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文档简介

1、第二节 方 差 由第一节我们知道，随机变量的数学期望可以反映变量取值的平均程度，但仅用数学期望描述一个变量的取值情况是远不够的。我们仍用类似于第一节中的例子来说明。 假设甲乙两射手各发十枪，击中目标靶的环数分别为 容易算得，二人击中环数的平均值都是8.8环，现问，甲、乙二人哪一个水平发挥的更稳定？甲 9 8 10 8 9 8 8 9 10 9乙 6 7 9 10 10 9 10 8 9 10 直观的理解，二选手中哪一个击中的环数偏离平均值越少，这个选手发挥的更稳定一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距平均值的偏差的均值来比较。为了防止偏差 和的计算中出现正、负偏差相抵的情况，应由偏差的绝对值之

2、和求平均更合适。对于甲选手，偏差绝对值之和为：对乙选手，容易算得偏差绝对值之和为 10.8 环，所以甲、乙二人平均每枪偏离平均值为0.64 环和 1.08 环，因而可以说，甲选手水平发挥更稳定些。 类似的，为了避免运算式中出现绝对值符号。我们也可以采用偏差平方的平均值进行比较。为此我们引入以下定义： 定义 对随机变量 X ，如果数学期望 存在，且 的数学期望也存在 ，则称 的值为随机变量X 的方差，记为 由前面的例子容易理解，方差反映了随机变量取值相对于均值 的分散程度，即反映 X 取值的稳定性。应当注意，对随机变量 X 而言，其数学期望 是一常数，而 与 是随机变量，利用数学期望的性质可得即

3、 。这是方差运算中一个常用的公式。 为了保证变量量纲的一致性，我们称方差的平方根 为随机变量 X 的标准差或均方差，记为即： 例1 对服从（01）分布的随机变量 X ，分布列为求 X 的方差。已知 而且则 X 的方差为解 例2 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，求在本章第一节的例11中我们已经知道从而解 例3 对服从a，b区间上均匀分布的随机变量X ，计算已知 ，且解从而例4 已知 求由方差的定义可得解作代换 则由此可知，正态分布 的两个参数和 分别表示随机变量 X 的均值和方差。关于方差的性质，常见的有以下几条：证明(4) 若X与Y相互独立,则已知 从而因性质（5）要用到复杂一些的数学

4、知识，略去证明过程。 性质 （4）可以推广到多个相互独立的随机变量的情形。例如，当 相互独立时，成立 例5 设随机变量 X 服从二项式分布 ，试求 由上节中的例14 知 其中 服从同一（01）分布： 且 相互独立。又由本节例 1 有 于是可得：解 例6 设随机变量 X 的期望E（X）和方差D（X ）都存在，则称为 X 的标准化随机变量，试求 和 注意到 均为常数，再由期望及方差的性质可得：解 可见，标准化随机变量的期望是 0 ，方差是1 。因此，把随机变量标准化，可以使所讨论的问题变得较简单，这种处理问题的方法在概率与数理统计中时有应用。例如，随机变量 X 服从正态分布 把 X 标准化 则 服从标准正态分布

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