2014年苏锡常镇高三数学一模试卷及参考答案(纯)

1、2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求本试卷共4页包含填空题（第1题一一第14题）、解答题（第15题一一第20题）.本卷满分160分，考试时间为120分钟考试结束后请将答题卡交回.答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整笔迹清楚.如需作图须用2B铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦

2、洗的圆珠笔.参考公式：柱体的体积公式：V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是高.直棱柱的侧面积公式：S直棱柱侧=ch，其中c是直棱柱的底面周长，h是高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答.题.卡.相.应.位.置.上.TOC o 1-5 h z1.已知集合A=1,2,3,4,B二m,4,7，若AQB=1,4），贝VAUB=若复数z=口（i为虚数单位），则丨zI=.-i已知双曲线兰-巴=1的离心率为丫3,则实数m的值为.m8一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：（10,20，2；（20,3）Q3；（30,40，4；（40,50，5；（50,60，

3、4；（60,70，2.则样本在（10,50上的频率是.TOC o 1-5 h z执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y等于.6.设函数f（x）=asinx+x2,若f（1）=0，则f（-1）的值为.7.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PA丄底面ABCD（第5题）且PA=4,则PC与底面ABCD所成角的正切值为.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为1（p已知tan（a+b）=,tanb=一，则tana+的值为.53I4丿10.设等差数列a的前n项和为S，若a=3,a=3,S=-12，则正整数k=nn1k+12k11已知正数x,y满足x

4、+2y=2，则X+8y的最小值为.xy12.如图，在ABC中，BO为边AC上的中线,BG二2GO，设CDAG,若AD=1AB+九AC(XeR)，则九的值为一513.已知函数f(x)二严Xx2)ex，x，g(x)=f(x)+2k，若函数g(x)恰x2+4x+3,x0,有两个不同的零点，则实数k的取值范围为D14.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆(第12题)C:x2+y22mx4y+m228=0内，动直线AB过点P且交圆C于A,B两点，若ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演

5、算步骤.15.(本小题满分14分)设函数f(x)=6cos2x2：3sinxcosx.求f(x)的最小正周期和值域；4(2)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f(B)=0且b=2，cosA=，求a和sinC.16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCABC中，侧面AABB为菱形，且11111ZAAB=60。，AC=BC，D是AB的中点.1求证：平面ADC丄平面ABC；1B求证：BC平面ADC11C(第16题)17.(本小题满分14分)一个圆柱形圆木的底面半径为lm,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等

6、腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C,D在半圆上），设ZBOC=q，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）.（1）求V关于0的函数表达式；（2）求q的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由.第17题）第18题）18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆艺+兰=1（ab0）上不同的三点a2b2厂A（32,3l2），B（-3,-3），C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上.21）求椭圆的标准方程；2）求点C的坐标；（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，

7、证明OMON为定值并求出该定值.19（本小题满分16分）设各项均为正数的数列a的前n项和为S,已知a二1，且（S+九）a二（S+1）a对一切neN*都nn1n+1nnn+1成立若久=1,求数列a的通项公式；n求久的值，使数列a是等差数列.n20(本小题满分16分)ex已知函数f(x)=mx-alnx-m,g(x)=-，其中m,a均为实数.ex(1)求g(x)的极值；(2)设m=1,a0恒成立，求a的若对任意的x,xe3,4(x丰x),f(x)一f(x)|121221最小值；设a=2,若对任意给定的xe(0,e，在区间(0,e上总存在t,t(t丰t),使得f(t)=f(t)=g(x)012121

8、20成立，求m的取值范围.数学11(附加题)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修41：几何证明选讲如图，OO为四边形ABCD的外接圆，且AB=AD,E是CB延长线上一点，直线EA与圆O相切.求证：CD_ABAB_BE第21-A题）B.选修42：矩阵与变换已知矩阵M=1221，卩=T_7_，计算M6卩.C.选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,圆的参数方程为F=2+2C0Sa（a为参数）,以坐标原点O为极点，x轴的y=2sina正半轴为极轴建立极坐标系.求：（1）

9、圆的直角坐标方程；（2）圆的极坐标方程.D.选修45：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|+|x-2-a2-2a，若函数f（x）的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答.题.卡.指.定.区.域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）2甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为2，且各次投篮的结果互不影3响甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次（1）求甲同学至少有4次投中的概率；（2）求乙同学投篮次数x的分布列和数学期望.23（本小题

10、满分10分）设S=C0-C1+C2+(l)mCm,m,neN*且mn,其中当n为偶数时，m-；当n为奇数时,nnn-1n-2n-m2n-1m-2（1）证明：当neN*,n三2时，SS-S；n+1nn-1(2)记S-Co-1,1C1+C2C3+C1007，求S的值.20142014201320132012201220112011100710072014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学I试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分8.9.】2飞3.44舟5636.2込13.13.1013119127_3、2，_2丿14.3+2/3,3+2叮7)U(3-2,3-2U3

11、二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.解：(1)f(x)=6x1+cos2x-、：3sin2x=3cos2x-*：3sin2x+3=2：3cos(2x+P)+3.3分6所以f(x)的最小正周期为T=空=p,4分2值域为3-2朽,3+2込.3(2)由f(B)=0，得cos(2BH)=-.62B为锐角，n2B+n7n，2B+n=5n,B=-666663*.*cosA=5，Ae(0,p)，.:sinA=12x3在ABC中，由正弦定理得a=鶉=誉匚4,32pv313+4x/3:sinC=sin(p-A-B)=sin(-A)=cosA+sinA=322101

12、6.(1)证明：JABBA为菱形，且ZAAB=60，111AAB为正三角形.1.D是AB的中点，AB丄AD.1JAC=BC,D是AB的中点，AB丄CD.-ADp|CD=D，:AB丄平面ADC.11JABu平面ABC，:平面ADC丄平面ABC.1(2)证明：连结CA，设ACfAC=E，连结DE.111J三棱柱的侧面AACC是平行四边形，E为AC中点.111在厶ABC中，又JD是AB的中点，DEBC.11JDEu平面ADC，BC平面ADC，:BC平面ADC.111116分9分10分12分14分2分4分6分8分10分12分14分17.解：(1)梯形ABCD的面积nSABCD=sinq=sinqcos

13、q+sinq，qe(0,牛2分体积V(q)=10(sinqcosq+sinq)，q-(0,J3分(2)V(q)=10(2cos2q+cosq-1)=10(2cosq-l)(cosq+1).令V(q)=0，得cosq=，或2cosq=-1(舍).qe(0,?)，q=彳5分当qe(0,彳)时，cosq0,V(q)为增函数;当qe（需）时，O叫2,V(q)0,V(q)为减函数.7分:当q=I时，体积V最大.8分木梁的侧面积$侧=如+2Bc+cD)10=20(cosq+2sin+1)，qe(0,切qpS=2Sabcd+%=2(sinqcosq+sinq)+20(cosq+2sin+1)，qe(0込)-

14、10分设g(q)=冋+2sinq+1，qe(0自g(q)=-2sin2+2sinq+2.当sinq=2，即q=p时，g（q）最大又由知q=七时,sinqcosq+sinq取得最大值，所以q=彳时，木梁的表面积S最大.综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大.12分分分18+2=1,解得a2=27,a2b22799+=1,b2=-2、a2b2X2+y=127272918.解：（1）由已知，得所以椭圆的标准方程为2分3分m-3n-3(2)设点C(m,n)(m0,n0),则BC中点为(-,-).22由已知，求得直线OA的方程为x-2y=0，从而-=2-3.又点C在椭圆上，-2+2-2=27.由，

15、解得-=3（舍），-=-1，从而=-5.5分所以点C的坐标为（-5,-1）.6分y+31二叶2y+3x+310P,C,N三点共线,y2+1二弟1,2y+5x+520p,b,m三点共线，.y+3整理，整理，3(yx)00 x2y3005yx00-x2y+300点C在椭圆上，x2+2y2=27,x2=272y2.00003(x2+5y2一6xy)3(3y2一6xy+27)从而yy=oo12x2+4y24xy900000002y24xy+18000=3x3二92245所以OM-ON=5yy=-.12245OMON为定值，定值为一219.解:(1)若久=1，则(S+1)an+1n二(S+1)an，an

16、+11厶S+11S+12.S+1an+1二一n+1，S+1ann+1aa二T3aa12an+1an化简，得S+1二2an+1n+1当n三2时,，得an+1二2a,n8分10分14分15分16分2分4分6分当n=1时,n=1时上式也成立,1100设P(x,y)，M(2y,y)，N(2y,y).22TOC o 1-5 h z数列a是首项为1，公比为2的等比数列，a=2n-1(neN*).8分nn令n=4得a2+1令n=2,得a3=+1)2-10分n213要使数列a是等差数列，必须有2a二a+a，解得久=0.11分当久=0时，Sa二(S+1)a，且a二a二1.n+1nnn+121当n22时，S(SS

17、)二(S+1)(SS),n+1nn1nn+1nS+1S整理，得S2+S=SS+S,n二n+1,13分nnS+1S+1从而3S+1S+112化简，得S+1=Snn+1n1n+1S+1Sn1nS+1SSSn=34n+1,n123n，所以a=1.15分n+1S+1SSS综上所述，a=1(neN*),所以启0时，数列a是等差数列.16分n20解:(1)g(x)=X，令g(x)=0，得x=1.1分exx(s,1)1(1,+8)g(x)+0g(x)/极大值列表如下:*g(1)=1，：y=g(x)的极大值为1,无极小值.3分(2)当m=1,a0在3,4恒成立，f(x)在3,4上为增函数.x设h(x)=-=e

18、x，h(x)=ex一1(x一D0在3,4恒成立，g(x)exx2h(x)在3,4上为增函数.4分5分设xx，21则f(x2)-f(x1)盘2等价于f(x)-f(x)h(x)-h(x)，2121艮卩f(x)一h(x)e21，:v(x)m21，m2占时，命题成立.22所以0-2.me22此时f(x)在(0,2)上递减，在(2,e)上递增,mm3f(e)三1，即f(e)=me一2一m三1，解得m2.e-1由，得m2.e一12Te(0,e,f()Wf(1)=0成立.m2下证存在te(0,，使得f(t)21.m2取t=e-m，先证e-m0.m3设w(x)=2ex-x，则w，(x)=2ex-10在,+)时

19、恒成立.e一133w(x)在,+8)时为增函数.w(x)2w()0,.成立.e一1e一1再证f(e-m)21.16分CDDAAB一BEAB=AD，CD=ABAB一BE10分3综上所述，m的取值范围为,+w).e-121、【选做题】在A、B、C、D四小题中只.能.选.做.两.题.，每小题10分，共计20分.A.选修41：几何证明选讲TOC o 1-5 h z证明：连结AC.EA是圆O的切线，ZEAB=ZACB.2分AB=AD，:ZACD=ZACB.ZACD=ZEAB.4分二圆O是四边形ABCD的外接圆，ZD=ZABE.6分8分ACDAsAABE.B.选修42：矩阵与变换解：矩阵M的特征多项式为f

20、(九)=-2X-1二11令f(X)=0,解得X=3,X=-1，对应的一个特征向量分别为a二，a=-5分12121令B=ma+na，得m=4,n=3.12M6B=M6(4a3a)=4(M6a)3(M6a)=4x3612123(1)612913291910分C.选修44：坐标系与参数方程解：(1)圆的直角坐标方程为(x2)2+y2=4.5分(2)把$=卩C0号代入上述方程，得圆的极坐标方程为p=4cos0.10分Iy=psin0,D.选修45：不等式选讲解：f(x)的最小值为3|a22a|,5分由题设，得a22a3，解得ae(1,3).10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分22.解：(1)设甲同学在5次投篮中，有x次投中，“至少有4次投中”的概率为P，贝9P=P(x=4)+P(x=5)2分=c4(3)4(13)1+C5(2)5(12)0=5331122434分(2)由题意x=1,2,3,4,5.P(x=1)=3?P(x=2)=1x2=2,339227了1YP(x=4)=-3k3丿2=23=81181(1、4P(x=5)=-k3丿x的分布表为x12345P22221392781818分10分x的数学期望Ex