DN为定值抛物线yx2+2x3的对称轴为：直线x1D（1，0），xMxN1设Q（t，t2+2t3）（3t1）设直线AQ解析式为ydx+e解得：直线AQ：y（t+3）xt3当x1时，yMt3t32t6DM0（2t6）2t+6设直线BQ解析式为ymx+n解得：直线BQ：y（t1）x+3t3当x1时，yNt+1+3t32t2DN0（2t2）2t+2DM+DN2t+6+（2t+2）8，为定值

27、16点睛：本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用第（2）题由于不确定点P位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算2（2019年盐城27题）如图所示，二次函数yk（x1）2+2的图象与一次函数ykxk+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k0（1）求A、B两点的横坐标；（2）若OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得ODC2BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由【分析】（1

28、）将二次函数与一次函数联立得：k（x1）2+2kxk+2，即可求解；（2）分OAAB、OAOB两种情况，求解即可；（3）求出mk2k，在AHM中，tanktanBECk+2，即可求解【解析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x1）2+2kxk+2，解得：x1和2，故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；（2）OA，当OAAB时，即：1+k25，解得：k2（舍去2）；当OAOB时，4+（k+2）25，解得：k1或3；17故k的值为：1或2或3；（3）存在，理由：当点B在x轴上方时，过点B作BHAE于点eqoac(,H)，将AHB的图形放大见右侧图形，过点A作HAB的角平分线交BH于点M，过点M作

29、MNAB于点N，过点B作BKx轴于点K，图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AHk，HB1，设：HMmMN，则BM1m，则ANAHk，AB，NBABAN，由勾股定理得：MB2NB2+MN2，即：（1m）2m2+（k）2，解得：mk2k，在AHM中，tanktanBECk+2，解得：k，此时k+20，则2k0，故：舍去正值，故k；当点B在x轴下方时，同理可得：tan解得：k或，ktanBEC（k+2），此时k+20，k2，故舍去，故k的值为：或点睛：本题为二次函数综合应用题，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，其中（3），通过tan2求出tan，是此类题目求解的一般方法3（2018年常州

30、28题）如图，二次函数ybx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）18（1）b，点B的坐标是（，0）；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断CAB和CBA的数量关系，并说明理由【分析】（1）由点A的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，代入y0求出x值，进而可得出点B的坐标；（2）解法一）代入x0求出y值，进而可得出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式，假设存在，设

31、点M的坐标为（m，m+2），分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况考虑，由点B、M的坐标结合PM：MB1：2即可得出点P的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论；（解法二）代入x0求出y值，进而可得出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式，过点B作BBy轴交直线AC于点B，过点P作PPy轴交直线AC于点P，由点B的坐标可得出BB的值，结合相似三角形的性质可得出PP的值，设点P的坐标为（x，x2x+2），则点P的坐标为（x，x+2），结合PP的值可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）（解法一）作CB

32、A的角平分线，交y轴于点E，过点E作EFBC于点F，设OEn，则CE2n，EFn，利用面积法可求出n值，进而可得出，结合AOC90BOE可证出AOCBOE，根据相似三角形的性质可得出CAOEBO，再根据角平分线的性质可得出CBA2EBO2CAB，此题得解；（解法二）将BC沿y轴对折，交x轴于点B，根据点A、B、C的坐标可得出点B的坐标，进而可得出ABBCBC，根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质，可得出CBA2CAB【解析】（1）点A（4，0）在二次函数ybx+2的图象上，b4b+20，19当y0时，有x2x+20，解得：x14，x2，点B的坐标为（，0）故答案为：；（，0）（2）（方法一

33、）当x0时，yx2x+22，点C的坐标为（0，2）设直线AC的解析式为ykx+c（k0），将A（4，0）、C（0，2）代入ykx+c中，得：，解得：，直线AC的解析式为yx+2假设存在，设点M的坐标为（m，m+2）当点P、B在直线AC的异侧时，点P的坐标为（m，m+3），点P在抛物线ym+3（mx2）2x+2上，（m）+2，整理，得：12m2+20m+9020eqoac(,2)4129320，方程无解，即不存在符合题意得点P；当点P、B在直线AC的同侧时，点P的坐标为（m，m+1），点P在抛物线ym+1（mx2）2x+2上，（m）+2，整理，得：4m2+44m90，20解得：m1点P的横坐标为

34、2，m2或2，综上所述：存在点P，使得PM：MB1：2，点P的横坐标为2或2（方法二）当x0时，yx2x+22，点C的坐标为（0，2）设直线AC的解析式为ykx+c（k0），将A（4，0）、C（0，2）代入ykx+c中，得：，解得：，直线AC的解析式为yx+2过点B作BBy轴交直线AC于点B，过点P作PPy轴交直线AC于点P，如图11所示点B的坐标为（，0），点B的坐标为（，BBBBPP，eqoac(,PP)eqoac(,M)BBM，），PP，设点P的坐标为（x，x2x+2），则点P的坐标为（x，x+2），PP|x2x+2（x+2）|x2x|，解得：x12，x22，21存在点P，使得PM：MB

35、1：2，点P的横坐标为2或2（3）（解法一）CBA2CAB，理由如下：作CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EFBC于点F，如图2所示点B（，0），点C（0，2），OB，OC2，BC设OEn，则CE2n，EFn，由面积法，可知：OBCEBCEF，即（2n）n，解得：n，AOC90BOE，AOCBOE，CAOEBO，CBA2EBO2CAB（解法二）CBA2CAB，理由如下：将BC沿y轴对折，交x轴于点B，如图3所示点B（，0），点C（0，2），点A（4，0），点B（AB，0），（4），BC，ABBCBC，CABACB，CBACBB22ABBCAB+ACB，CBA2CAB（点睛：题考查了二次函

36、数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）由点A的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出b的值；（2）解法一）分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况找出点P的坐标；（解法二）利用相似三角形的性质找出PP；（3）（解法一）构造相似三角形找出两角的数量关系；（解法二）根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质找出CBA2CAB4.（2019年苏州28题）如图，抛物线yx2+（a+1）xa与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点eqoac(,C)已知ABC的面积是6（1）求a的值

37、；（2）求ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为eqoac(,d)，QPB的面积为2d，且PAQAQB，求点Q的坐标【分析】（1）由yx2+（a+1）xa，令y0，即x2+（a+1）xa0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a3；（2）三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，求出两边垂直平分线，解交点可求出；（3）作PMx轴，则eqoac(,S)BAPABPM4d由eqoac(,S)PQBeqoac(,S)PAB可得A、Q到PB的距离相等，得到AQPB，求出直线PB的解析

38、式，以抛物线解析式联立得出点P坐标，由于PBQABP，可得PQAB4，利用两点间距离公式，解出m值【解析】（1）yx2+（a+1）xa令y0，即x2+（a+1）xa0解得x1a，x21由图象知：a0A（a，0），B（1，0）eqoac(,S)ABC623解得：a3，（a4舍去）（2）A（3，0），C（0，3），OAOC，线段AC的垂直平分线过原点，线段AC的垂直平分线解析式为：yx，由A（3，0），B（1，0），线段AB的垂直平分线为x1将x1代入yx，解得：y1ABC外接圆圆心的坐标（1，1）（3）作PMx轴交x轴于M，则eqoac(,S)BAPABPM4deqoac(,S)PQBeqoac

39、(,S)PABA、Q到PB的距离相等，AQPB设直线PB解析式为：yx+b直线经过点B（1，0）所以：直线PB的解析式为yx1联立解得：点P坐标为（4，5）又PAQAQB，BPAPBQ，APQB，在PBQ与BPA中，PBQABP（SAS），PQAB4设Q（m，m+3）由PQ4得：解得：m4，m8（当m8时，PAQAQB，故应舍去）Q坐标为（4，1）24点睛：本题考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，抛物线和直线“曲直”联立解交点，利用三角形的全等和二次函数的性质把数与形有机的结合在一起，转化线段长求出结果5.（2018年无锡28题）已知：如图，一次函数ykx1的图象经过点A（3，m

40、）（m0），与y轴交于点B点C在线段AB上，且BC2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D若ACCD（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（，0），求这条抛物线的函数表达式【分析】（1）利用三角形相似和勾股定理构造方程，求AC和m（2）由APQ90，构造PQDAPE构造方程求点P坐标可求二次函数解析式【解析】（1）过点A作AFx轴，过点B作BFCD于H，交AF于点F，过点C作CEAF于点E设ACn，则CDn点B坐标为（0，1）CHn+1，AFm+1CHAF，BC2AC25即：整理得：nRtA

41、EC中，CE2+AE2AC25+（mn）2n2把n5+（m代入）2（）2解得m15，m23（舍去）n3把A（3，5）代入ykx1得kyx1（2）如图，过点A作AECD于点E设点P坐标为（2，n），由已知n0由已知，PDx轴PQDAPE解得n17，n22（舍去）设抛物线解析式为ya（xh）2+kya（x2）2+7把A（3，5）代入ya（x2）2+726解得a抛物线解析式为：y【点评】本题综合考查二次函数和一次函数性质在解答过程中，应注意利用三角形相似和勾股定理构造方程，求出未知量2（2017年苏州28题）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OBOC点D在函数

42、图象上，CDx轴，且CD2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点（1）求b、c的值；（2）如图，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N试问：抛物线上是否存在点eqoac(,Q)，使得PQN与APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由OBOC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值；（2）可设F（0，m），则可表示出F的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的

43、解析式，把F坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；（3）设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QRPN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在RtQRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标，【解析】（1）CDx轴，CD2，抛物线对称轴为x1OBOC，C（0，c），B点的坐标为（c，0），270c2+2c+c，解得c3或c0（舍去），c3；（2）设点F的坐标为（0，m）对称轴为直线x1，点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）由（1）可知抛物线解析式为yx22x3（x1

44、）24，E（1，4），直线BE经过点B（3，0），E（1，4），利用待定系数法可得直线BE的表达式为y2x6点F在BE上，m2262，即点F的坐标为（0，2）；（3）存在点Q满足题意设点P坐标为（n，0），则PAn+1，PBPM3n，PNn2+2n+3作QRPN，垂足为R，eqoac(,S)PQNeqoac(,S)APM，QR1点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n1，n24n），R点的坐标为（n，n24n），N点的坐标为（n，n22n3）在RtQRN中，NQ21+（2n3）2，时，NQ取最小值1此时Q点的坐标为；点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n24）同理，NQ21+（2n1

45、）2，时，NQ取最小值1此时Q点的坐标为综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为或【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股28定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F点的坐标表示出F的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR的长，用勾股定理得到关于n的二次函数是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大【专项突破】【题组一】1（2020无锡模拟）如图，已知二次函数yax22ax+c（a0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C过点A的直线ykx+2k（k0）与这个二次函数的图象

46、的另一个交点为F，与该图象的对称轴交于点E，与y轴交于点D，且DEEF（1）求点A的坐标；（2）若BDF的面积为12，求这个二次函数的关系式；（3）设二次函数的顶点为P，连接PF，PC，若CPF2DAB，求此时二次函数的表达式【分析】（1）当y0时，kx+2k0，解得x2，则A（2，0）；（2）函数的对称轴为直线x1，则B点坐标为（4，0），则抛物线解析式为yax2+2ax+8a，eqoac(,S)BDFeqoac(,S)FABeqoac(,S)DAB，即可求解；（3）证明PCF为等腰三角形，故PG平分CPF，即CPF2CPG，则RtADORtPCG，即可求解【解析】（1）当y0时，kx+2k

47、0，解得x2，则A（2，0）；（2）二次函数yax2+2ax+c（a0）的图象的对称轴为直线x1，B点坐标为（4，0），把A（2，0）代入yax2+2ax+c得4a4a+c0，c8a，抛物线解析式为yax2+2ax+8a，DEEF，F点的横坐标为2，F（2，8a），把F（2，8a）代入ykx+2k得8a2k+2k，解得k2a，y2ax+4a，当x0时，y4a，则D（0，4a），29eqoac(,S)BDFeqoac(,S)FABeqoac(,S)DAB，（4+2）8a（4+2）4a12，解得a1，抛物线解析式为yx2+2x+8；（3）如图，连接CF交对称轴于G，过点D作DHPG交函数对称轴于点

48、H，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：c8a，故抛物线的解析式表示为yax22ax8a，则点C（0，8a），点P（1，9a），DEEF，EHDEGF（AAS），故DHGFGC，即点F、C关于抛物线对称轴对称，故点F（2，8a），CFx轴，G（1，8a），PCF为等腰三角形，PG平分CPF，即CPF2CPG，CPF2DAB，DABCPG，RtADORtPCG，解得a（舍去负值）（舍去），抛物线的解析式表示为yx2x+42（2020镇江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线yx2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点（1）求此抛物

49、线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PMy轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQAB于点Q，连接eqoac(,PB)，当PBQ中有某个角的度数等于OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标30【分析】（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A、B点坐标，代入列方程组可解答；（2）根据ADC90，ACDBCP，可知相似存在两种情况：当CBP90时，如图1，过P作PNy轴于eqoac(,N)，证明AOBBNP，列比例式可得结论；当CP

50、B90时，如图2，则B和P是对称点，可得P的纵坐标为2，代入抛物线的解析式可得结论；（3）分两种情况：当PBQ2OAB时，如图3，作辅助线，构建相似三角形，证明BOEHPB，得结论；，设P（x，x2x2），则H（x，x2），列方程可得当BPQ2OAB时，如图4，同理作辅助线，设点P（t，t2t2），则H（t，t2），根据面积法表示PQ的长，证明PBQEOF，可得BQ的长，最后根据勾股定理可得结论【解析】（1）令x0，得yx22，则B（0，2），令y0，得0 x2，解得x4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，2）代入yx2+bx+c（a0）中，得：解得：，抛物线的解析式为：yx2x2；（2

51、）PMy轴，ADC90，ACDBCP，以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：当CBP90时，如图1，过P作PNy轴于N，31设P（x，x2x2），则C（x，x2），ABO+PBNABO+OAB90，PBNOAB，AOBBNP90，AOBBNP，即，解得：x10（舍），x2，P（，5）；当CPB90时，如图2，则B和P是对称点，当y2时，x2x10（舍），x2P（，2）；x22，32综上，点P的坐标是（，5）或（，2）；（3）OA4，OB2，AOB90，BOA45，BQP2BOA，分两种情况：当PBQ2OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG

52、x轴于G，交直线AB于H，OEAE，OABAOE，OEB2OABPBQ，OBPG，OBEPHB，BOEHPB，由勾股定理得：ABBE，GHOB，即，BHx，2，设P（x，x2x2），则H（x，x2），PHx2（x2x2）x2+4x，33，解得：x10，x23，点P的横坐标是3；当BPQ2OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PGx轴于G，交直线AB于H，过O作OFAB于F，连接AP，则BPQOEF，设点P（t，t2t2），则H（t，t2），PHt2（t2t2）t2+4t，OB2，OA4，AB2，OEBEAE，OF，EF，eqoac(,S)ABP2PQ4（t2+4t），PQ，OFEP

53、QB90，PBQEOF，即，BQ，34BQ2+PQ2PB2，化简得，44t2388t+8030，即：（2t11）（22t73）0，解得：t15.5（舍），t2；综上，存在点eqoac(,P)，使得PBQ中有某个角的度数等于OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或3（2020滨湖区模拟）已知二次函数yax2+4amx（m0）的对称轴与x轴交于点B，与直线l：y交于点C，点A是该二次函数图象与直线l在第二象限的交点，点D是抛物线的顶点，已知AC：CO1：2，DOB45，ACD的面积为2（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点P为抛物线对称轴上的一个点，且POC45，求点P坐标【分析】（1）先表示出抛

54、物线的对称轴为直线x2m，则利用正比例函数解析式可表示出C（2m，eqoac(,m)），利用OBD为等腰直角三角形可表示出D（2m，2m），则CDm，作AHx轴于H，如图1，根据平行线分线段成比例定理得到BHOBm，于是可表示出A（3m，m），接下来利用三角形面积公式得到mm2，解求出m得到D点坐标，然后代入yax2+4amx中求出对应的a的值即可；（2）当点P在C点上方时，如图2，作PHOD于H，设P（4，eqoac(,t)），证明PDH为等腰直角三角形得到PHHD（t4），再证明RtPCHRtCOB得到；当点P在C点下方时，如图3，作CQOD于Q，设P（4，eqoac(,t)），易得CDQ

55、为等腰直角三角形，所以CQDQCD，再证明RtPOBRtCOQ得到，然后分别解关于t的方程即可得到对应的P点坐标；【解析】（1）抛物线的对称轴为直线x2m，当x2m时，yxm，则C（2m，m），35DOB45，OBD为等腰直角三角形，BDOB2m，则D（2m，2m），CDm，作AHx轴于H，如图1，BCAH，BH，OBm，OH3m，当x3m时，yxm，则A（3m，m），ACD的面积为2，mm2，解得m2，当m2时，D（4，4）把m2，D（4，4）代入yax2+4amx得16a32a4，解得a，抛物线解析式为yx22x；（2）C（4，2），B（4，0），OD4，当点P在C点上方时，如图2，作PH

56、OD于H，设P（4，t）DOBBDO45，PDHBDO45，PDH为等腰直角三角形，PHHD（t4），36POC45，PODCOB，RtPCHRtCOB，即，解得t12，P（4，12）；当点P在C点下方时，如图3，作CQOD于Q，设P（4，t）易得CDQ为等腰直角三角形，CQDQCD，OQ43，POC45，POBCOQ，RtPOBRtCOQ，即，解得t，P（4，），综上所述，P点坐标为（4，12）或（4，）4（2020营口模拟）如图1，抛物线yx2+mx+n交x轴于点A（2，0）和点B，交y轴于点C（0，2）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M在抛物线上，且eqoac(,S)AOM2eqo

57、ac(,S)BOC，求点M的坐标；（3）如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DNx轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值37【分析】（1）把A（2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式求解即可；（2）由（1）知，该抛物线的解析式为yx2x+2，则易得B（1，0）然后依据eqoac(,S)AOM2eqoac(,S)BOC列方程求解即可；（3）设直线AC的解析式为ykx+t，将A（2，0），C（0，2）代入可求得直线AC的解析式，设N点坐标为（x，x+2），（2x0），则D点坐标为（x，x2x+2），然后列出ND与x的函数关系式，最后再利用配方法求解即可【解析】（1）A（2，0），C（0，2

58、）代入抛物线的解析式yx2+mx+n，得，解得，抛物线的解析式为yx2x+2（2）由（1）知，该抛物线的解析式为yx2x+2，则易得B（1，0），设M（m，n）然后依据eqoac(,S)AOM2eqoac(,S)BOC列方程可得：AO|n|2OBOC，2|m2m+2|2，m2+m0或m2+m40，解得x0或1或，符合条件的点M的坐标为：（0，2）或（1，2）或（，2）或（，2）（3）设直线AC的解析式为ykx+b，将A（2，0），C（0，2）代入得到，解得，直线AC的解析式为yx+2，设N（x，x+2）（2x0），则D（x，x2x+2），ND（x2x+2）（x+2）x22x（x+1）2+1，1

59、0，x1时，ND有最大值1ND的最大值为1【题组二】5（2019梁溪区校级二模）已知，在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m），其中m0，与x轴相交于点B（4，0）抛物线yax2+bx（a0）经过点B，它与直线l相交于另一点C（1）若AC：BC1：3，求a的值（用含m的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，若抛物线的顶点为F，其对称轴与直线l和x轴分别相交于点D、E，当以F、C、D为顶点的三角形与BED相似时，求抛物线的函数表达式38【分析】（1）如图，过点C作CHOB于H，根据相似三角形的性质得到BH3，CH，求得OH1，得到C（1，），解方程组即可得到结论；（2）根据待定系数法

60、，可得b与a的关系，根据配方法，可得顶点坐标，根据平行线分线段成比例，可得OH的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据相似三角形的对应角相等，可得FCD90，根据相思三角形的性质，可得关于a的方程，根据抛物线的开口向上，可得a的值【解析】（1）如图，过点C作CHOB于H，CHOA，BHCBOA，点A（0，m），点B（4，0），OB4，OAm，BH3，CHOH1，C（1，解得：a），；（2）抛物线yax2+bx的图象过（4，0）点，16a+4b0，b4a，yax2+bxax24axa（x2）24a的对称轴是x2，F点坐标为（2，4a），BC：AC3：1过点F作FGOB，FG与HC交