2022年人教A版数学必修五第2章《等差等比数列》教案

1、名师精编 优秀教案等差数列与等比数列（1）一、课前检测、创设情境设数 列a n的前 n 项和为S 已知a15,a n1S n3 n,n* N 设b nS n3 n,求数列b n的通项公式；n 3,即S n12 S nn 3,解： 依题意,S n1S na n1S n由此得S n13 n12S n3 n3n2n；因此,所求通项公式为bnS n-二、学问梳理、复习回忆1. 在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d,S ,n 中任意三个,可求其余两个；解读：2. 补充的一条性质1）项数为奇数2n1的等差数列有：s 奇a nnn1s 奇s 偶a na 中,s 2n12 n1 a ns 偶2）项数为

2、偶数2n 的等差数列有：s 奇s 偶, s 偶s 奇nds 2nn a na n1a n1解读：an1and（定义）3. 等差数列的判定： an 为等差数列2an1anan2数” ）anAnB（关于n的“ 一次函数” ）即：anan1andd 为常数）SnAn2Bn（缺常数项的“ 二次函2anan1an1n,2nN*anknbs nAn2Bn；解读：名师精编 优秀教案4. 三个数成等差可设：a,ad,a2d 或 ad ,a,ad；四个数成等差可设：a3d,ad,a d,a3d. 解读：5等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式： an= a1+n

3、-1d=d n+ a1-d, a n 是关于 n 的一次式；从图像上看,表示等差数列的各点（ n, a ）匀称排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个 等差数列 .k=d= an a 1,d= a n a m,由此联想点列（n,an）所在直线的n 1 n m斜率 . 2）点 n, S n 在没有常数项的二次函数 S n pn 2qn 上；其中,公差不为 0. 解读：6. 等差数列前 n 项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质懂得）1）如等差数列a n的首项a 10,公差d0,就前 n 项和S 有最大值；n（）如已知通项a ,就S 最大a n10；a n0（）如

4、已知S n2 pnqn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时S 最大；2p2）如等差数列a n的首项a 10,公差d0,就前 n 项和S 有最小值（）如已知通项a ,就S 最小a n10；a n0（）如已知S n2 pnqn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时S 最小；n2p解读：名师精编 优秀教案7. 等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等定义通项公式求和公式等差数列a n为等差数列an+1-a n=d（常数）,nN+2an=an-1+an+1（ n2,nN+）1）a =a +（n-1 ）d=a +（n-k ）d；a =dn +a -dknb2）推广： an=am+（ nm）d. 3）

5、变式： a1=an（n1）d,d=ana 1,d=anam,由此联想点列 （ n,n1nman）所在直线的斜率. 1）Snna 12anna1n n1 ddn2a1dnAn2Bn2222）变式：a12an=Sn = na1a2nan=a1+（n1）d =an+（n1） （2d ） . 2等差中项重要性质其它性质1）等差中项： 如 a、b、c 成等差数列, 就 b 称 a 与 c 的等差中项, 且 b=a2c；a、b、 c 成等差数列是2b=a+c 的充要条件 .2 ）推广： 2a =a nmanm1 mnlkamana lak 反 之 不 一 定 成 立 ； 特 别 地 , 当mn2p 时 ,

6、 有aman2a ；特例： a1+an=a2+an-1=a3+an-2= ；2 下标成等差数列且公差为m的项 ak,ak+m,ak+2m, 组成的数列仍为等差数列,公差为md. 3 s n,s 2ns n,s 3ns 2n成等差数列；4 dana1amanmnn1mn5 d0a n为递增数列增减d0an为常数列性d0a n为递减数列1 an=am+（nm）d. 2 如数列 an 是公差为d 的等差数列,就数列 an+b （ 、b 为常数）是公差为 d 的等差数列； 如 bn 也是公差为d 的等差数列, 就 1an+2bn（1、2 为常数）也是等差数列且公差为1d+2d. 3 an=an+b,即

7、 an 是 n 的一次型函数,系数a 为等差数列的公差； Sn=an 2+bn,即 Sn 是 n 的不含常数项的二次函数；三、典型例题分析、引导名师精编优秀教案探究、当堂检测题型 1 等差数列的基本运算例 1 在等差数列 a n 中,1 已知 a1510,a45 90,求 a60；2 已知 S1284,S20 460,求 S28；3 已知 a610,S55,求 a8和 S8解： 1 方法一：a15a114 d810a 1882a 60 a159d 1308 13033a45a 144 d90d方法 2 danama45 a 153,anamn mda60a4560 45d 9015nm4515

8、32 不妨设 SnAn 2Bn,122A12B84A217202A20B460BS n2n21 7n S 282 28217 28 1092 3 S6S5a651015,又 S66a 1a66 a110156 a 110即 a1 5 而 da6 a13Sn n22261a8a62 d 16 S88 a 1a8 442变式训练 1设 an 为等差数列, Sn 为数列 an 的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn为数列 的前 n 项和,求 Tn. 解： 设等差数列 an 的公差为 d,就 Sn=na1+ 1 n（n1）d. S7=7,S15=75,27 a 1 21 d ,7即 a 1

9、 3 d ,1解得 a1=2, d=1. 15 a 1 105 d 75 , a 1 7 d 5 .Sn =a1+ 1 （n1）d=2+ 1 （n1）= n 5 . n 2 2 2Sn 1Sn = 1 . 数列 Sn 是等差数列,其首项为2,公差为 1 . n 1 n 2 n 2Tn= 1 n 29 n. 4 4小结与拓展： 基本量的思想：常设首项、公差及首项,公比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等；等差数列中,已知五个元素 两个 . a1,an,n,d,Sn 中的任意三个,便可求出其余题型 2 等差数列的判定与证明名师精编优秀教案例 2 已知数列 an 满意 2an1an an2 nN

10、 * ,它的前 n 项和为 Sn,且 a35,S636. 求数列 an 的通项公式；解： 2an1anan2, an 是等差数列,设 an的首项为 a1,公差为 d,由 a35,S636 得a12d5,解得 a11,d2. an2n1. 6a1 15d36n 变式训练 2 在数列 an 中, a11,an 12an2. 设 bnan 2 n 1,证明：数列 bn 是等差数列；证明： 由已知 an 12a n2n得 bn1an1 n 2a n22 2nan n11 bn 1. 2anan1（n又 b1a11,因此 b n 是首项为 1,公差为 1 的等差数列小结与拓展： 证明数列 an 是等差数

11、列的两种基本方法是：1）利用定义,证明2）为常数； 2）利用等差中项,即证明 题型 3 等差数列的性质2an=an1+an+1（n2）. 例 3 设等差数列na的首项及公差均是正整数,前n 项和为S ,且a 11,a 46,S 312,就a 2022=_ _ _答案： 4020 变式训练 3 在等差数列 an 中,已知 log2 a5a9 3,就等差数列 an 的前 13 项的和S13 _. 答案： 52 解： log 2 a5a9 3, a5a92 38. S1313 a1a13 213 a5a9213 8252. 小结与拓展： 解决等差（比）数 列的问题时,通常考虑两类方法：基本量法,即运用条件转化成关于 a1 和 d（q）的方程；奇妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）. 一般地,运用数列的性质,可化繁为简 . 四、归纳与总结（以同学为主,师生共同完成）1. “ 巧用性质、削减运算量” 在等差、等比数列的运算中特别重要,但用“ 基本量法” 并树立“ 目标意识” ,“ 需要什么,