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文档简介

1、线性方程组一、齐次线性方程组称为齐次线性方程组。系数矩阵方程组的矩阵形式齐次线性方程组解的性质显然是方程组的解；称为零解。若非零向量是方程组的解，则称为非零解，也称为非零解向量。性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即：性质2：令则V 构成一个向量空间。称为方程组的解空间。若齐次线性方程组的解空间存在一组基则方程组的全部解就是这称为方程组的通解。由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。定义：若齐次方程组的有限个解满足：则称 也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是基础解系的线性组合，即为：齐次线性方程组基础解系的求法1.行最简形矩阵：设 r(A) =r n ,且不妨设

2、A 中最左上角的 r 阶子式不为零。则经有限次行初等变换，矩阵 A 化为：显然：行最简形 为：真未知量自由未知量由自由未知量惟一确定从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都等于 n - r(A).综上有：必须牢记：基础解系所含向量的个数为 未知数个数减系数矩阵的秩。 推论1：对齐次线性方程组，有 若 r(A)=n 则方程组有惟一零解; 若 r(A)=rn ，则方程组有无数多解，其通解为例1：求方程组的通解解：同解方程组为基础解系为通解为步骤：(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；(2) 由行

3、最简形式确定真未知量和自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.例2：求方程组的通解同解方程组为基础解系为：例3：求方程组的通解例4：求方程组的通解Ex:推论2：n 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系 数行列式为零。二、非齐次线性方程组系数矩阵方程组的矩阵形式非齐次方程组的导出组（1）非齐次线性方程组的有解判定引进向量方程组的向量方程方程组（1）有解非齐次线性方程组的解法1.非齐次线性方程组解的性质性质1：非齐次方程组（1）的两个解的差是它的导出组的解。性质2：非齐次方程组（1）的一

4、个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组（1）的解。2.非齐次线性方程组的通解则非齐次方程组（1）的通解为定理：推论：通解为例1：求解方程组有解同解方程组为所以 基础解系为通解为例2：求方程组的通解同解方程组为有解基础解系为：非齐次方程组的求解步骤如何确定？ 注意什么？例3：求方程组的通解例4：求方程组的通解含参数的方程组在求解方程组之前，要先确定参数值。这是准则。而参数值的确定，要依据有解的条件即：一般而言，有两种方法确定参数值。另一种是初等变换法。补充一种是行列式法，两个关于方程组的问题：由题设，基础解系只含一个解向量，可取为注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解的问题.证明题利用方

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