2022年九级数下全套教案

1、正弦和余弦（一） 一,素养训练目标 （一）学问教学点 使同学知道当直角三角形的锐角固定时, 固定这一事实 （二）才能训练点 它的对边, 邻边与斜边的比值也都 逐步培养同学会观看,比较,分析,概括等规律思维才能 （三）德育渗透点 引导同学探究, 发觉, 以培养同学独立摸索, 勇于创新的精神和良好的学习 习惯 二,教学重点,难点 1重点：使同学知道当锐角固定时,它的对边,邻边与斜边的比值也是固 定的这一事实 2难点：同学很难想到对任意锐角,它的对边,邻边与斜边的比值也是固 定的事实,关键在于老师引导同学比较,分析,得出结论 三,教学步骤 （一）明确目标 1如图 6-1 ,长 5 米的梯子架在高为

2、3 米的墙上,就 A,B 间距离为多少米？ 2长 5米的梯子以倾斜角 CAB为 30靠在墙上,就 A,B 间的距离为多少？ 3如长 5 米的梯子以倾斜角 40架在墙上,就 A,B 间距离为多少？ 第 1 页,共 114 页4如长 5 米的梯子靠在墙上,使 A,B 间距为 2 米,就倾斜角 CAB 为多 度？ 少 前两个问题同学很简洁回答 这两个问题的设计主要是引起同学的回忆, 并 使同学意识到,本章要用到这些学问但后两个问题的设计却使同学感到疑问, 这对初三年级这些古怪, 好胜的同学来说, 起到激起同学的学习爱好的作用 同 时使同学对本章所要学习的内容的特点有一个初步的明白, 有些问题单靠勾股

3、定 理或含 30角的直角三角形和等腰直角三角形的学问是不能解决的,解决这类 问题,关键在于找到一种新方法, 求出一条边或一个未知锐角, 只要做到这一点, 有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的学问全部求出来 通过四个例子引出课题 （二）整体感知 1请每一位同学拿出自己的三角板,分别测量并运算 30, 45, 60角 的对边,邻边与斜边的比值 同学很快便会回答结果： 无论三角尺大小如何, 其比值是一个固定的值 程 度较好的同学仍会想到,以后在这些特殊直角三角形中,只要知道其中一边长, 就可求出其他未知边的长 2请同学画一个含 40角的直角三角形,并测量,运算 40角的对边,邻 边与斜边的比值,

4、 同学又兴奋地发觉, 不论三角形大小如何, 所求的比值是固定 的大部分同学可能会想到,当锐角取其他固定值时,其对边,邻边与斜边的比 值 也是固定的吗？ 这样做,在培养同学动手才能的同时, 也使同学对本节课要争辩的学问有了 整体感知,唤起同学的求知欲,大胆地探究新知 （三）重点,难点的学习与目标完成过程 1通过动手试验,同学会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值,它的对 边,邻边与斜边的比值总是固定不变的” 但是怎样证明这个命题呢？同学这时 的思维很活跃 对于这个问题, 部分同学可能能解决它 因此老师此时应让同学 开放争辩,独立完成 2同学经过争辩,或许能解决这个问题如不能解决,老师可适当引导：

5、第 2 页,共 114 页如一组直角三角形有一个锐角相等,可以把其 顶点 A1,A2,A3重合在一起,记作 A,并使直角边 AC 1,AC2,AC3 落在同一 条直线上,就斜边 AB1,AB2,AB3 落在另一条直线上这样同学们能解决这个 问题吗？引导同学独立证明： 易知,B1C1B2C2B3C3,AB1C1 AB2C2 AB3C3 , 形中, A 的对边,邻边与斜边的比值,是一个固定值 通过引导, 使同学自己独立把握了重点, 才能,进行了德育渗透 达到学问教学目标, 同时培养同学 而前面导课中动手试验的设计, 实际上为突破难点而设计 这一设计同时起 到培养同学思维才能的作用 sin 60 练

6、习题为 3作了孕伏同时使同学知道任意锐角的对边与斜边的比 2值都能求出来 四 总结与扩展 1引导同学作学问总结：本节课在复习勾股定理及含 30角直角三角形的 性质基础上,通过动手试验,证明,我们发觉,只要直角三角形的锐角固定,它 的对边,邻边与斜边的比值也是固定的 老师可适当补充：本节课经过同学们自己动手试验,大胆估计和积极摸索, 我们发觉了一个新的结论, 信任大家的规律思维才能又有所提高, 期望大家发扬 这种创新精神,变被动学学问为主动发觉问题,培养自己的创新意识 2扩展：当锐角为 30时,它的对边与斜边比值我们知道今日我们又发 现,锐角任意时,它的对边与斜边的比值也是固定的假如知道这个比值

7、,已知 一边求其他未知边的问题就迎刃而解了 看来这个比值很重要, 下节课我们就着 第 3 页,共 114 页重争辩这个“比值”,有爱好的同学可以提前预习一下通过这种扩展,不仅对 正,余弦概念有了初步印象,同时又激发了同学的爱好 四,布置作业 本节课内容较少, 而且是为正, 余弦概念打基础的, 因此课后应要求同学预 习正余弦概念 五,板书设计 正弦和余弦 二 第十四章 解直角三角形 证 明 ： 一,素养训练 目标 一 , 锐 角 三 角 函 数 - 一 学问教学 点 使同学初步了 解正弦,余弦概念； 能够较正确地用 sinA ,cosA 表示直 角三角形中两边的 比；熟记特殊角 30, 45,

8、60 - 结 论 ： 角的正,余弦值, 并能依据这些值说 出对应的锐角度 练 习 ： 数 - 二 才能训练点 逐步培养同学观看,比较,分析,概括的思维才能 三 德育渗透点 渗透教学内容中普遍存在的运动变化,相互联系,相互转化等观点 二,教学重点,难点 1教学重点：使同学明白正弦,余弦概念 第 4 页,共 114 页2教学难点： 用含有几个字母的符号组 余弦概念 三,教学步骤 一 明确目标 sinA ,cosA 表示正弦, 余弦；正弦, 1引导同学回忆“直角三角形锐角固定时,它的对边与斜边的比值,邻边 与斜边的比值也是固定的” 2明确目标：这节课我们将争辩直角三角形一锐角的对边,邻边与斜边的 比

9、值正弦和余弦 二 整体感知 只要知道三角形任一边长,其他两边就可知 而上节课我们发觉： 只要直角三角形的锐角固定, 它的对边与斜边, 邻边与 斜边的比值也固定 这样只要能求出这个比值, 那么求直角三角形未知边的问题 也就迎刃而解了 通过与“30角所对的直角边等于斜边的一半” 相类比, 同学自然产生想学 习的欲望,产生深厚的学习爱好,同时对以下要争辩的内容有了大体印象 三 重点,难点的学习与目标完成过程 正弦,余弦的概念是全章学问的基础, 对同学今后的学习与工作都特殊重要, 因此确定它为本课重点, 同时正,余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函 数思想,又用含几个字母的符号组来表示,因此概念也

10、是难点 在上节课争辩的基础上,引入正,余弦, “把对边,邻边与斜边的比值称做 正弦,余弦”如图 63： 请同学结合图形表达正弦,余弦定义,以培养同学概括才能及语言表达能 力老师板书：在 ABC 中, C 为直角,我们把锐A 的正弦 ,记作 sinA ,锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的对边与斜边的比叫做 A 的余弦 ,记作 cosA 第 5 页,共 114 页如把 A 的对边 BC 记作 a,邻边 AC 记作 b,斜边 AB 记作 c,就 引导同学摸索： 当 A 为锐角时, sinA ,cosA 的值会在什么范畴内？得结论 0sinA 1,0cosA1 A 为锐角 这个问题对于较差同学来说

11、有些难度, 应给同学充分摸索时间,同时这个问题也使同学将数与形结合起来 教材例 1 的设置是为了巩固正弦概念, 通过老师示范, 使同学会求正弦, 这 里不妨增问“ cosA,cosB”,经过反复强化,使全体同学都达到目标,更加突出 重点 例 1 求出图 64 所示的 RtABC 中sinA ,sinB 和 cosA,cosB 的值 的 第 6 页,共 114 页同学练习 1 中 1,2,3 让每个同学画含 30, 45的直角三角形,分别求 sin30 , sin45 , sin60 和 cos30, cos45, cos60这一练习既用到以前的学问,又巩固 正弦,余弦的概念, 经过学习亲自动笔

12、运算后, 对特殊角三角函数值印象很深刻 例 2 求以下各式的值： 为了使同学娴熟把握特殊角三角函数值,这里仍应支配六个小题： 1sin45 +cos45； 2sin30 cos60； 在确定每个同学都牢记特殊角的三角函数值后, 引导同学摸索, “请大家观 察特殊角的正弦和余弦值, 估计一下,sin20 大致在什么范畴内, cos50呢？” 这样的引导不仅培养同学的观看力, 留意力, 而且培养同学勇于摸索, 大胆创新 第 7 页,共 114 页的精神仍可以进一步请成果较好的同学用语言来表达 “锐角的正弦值随角度增 大而增大,余弦值随角度增大而减小”为查正余弦表作预备 四 总结,扩展 第一请同学作

13、小结,老师适当补充,“主要争辩了锐角的正弦,余弦概念, 已知直角三角形的两边可求其锐角的正, 都在 01 之间,即 0sinA 余弦值 知道任意锐角 A 的正, 余弦值 1, 1 A 为锐角 0 cosA 仍发觉 RtABC 的两锐角 A,B,sinA cosB,cosAsinB 正弦值随 角 度增大而增大,余弦值随角度增大而减小” 四,布置作业 教材习题 14.1 中 A 组 3 预习下一课内容 五,板书设计 正弦和余弦（二） 一,概念： 三,例 1- 四,特殊角的正余 弦值 - - - 二,范畴： - 五,例 2 - 正弦和余弦 三 第 8 页,共 114 页一,素养训练目标 一 学问教学

14、点 使同学明白一个锐角的正弦 余弦 值与它的余角的余弦 正弦 值之间的关 系 二 才能训练点 逐步培养同学观看,比较,分析,综合,抽象,概括的规律思维才能 三 德育渗透点 培养同学独立摸索,勇于创新的精神 二,教学重点,难点 1重点：使同学明白一个锐角的正弦 之间的关系并会应用 余弦 值与它的余角的余弦 正弦 值 2难点：一个锐角的正弦 余弦 与它的余角的余弦 正弦 之间的关系的应 用 三,教学步骤 一 明确目标 1复习提问 1 ,什么是 A 的正弦,什么是 A 的余弦,结合图形请同学回答由于 弦,余弦的概念是争辩本课内容的学问基础, 请中下同学回答, 从中可以明白教 正 学班仍有多少人不清楚

15、的,可以实行适当的补救措施 2 请同学们回忆 30, 45, 60角的正,余弦值 老师板书 3 请同学们观看,从中发觉什么特点？同学确定会回答“ sin30 cos60, sin45 cos45, sin60 cos30,这三个角的正弦值等于它们 余角的余弦值” 2导入新课 依据这一特点, 同学们可能会猜想 “一个锐角的正弦 余弦 值等于它的余角 的余弦 正弦 值”这是否是真命题呢？引出课题 二 ,整体感知 第 9 页,共 114 页关于锐角的正弦 余弦 值与它的余角的余弦 正弦 值之间的关系,是通过 30,45, 60角的正弦,余弦值之间的关系引入的,然后加以证明引入这 两个关系式是为了便于

16、查 “正弦和余弦表” ,关系式虽然用黑体字并加以文字语 言的证明, 但不标明是定理, 其证明也不要求同学懂得, 更不应要求同学利用这 两个关系式去推证其他三角恒等式 和运算,而不是证明 在本章, 这两个关系式的用处仅仅限于查表 三 重点,难点的学习和目标完成过程 1通过复习特殊角的三角函数值,引导同学观看,并猜想“任一锐角的正 弦 余弦 值等于它的余角的余弦 使同学的思维积极活跃 正弦 值吗？”提出问题,激发同学的学习热忱, 2这时少数反应快的同学可能头脑中已经“画”出了图形,并有了思路, 但对部分同学来说仍思路凌乱因此老师应进一步引导： sinA=cos90 -A , cosA=sin90

17、-AA 是锐角 成立吗？这时,同学结合正,余弦的概念,完全可 以自己解决, 老师要给同学足够的争辩解决问题的时间, 力及独立摸索,勇于创新的精神 3老师板书： 以培养同学规律思维能 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余 角的正弦值 sinA=cos90 -A ,cosA=sin90 -A 4在学习了正,余弦概念的基础上,同学明白以上内容并不困难,但是, 由于同学初次接触三角函数,仍不娴熟,而定理又涉及余角,余函数,使同学极 易混淆因此,定理的应用对同学来说是难点,在给出定理后,需加以巩固 已知 A 和B 都是锐 角, 1 把 cos90 -A 写成 A 的正弦 2

18、把 sin90 -A 写成 A 的余弦 这一练习只能起到巩固定理的作用为了运用定理,教材支配了例 3 2 已知 sin35 =0.5736 ,求 cos55； 3 已知 cos476,求 sin42 54 第 10 页,共 114 页1 问比较简洁, 对比定理, 同学马上可以回答 2 ,3 比1 就更深一步, 由于 1 明确指出 B 与 A 互余, 2 ,3 让同学自己发 35与 55的角, 觉 2 ,3 问在课堂 476分 4254的角互余,从而依据定理得出答案,因此 上应当请基础好一些的同学讲清思维过程, 便于全体同学把握, 在三个问题处理 完之后,最好将题目变形： 2 已知 sin35

19、=0.5736 ,就 cos 3cos47 6,就 sin ,以培养同学思维才能 为了协作例 3 的教学,教材中配备了练习题 2 2 已知 sin67 18=0.9225 ,求 cos2242； 3 已知 cos4 24,求 sin85 36 同学独立完成练习 2,就说明定理的教学较成功,同学基本会运用 教材中 3 的设置, 实际上是对前二节课内容的综合运用, 弦概念的把握程度,同时又对本课学问加以巩固练习,因此例 既考察同学正, 余 3 的支配恰到好 处同时,做例 3 也为下一节查正余弦表做了预备 四 小结与扩展 1请同学做学问小结,使同学对所学内容进行归纳总结,将所学内容变成 自己学问的组

20、成部分 2本节课我们由特殊角的正弦 余弦 和它的余角的余弦 正弦 值间关系, 以及正弦, 余弦的概念得出的结论： 任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦 值,任意一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 四,布置作业 教材习题 14.1A 组 4, 5 五,板书设计 第 11 页,共 114 页正弦和余弦（三） 一,余角余函数关系 二,例 3- - - - 正弦和余弦 四 一,素养训练目标 一 学问教学点 使同学会查“正弦和余弦表”,即由已知锐角求正弦,余弦值 二 才能渗 透点 逐步培养同学观看,比较,分析,概括等规律思维才能 三 德育训练点 培养同学良好的学习习惯 二,教学重点,难点 1重点：“

21、正弦和余弦表”的查法 2难点：当角度在 化的规律 三,教学步骤 一 明确目标 1复习提问 0 90间变化时,正弦值与余弦值随角度变化而变 130 , 45, 60的正弦值和余弦值各是多少？请同学口答 第 12 页,共 114 页2 任意锐角的正弦 余弦 与它的余角的余弦 正弦 值之间的关系怎样？通 过复习,使同学便于懂得正弦和余弦表的设计方式 二 整体感知 我们已经求出了 30, 45, 60这三个特殊角的正弦值和余弦值,但在 生产和科研中仍常用到其他锐角的正弦值和余弦值, 为了使用上的便利, 我们把 0 90间每隔 1的各个角所对应的正弦值和余弦值 一般是含有四位有效 数字的近似值 ,列成表

22、格正弦和余弦表本节课我们来争辩如何使用正弦 和余弦表 三 重点,难点的学习与目标完成过程 1“正弦和余弦表”简介 同学已经会查平方表,立方表,平方根表,立方根表,对数学用表的结构与 查法有所明白 但正弦和余弦表与其又有所区分, 余弦表” 因此第一向同学介绍 “正弦和 1 “正弦和余弦表”的作用是：求锐角的正弦,余弦值,已知锐角的正弦, 余弦值,求这个锐角 2 表中角精确到 1,正弦,余弦值有四位有效数字 3 凡表中所查得的值,都用等号,而非“”,依据查表所求得的值进行近 似运算,结果四舍五入后,一般用约等号“”表示 2举例说明 例 4 查表求 3724的正弦值 同学由于有查表体会,因此查 己解

23、决 sin37 24的值不会是到困难,完全可以自 例 5 查表求 3726的正弦值 同学在独自查表时,在正弦表顶端的横行里找不到 26,但 26在 24 30间而靠近 24,比 24多 2,可引导同学留意修正值栏,这样同学可能 直接得答案老师这时可设问“为什么将查得的 5 加在 的最终一个数位 上,而不是 0.6074 减去 ”通过引导同学观看摸索,得结论： 当角度在 0 90间变化时,正弦值随着角度的增大 或减小 而增大 或减小 解： sin37 24 角度增 2 值增 第 13 页,共 114 页sin37 26 例 6 查表求 sin37 23的值 假如例 5 同学已经懂得, 那么例 6

24、 同学完全可以自己解决, 通过对比, 加强 同学的懂得 解： sin37 24 角度减 1值减 sin37 23 在查表中,仍应引导同学查得： sin0 =0, sin90 =1 依据正弦值随角度变化规律： 当角度从 0增加到 90时,正弦值从 0 增加 到 1；当角度从 90削减到 0时,正弦值从 1 减到 0 可引导同学查得： cos0=1, cos90=0 依据余弦值随角度变化规律知：当角度从 0增加到 90时,余弦值从 1 减小到 0,当角度从 90减小到 0时,余弦值从 0 增加到 1 四 总结与扩展 1请同学总结 本节课主要争辩了“正弦和余弦表”的查法明白正弦值,余弦值随角度的 变

25、化而变化的规律：当角度在 0 90间变化时,正弦值随着角度的增大而增 大,随着角度的减小而减小；当角度在 增大而减小,随着角度的减小而增大 0 90间变化时,余弦值随着角度的 2“正弦和余弦表”的用处除了已知锐角查其正,余弦值外,仍可以已知 正,余弦值,求锐角,同学们可以试试看 四,布置作业 预习教材中例 8,例 9,例 10,养成良好的学习习惯 五,板书设计 第 14 页,共 114 页正弦和余弦（四） 一,正余弦值随角度变 二,例题 例 5 例 6 化规律 例 4 - - - - - - - - - 正弦和余弦 五 一,素养训练目标 一 学问教学点 使同学会依据一个锐角的正弦值和余弦值,

26、训练点 查出这个锐角的大小 二 才能 逐步培养同学观看,比较,分析,概括等规律思维才能 三 德育渗透点 培养同学良好的学习习惯 二,教学重点,难点和疑点 1重点：由锐角的正弦值或余弦值,查出这个锐角的大小 2难点：由锐角的正弦值或余弦值,查出这个锐角的大小 3疑点：由于余弦是减函数,查表时“值增角减,值减角增”同学经常出 错 三,教学步骤 一 明确目标 1锐角的正弦值与余弦值随角度变化的规律是什么？ 第 15 页,共 114 页这一规律也是本课查表的依据,因此课前仍得引导同学回忆 答：当角度在 0 90间变化时,正弦值随着角度的增大 或减小 ；当角度在 0 90间变化时,余弦值随角度的增大 或

27、增大 或减小 而增大 或减小 而减小 2如 cos2130 ,且表中同一行的修正值是 cos21 28=就 cos2131=, 3不查表,比较大小： 1sin20 sin20 15； 然后得出 2cos51 cos5010； 3sin21 cos68 同学在回答 2 题时极易出错, 老师确定要引导同学表达摸索过程, 答案 3 题的设计主要是考察同学对函数值随角度的变化规律的懂得, 同时培养学 生估算 二 整体感知 已知一个锐角, 我们可用“正弦和余弦表” 查出这个角的正弦值或余弦值 反 过来,已知一个锐角的正弦值或余弦值,可用“正弦和余弦表”查出这个角的大 小由于同学有查“平方表”,“立方表”

28、等体会,对这一点必深信无疑而且 通过逆向思维,可能很快会把握已知函数值求角的方法 三 重点,难点的学习与目标完成过程 例 8 已知 sinA 0.2974 ,求锐角 A 同学通过上节课已知锐角查其正弦值和余弦值的体会, 完全能独立查得锐角 A,但老师应请同学讲解查的过程：从正弦表中找出 ,由这个数所在行向 左查得 17,由同一数所在列向上查得 18,即 sin17 18,以培 养同学语言表达才能 解：查表得 sin17 18 ,所以 锐角 A1718 第 16 页,共 114 页例 9 已知 cosA0.7857 ,求锐角 A 分析：同学在表中找不到 ,这时部分同学可能束手无策,但有上节 课查

29、表的体会, 少数思维较活跃的同学可能会想出方法 这时老师最好让同学讨 论,在探讨中寻求方法 这对解决此题会有好处, 使同学印象更深, 懂得更透彻 如条件许可,应在争辩后请一名同学讲解查表过程：在余弦表中查不到 但能找到同它最接近的数 ,由这个数所在行向右查得 38,由 同一个数向下查得 12,即 cos3812但 cosA,比 小 ,这说明 A 比 38 12要大,由 所在行向右查得修正值 对应的角度是 1,所以 A 3812 1 3813 解：查表得 cos3812 ,所以： cos38 12 值减 0.0002 角度增 1 cos38 13, 即 锐角 A38 13 例 10 已知 cos

30、B ,求锐角 B 例 10 与例 9 相比较,只是显现余差 本例中的 0.0002 与修正值不一样教 师只要讲清如何使用修正值 用最接近的值 ,以使误差最小即可, 其余部分同学 在例 9 的基础上,可以独立完成 解： cos6312 值增 0.0003 角度减 1 cos63 11 锐角 B63 11 为了对例题加以巩固,老师在此应设计练习题,教材 P15 中 2, 3 2已知以下正弦值或余弦值,求锐角 A 或 B： , sinA=0.3526 ,； , 第 17 页,共 114 页, 此题是协作例题而设置的,要求同学能快速精确得到答案 145 6, 6934, 2039, 34 40； 23

31、4 0, 4026, 7234, 644 3查表求 sin57 与 cos33,所得的值有什么关系？ 此题是让同学通过查表进一步印证关系式 sinA cos90 -A ,cosA , sin57 cos33,或 sin57 cos90 -57 , cos33 sin90 -33 四 ,总结,扩展 本节课我们重点学习了已知一个锐角的正弦值或余弦值, 可用“正弦和余弦 表”查出这个锐角的大小, 这也是本课难点, 同学们要会依据正弦值和余弦值随 角度变化规律 角度变化范畴 0 90 查“正弦和余弦表” 四,布置作业 教材复习题十四 A 组 3,4,要求同学只查正,余弦； 五,板书设计 正弦和余弦（五

32、） 例 8 例 9例 10 - - - - - - 正弦和余弦 六 第 18 页,共 114 页一,素养训练目标 一 学问教学点 归纳综合第一大节的内容, 使之系统化, 网络化, 并使同学综合运用这些知 识,解决简洁问题 二 才能训练点 培养同学分析,比较,综合,概括规律思维才能；培养同学分析问题,解决 问题的才能；使同学逐步形成用数学的意识 三 德育渗透点 渗透数学学问来源于实践又反过来作用于实践的观点； 培养同学的学习爱好 及良好的学习习惯 二,教学重点,难点和疑点 1重点：归纳总结前面的学问,并运用它们解决有关问题 2难点：归纳总结前面的学问,并运用它们解决有关问题 3疑点：同学在用“正

33、弦和余弦表”时,往往在修正值的加减上混淆不清 三,教学步骤 一 明确目标 1结合图 6-5 ,请同学回忆,什么是 A 的正弦,余弦？老师板 2互余两角的正弦,余弦值之间具有什么关系？ 答： sinA cos90 -A ,cosAsin90 -A 老师板书 第 19 页,共 114 页3特殊角 0, 30, 45, 60, 90的正弦值余弦值各是多少？ 4在 0 90之间,锐角的正弦值,余弦值怎样随角度的变化而变化？ 答：在 0 90之间,锐角的正弦值随角度的增加 或减小 而增加 或减 小 ；锐角的余弦值随角度的增加 或减小 而减小 或增加 本节课我们将运用以上学问解决有关问题 二 重点,难点的

34、学习与目标完成过程 1本章引言中提到这样一个问题： 修建某扬水站时,要沿着斜坡铺设水管 假 设水管 AB 长为 105.2 米,A306,求坡高 BC保留四位有效数 字 现在, 这个问题我们能否解决呢？ 这里出示引言中的问题, 不仅调动同学的积极性, 激发学习动机, 同时表达 了教学的完整性,首尾照管 对同学来说,此题比较简洁解答老师可以请成果较好的同学口答, BCAB sinA 105.2 sin30 6 第 20 页,共 114 页52.76 米 这一例题不仅起到巩固锐角三角函数 概念的作用,同时为下一节“解直角三角形”做了铺垫同时向同学渗透了 数学学问来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯

35、物主义观点, 培养同学用数学 的意识 2为了过渡到其次大节“解直角三角形”,教材仍支配了例 1,它既是对 概念的巩固,应用,又为解直角三角形作了铺垫出示投影片 例 11 如图 6-7,在 RtABC中,已知 AC 35,AB45,求 A精确到 1 分析：此题已知直角三角形的斜边长, 直角边长, 所以依据直角三角形中锐 角的余弦定义,先求出 cosA,进而查表求得 A 老师可请一名中等同学板书,其他同学在本上完成 查表得 A39, 3教材为例题配置了两个练习题,因此在完成例题后,请同学做巩固练习 在 ABC 中, A, B, C 所对的边分别 为 a, b, c 1 已知 a 32, B 50,

36、求 c 保留两位有效数字 2 已知 c 20,b14,求 A精确到 1 同学在做这两个小题时,可能有几种不同解法,如 当的三角函数关系式解题,培养同学的运算才能 1 ,应选择 c= 4本课支配在第一大节最终一课, 因此本课仍有对整个第一大节进行归纳, 总结的任务 由于在课前复习中已经将几个学问点一一复习, 因此这里主要配备 小题对概念加以巩固和应用 1 判定题： i对于任意锐角 ,都0sin 1 和 0cos 1 有 （ ） 2ii 对于任意锐角 1, 2,假如 1 2,那么 cos1cos （ ） 2I iii 假如 sin1sin2,那么锐角 1锐角 ） （ 2iv 假如 cos1cos2

37、,那么锐角 1锐角（ ） 这道题是为巩固正弦, 余弦的概念而配备的, 可引导同学用图形来判定, 也 可用“正弦和余弦表”来判定对于假命题,应请同学举出反例 2 回答以下问题 i sin20 +sin40 是否等于 sin60 ； ii cos10 +cos20是否等于 cos30 可引导同学查表得答案 这两个小题对同学来说极易出错, 由于同学对函数 sinA ,cosA 懂得得并不深,而且由于数与式的四就运算造成的负迁移,使同学 易混淆 3 在 RtABC 中,以下式子中不愿定成立的是 AsinA sinB BcosAsinB CsinA cosB DsinA+B sinC 第 22 页,共

38、114 页这一小题是为复习任意锐角的正弦值与余弦值的关系而设计的 通过比较几 个等式,加深同学对余角余函数概念懂得 老师可请同学口答答案并说明缘由 A0 A30 B30 A45 C45 A60 D60 A90 对于初学三角函数的同学来说, 解答此题是个难点, 老师应给同学充分时间 争辩,这对培养同学分析问题,解决问题才能很有好处,假犹如学没有思路,教 师可适当点拨；要想探究 A 在哪个范畴,第一观 看 A 范畴,答案选 D 三 总结与扩展 请同学总结：我们争辩了正弦,余弦的概念及余角余函数关系,会用“正弦 和余弦表”查任一锐角的正弦,余弦值,并会用这些学问解决有关问题 四,布置作业 1看教材培

39、养同学看书习惯 2教材习题 组 对学有余力的同学可选作 B 组第 1 题 五,板书设计 第 23 页,共 114 页正弦和余弦（六） 一,正余弦概念及有关 二,例解 例 11 学问 引例 - - - - - - - - 正切和余切（一） 一,素养训练目标 一 学问教学点 使同学明白正切, 余切的概念, 能够正确地用 tanA ,cotA 表示直角三角形 其中一个锐角为 A 中两边的比,明白 tanA 与 cotA 成倒数关系,熟记 30, 45, 60角的各个三角函 数值,会运算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子, 会由一个特殊锐角的三角函数值说 出这个角的度数,明白一个锐角的正切 余切 值

40、与它的余角的余切 正切 值之间的关系 二 才能训练点 逐步培养同学观看,比较,分析,综合,概括等规律思维才能 三 德育渗透点 培养同学独立摸索,勇于创新的精神 二,教学重点,难点 1重点：明白正切,余切的概念,熟记特殊角的正切值和余切值 2难点：明白正切和余切的概念 三,教学步骤 一 明确目标 1什么是锐角 A 的正弦,余弦？ 结合图 6-8 回答 第 24 页,共 114 页2填表 3互为余角的正弦值,余弦值有何关系？ 4当角度在 0 90变化时,锐角的正弦值,余弦值有何变化规律？ 5我们已经把握一个锐角的正弦 余弦 是指直角三角形中该锐角的对边 邻边 与斜边的比 值那么直角三角形中,两直角

41、边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中,除正, 余弦外,仍有其它一些三角函数,本节课我们学习正切和余切 二 整体感知 正切, 余切的概念, 也是本章的重点和关键, 是全章学问的基础, 对同学今后的学习或工作 都特殊重要 教材在继第一节正弦和余弦后, 又以同样的次序支配其次节正切余切 像这样, 把概念, 运算和应用分成两块, 每块自成一个整体小循环, 其次循环又包含了第一循环的内 容,可以有效地克服难点,同时也使同学通过对比,便于把握锐角三角函数的有关学问 三 重点,难点的学习与目标完成 1引入正切,余切概念 本节课我们争辩两直角边的比值与锐角的关系, 两直角边的比值是否也固定？ 因此同学

42、们第一应摸索： 当锐角固定时, 由于同学在争辩过正弦, 余弦概念之后, 已经接触过这类问题, 所以大部分同学能口述证明, 并进一步估计“两直角边的比值确定是正切和余切 ” 第 25 页,共 114 页给出正切, 余切概念如图 记作 tanA 6-10 ,在 Rt ABC 中,把 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切, A 的对边 即 tanA= A 的邻并把 A 的邻边与对边的比叫做 边 A 的邻边 即 cotA= A 的对2 tanA 与 cotA 的关系 边 A 的余切,记作 cotA , 请 学 生 观 察 tanA 与 cotA 的 表 达 式 , 得 结 论 tan A 1（ 或 c

43、ot A c o At 1, t a An c o At 1） t a An这个关系式既重要又易于把握,必需让同学深刻懂得,并与 3锐角三角函数 tanA cot90 -A 区分开 由上图, sin A a, cos A b , tan A c a, cot A b, 把锐角 A 的正 c ba弦,余弦,正切,余切都叫做 A 的锐角三角函数 锐角三角函数概念的给出,使同学茅塞顿开,初步懂得本节题目 问：锐角三角函数能否为负数？ 同学回答这个问题很简洁 4特殊角的三角函数 老师出示幻灯片 三角函数 /0 /30 /45 /60 /90 45 60 90 三角函数 300sin A 0123122

44、2cos A 13210222tanA 第 26 页,共 114 页cotA 请同学推算 30, 45, 60角的正切,余切值 如图 6-11 tan30 tan A 13; 33tan 45 tan A B C 113 A C 1tan60 tan B AC 3BC1cot 30 cot A AC313BC1cot 45 cot A A B 1 B C 1cot 60 cot B BC 13AC 33通过同学运算完成表格的过程,不仅复习巩固了正切,余切概念,而且使 同学熟记特殊角的正切值与余切值,同时渗透了数形结合的数学思想 0, 90正切值与余切值可引导同学查“正切和余切表” 查出 ,同学

45、完全能独立 5依据互为余角的正弦值与余弦值的关系,结合图形,引导同学发觉互 为余角的正切值与余切值的关系 结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值, 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 即 tanA=cot90 -A , cotA=tan90 -A 练习： 1 请同学回答 tan45 与 cot45 的值各是多少？ tan60 与 cot30 ？ tan30 与 cot60 呢？同学口答之后,仍可以为程度较高的同学设置问题： 系？为什么？ tan30 与 cot30 呢？ tan60 与 cot60 有何关 第 27 页,共 114 页2 把以下正切或余切改写成余角的余切或正切： 1tan

46、52 ； 2tan36 20； 3tan75 17； 4cot19 ； 5cot24 48； 6cot15 23 6例题 例 1 求以下各式的值： 12sin30 +3tan30 +cot45 ； 2cos245 +tan60 cos30 解： 12sin30 +3tan30 +cot45 2cos245 +tan60 cos30 =2 练习：求以下各式的值： 1sin30 -3tan30 +2cos30 +cot90 ； 22cos30 +tan60 -6cot60 ； 35cot30 -2cos60 +2sin60 +tan0 ； 4 2 cos 45 2 sin 45 ; 5 sin 6

47、0 cot 45 tan 60 2 tan 45 同学的运算才能可能不很强,特殊是分式,二次根式的运算, 同学运算才能 四 总结扩展 因此这里应查缺补漏,以培养 请同学小结： 本节课明白了正切, 余切的概念及 tanA 与 cotA 关系 知道特殊角的正切余切 值及互为余角的正切值与余切值的关系本课用到了数形结合的数学思想 tan A 1 即 tan A cot A cot A90 A, 可扩展为 tan A 1A tan90 结合 四,布置作业 第 28 页,共 114 页1看教材,培养同学看书习惯 2教材 P 102 中习题 组 2, 3,5, 6 五,板书设计 14.2 正切和余切（一）

48、 一,概念 三, 锐角三角函数 五, 互为余角的正切 与余 切值关系 二, tanA 与 cotA 关系 四,特殊角的正切与余 六,例题 切 值 （ 幻 灯 片 ） 正切和余切 二 一,素养训练目标 一 学问教学点 使同学学会查“正切和余切表” 二 才能训练点 逐步培养同学观看,比较,分析,概括等规律思维才能 三 德育渗透点 培养同学良好的学习习惯 二,教学重点,难点和疑点 1重点：使同学会查“正切和余切表” 2难点：使同学会查“正切和余切表” 3疑点：在使用余切表中的修正值时,假如角度增加,相应的余切值要削减一些；假如角 度减小,相应的余切值要增加一些这里取加仍是取减,同学极易出错 三,教学

49、步骤 第 29 页,共 114 页 一 明确目标 1结合图 6-12 说明：什么是 A 的正切,余切？由于这是本章最重要的概念,因此要求全 体同学把握这里不妨提问成果较差的同学,以检查同学把握的情形 2一个锐角的正切 余切 与其余角的余切 正切 之间具有什么关系？并写出表达式 答： tanA cot90 -A , cotA tan90 -A 3 A 的正切值与余切值具有什么关系,请用式子表达 _答 tanA= 1或 cotA= 1或 tanA cot A 1cot A tan A 4结合 2, 3 中复习的内容,配备练习题加以巩固： 1tan35 tan45 tan55 ； 结合学问点的复习,

50、 2 如 tan35 tan 1,就 ； 3 如 tan47 cot 1,就 这几个小题同学在回答时, 极易出错 因此在本课课前复习中出示它们, 便于同学加以比较 5提问 0, 30, 45, 60, 90五个特殊角的三角函数值各是多少？要求同学熟记 6对于任意锐角的正切值,余切值,我们从何得知呢？本节课,我们就来争辩“正切和余 切表” 这样引入较自然 同学有查 “正弦和余弦表” 的体会, 对查“正切和余切表” 必定布满信心 二 整体感知 同学在第一大节曾查过 “正弦和余弦表” ,知道为什么正, 余弦用同一份表格, 并明白在 0 90之间正,余弦值随角度变化的情形,会正确地使用修正值 本节课在

51、第一大节基础上支配查 “正切和余切表” ,同学不会感到困难 只是正切表在 76 90无修正值,余切表在 0 14无修正值,这一点与“正弦和余弦表”有所区分,教学 中老师应着重强调这一部分 三 重点,难点的学习与目标完成过程 第 30 页,共 114 页1请同学观看“正切和余切表”的结构,并用语言加以概括 答：正切表在 76 90无修正值, 余切表在 0 14无修正值 其余与正弦和余弦表类 似,对于正切值,随角度的增大而增大, 小,随角度的减小而增大 2查表示范 例 2 查表求以下正切值或余切值 随角度的减小而减小,而余切值随角度的增大而减 1tan53 49； 2cot14 32 同学有查 “

52、正弦和余弦表” 的体会, 又明白了 “正切和余切表” 的结构, 完全可自行查表 在 同学得出答案后,请一名同学讲解“我是怎样查表的” ,老师板书： 解： 1tan53 48角度增 1值减 0.0008 tan53 49 ； 2cot14 30 角度增 2值增 0.009 cot14 30 在讲解示范例题后,应请同学作一小结：查锐角的正切值类似于查正弦值,应“顺”着查, 如使用修正值,就角度增加时,相应的正切值要增加,反之,角度减小时,相应的正切值也 减小；查余切表与查余弦表类似, “倒”着查,在使用修正值时,角度增加,就相应地减去 修正值,反之,角度减小,就相应地加上修正值 为了使同学娴熟地运

53、用“正切和余切表” 1,查表求以下正切值和余切值： ,已知锐角查其正切,余切值,书上配备了练习题 1tan30 12, tan40 55, tan54 28, tan74 3； 2cot72 18, cot56 56, cot32 23, cot15 15 在这里让同学加以练习 例 3 已知以下正切值或余切值,求锐角 A 1tanA ； 2cotA 由于同学已明白由正弦 余弦 值求锐角的方法, 由其正迁移, 不难发觉由正切值或余切值求 锐角的方法 所以例 3 出示之后, 应请同学先探究查表方法, 老师再作说明 解： 11.4019 tan54 30 试查锐角 A 的度数, 如有疑问, 第 31

54、 页,共 114 页值增 0.0017 角度增 2 tan54 32 锐角 A54 32 20.8632 cot49 12 值增 0.0005 角度减 1 cot49 11 锐角 A49 11 已知锐角的正切值或余切值, 查表求锐角对同学来说比已知锐角查表求值要难, 因此在解完 例题之后仍应引导同学加以小结 教材为例 3 配备了练习 2,已知以下正切值或余切值,求锐角 A 或 B 1tanB=0.9131 , , tanA=2.220 , ； 2cotA=1.6003 , , cotB=0.0781 , 同学在独立完成此练习之后,老师应组织同学互评,使同学在沟通中相互帮忙 四 总结与扩展 请同

55、学小结：这节课我们学习了查“正切和余切表” ,已知锐角可以查其正切值和余切值； 反之,已知锐角的正切值,余切值,会查表求角的度数 四,布置作业 教材 p108 习题 14.3 第 1 题把用运算器求以下锐角三角函数值改为查表求以下锐角三角函数 用运算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角 一 素养训练目标 （一）（一）学问教学点 11会用运算器求出一个数的平方,平方根,立方,立方根； 22会用运算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角； （二）（二）才能训学点：培养同学娴熟地使用现代化帮忙运算手段的才能 （三）（三）德育渗透点；激发同学学习爱好与求知欲； 二 教学重点： 会用运算器求锐

56、角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角 三 教学过程 问题 1 你能 用运算器求出 （1）4,（ 2） 5 100 5 3 ,（ 3） 49 74 3,（ 4） 2038 的值吗？ 试一试； 说明和建议 第 32 页,共 114 页（1）组织同学人人用运算器来运算上述运算,分别求出它们的结果,使同学回忆出以前学 过的用运算器进行数的乘方,开方的运算方法； （2）在运算上述 4 个问题时,实行兵教兵的方法,老师只需作个别辅导；运算终止后,可 叫同学逐一说出访用运算器的次序和方法,以订正同学中存在的错误 ； （3）老师仍可在小黑板上做出如下使用方法说明 算式 45 按键次序 44显示 的 4y x

57、5 = 5 1024（为 4 的值） 100 54100 5 y x 4 62500（为 100 5 的值） 4 49+7 49 + 7y x 4 2450（为 49+7 的值） 32038 2028 黄 y x = 12.6785054 （ 为 32038 值） 在使用 CZ1206 型运算器时,要求乘方的底数大于或等于 0,当算式中乘方的底数小于 0, 且指数是奇数时 , 应将运算器中得到的结果加上负号,再进行加,减,乘,除运算时,只要 按四就运算算式次序输入数据与运算符号即可完成运算, 括号显现的次序按 键即可,如运算： 具有括号的算式, 可依据算式中的 200 2 3 8 4+2 （

58、34 2）（ 5+6） 可按以下次序按键 2, 0 , 0 , -, , 2 , 3 , - , , 8 , , 4 , + , 2 , 6 , , , , 3, -, 4 , , 2 , , - , , 5 + , , , = ,显示 176 （ 4）老师仍可以出一组加减乘除和乘方,开方的简洁的运算题,让同学练习,以复习和 巩固以前学过的运算器的有关内容和方法； 问题 2 （阅读课本第 105 页的有关内容并使用运算器进行运算,逐一回答疑题； ） （ 1） （ 1） 用运算器求锐角的三角函数值时应第一按哪一个键？ （ 2） （ 2） 怎样用运算器求锐角的三角函数值？要留意什么问题？ 说明和建

59、议： （ 1）（ 1）对求非整数度数的锐角三角函数值时, 要先把它化为以度为单位的角后再求 它的三角函数值； 在用运算器运算时留意度与分, 秒之间均要用 + 键, 分化度 时用 , 6 , 0 键,秒化度时用 , 3 , 6 , 0, 0 , 键； （ 2）按键时要正确,次序不能搞错； （ 3）老师可依据同学边读阅, 边动手运算的情形, 再供应已知锐角求它的正 弦,余弦 , 正切,余切的题目让同学求出各锐角的三角函数值 问题 3 （阅读课本,按课本内容用运算器运算,并回答疑题） （ 1）（ 1）怎样使用运算器由锐角三角函数值求锐角？要留意什么问题？ （ 2）（ 2）怎样求锐角的余切值和由锐角的

60、余切值求锐角？ 说明和建议： （ 1）在同学边阅读, 边运算时, 老师要提示同学以下几点： 在按 sin 或 cos 或 tan 键 前必需按其次功能选择键；按 sin 键后显示得到的是这个锐角的度数,必需按课本上 的方法逐一把度数的小数部分化为分, 再把分的小数部分化为秒, 最终得到精确到 1 的 锐角的近似值； （ 2）求锐角的余切值时应转换成求这个锐角的余角的正切值； 即利用关 系式 cot A=tan 90 A 来 解 决 ； 再 由 锐 角 的 余 切 值 求 锐 角 时 , 应 利 用 关 系 式 第 33 页,共 114 页1cotA= tan A 来解决；（ 3）老师应配置相应