离散型随机变量的均值方差

1、第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布（理）一、均值1一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2piPn则称E(X) 为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 x1p1x2p2xipixnpn平均水平2若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 且E(aXb) .3若X服从两点分布，则E(X) ； 若XB(n，p)，则E(X) .aE(X)bnpp二、方差1设离散型随机变量X的分布列为 则 描述了xi(i1,2，n)相对于平均值E(X)的 偏离程度，而D(X) 为这些偏离程度的 加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X) 的 称D(X)为随机变

2、量X的方差，其 为随机变量X的标准差Xx1x2xixnPp1p2pipn(xiE(X)2平均偏离程度(xiE(X)2pi算术平方根2D(aXb) 3若X服从两点分布，则D(X) a2D(X)4若XB(n，p)，则D(X) p(1p)np(1p)随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值，方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差.三、正态分布1我们称，(x) 的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线2一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足 ，则称X 的分布为正态分布， 正态分布完全由

3、参数和确定，因此正态分布常记作 N(， 2)如果随机变量X服从正态分布，则记为XN (，2)3正态曲线的特点： (1)曲线位于x轴 ，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线 对称； (3)曲线在 处达到峰值 ； (4)曲线与x轴之间的面积为 ； (5)当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移； (6)当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“ ”， 表示总体的分布越 上方xx 瘦高矮胖分散11设XB(n，p)，若E(X)12，D(X)4，则n，p的值分别 为 () A 18和 B16和 C20和 D15和解析：答案：A2如图是当取三个不同值1、2、3

4、的三种正态曲线 N(0，2)的图象，那么1、2、3的大小关系是 () A11230 B01212130 D01213解析：由正态曲线知01210)若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取 值的概率为_解析：由正态曲线的对称性知X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同X在(0,2)内取值的概率为0.40.40.8.答案：0.85随机变量X的分布列如下： 其中a，b，c成等差数列若E(X) ，则D(X)的值是 _X101Pabc解析：abc1.又2bac，故b由E(X)故aD(X)答案： 对随机变量X的均值(期望)的理解：(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；(

5、2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随 机变量X可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是 X取值的平均状态；(3)E(X)的公式直接给出了E(X)的求法 (2010衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品(1)若这箱产品被用户接收的概率是 ，求n的值；(2)在(1)的条件下，记抽检的产品件数为X，求X的分布列和数学期望（1）利用古典概型易求.（2）X

6、的取值为1、2、3，求出分布列代入期望 公式.【解】(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A，n2.(2)X的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=X的概率分布列为：X123P1(2010河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的 招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格 就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签 约设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互 不影响求： (1)至少有三人面试合格的概率； (2)恰有两人签约的概率； (3)签约人数的数学期望解：(1)设“至少有3人面试合格”为事件A，则P(A)(2)设“恰有2人签约”为事件

7、B，“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件B1；“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件B2；则：BB1B2P(B)P(B1)P(B2)(3)设X为签约人数X的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=X01234P 离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律，随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定 (2010贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负

8、责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好试从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料分别计算期望与方差进行分析得出结论.【解】E(X)80.290.6100.29，D(X)(89)20.2(99)20.6(109)20.20.4；E(Y)80.490.2100.49；D(Y)(89)20.4(99)20.2(109)20.40.8.由此可知，E(X)E(Y)9，D(X)D(Y)，从而两厂材料的抗拉

9、强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，该选甲厂的材料2A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根 据市场分析，X1和X2的分布列分别为：X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0 x100)万元投资A项目，100 x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值(注：D(aXb)a2D(X)解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y

10、1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)50.8100.26，D(Y1)(56)20.8(106)20.24，E(Y2)20.280.5120.38，D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.当x 75时，f(x)3为最小值. 正态分布下的概率计算常见的有两类：1利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉 及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与 x轴之间的面积为1.2利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围 与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于( ，)，(2，2)，(3，3) 中的哪一个 (1)(2009安徽高考)若随机

11、变量XN(，2)，则P(X)_.(2)(2010泰安模拟)某校高考的数学成绩近似服从正态分布N(100,100)，则该校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为 ()A22.8% B45.6%C95.44% D97.22%(3)(2010长春模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3，2)，若P(X4)0.2，则P(2X3)_.（1）利用正态曲线的对称性，对称轴为x=.（2）利用3原则.（3）利用对称性去解.【解析】(1)由正态曲线的性质知 P(x) .(2)设该校高考数学成绩为X，由XN(100,102)知，正态分布的两个参数为100，10，所以P(80X120)P(10020X

12、10020)0.9544.(3)由题意可知曲线关于直线x3对称，故P(X4)P(X2)0.2，因此P(2X3)0.5P(X2)0.50.20.3.【答案】(1) (2)C(3)0.33在本例(3)的条件下求P(2X4)，P(3X4)解：P(2X4)2( 0.2)0.6，P(3X4) 0.20.3. 高考中常将相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、期望与方差等知识放在一起在解答题中考查，主要考查学生运用概率知识解决实际问题的能力.2009年四川卷综合考查了上述内容,能力强、立意新.(2009四川高考)为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的

13、是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡(1)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；(2)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E(X)解(1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”P(B)P(A1)P(A2)所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率