2022年中学数学圆锥曲线教案

1、终结圆锥曲线大题十个大招招式一：弦的垂直平分线问题. 2招式二：动弦过定点的问题 . 3 招式四：共线向量问题 . 5 招式五：面积问题 . 12招式六：弦或弦长为定值、最值问题. 15招式七：直线问题 . 19 招式八：轨迹问题 . 23 招式九：对称问题 . 31 招式十、存在性问题 . 34招式一：弦的垂直平分线问题例题 1、过点 T-1,0 作直线 l 与曲线 N ：y2x 交于 A、B 两点,在 x 轴上是否存在一点E0 x ,0,使得ABE是等边三角形,如存在,求出0 x ；如不存在,请说明理由；解： 依题意知,直线的斜率存在,且不等于0；设直线l:yk x1,k0,A x y 1

2、,B x 2,y 2；由yk x1消 y 整理,得2 2k x2k21 xk20y 2x；由直线和抛物线交于两点,得2k21 24 k44 k210即0k214由韦达定理,得：x 1x 22 k221,x x 21；就线段 AB 的中点为2 k221 1 ,2 kk2 k线段的垂直平分线方程为：y11x1 2 k2令 y=0,得x 02121,就E121,02 kk2k2k22k2ABE 为正三角形,E121,0到直线 AB 的距离 d 为3AB ；2k22ABx 1x 22y 1y 221k4k21k2d1k222k3 124k21k21k2解得k39满意式此时x 05；2k2k133【涉及

3、到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦 AB 的垂直平分线 L 的方程, 往往是利用点差或者韦达定理 产生弦 AB 的中点坐标 M ,结合弦 AB 与它的垂直平分线 L 的斜率互为负倒数,写出弦的垂直平分线 L 的方程,然后解决相关问题,比如：求 L 在 x 轴 y 轴上的截距的取值范畴,求 L 过某定点等等；有时候题目的条件比较隐蔽,要分析后才能判定是有关弦 AB 的中点问题,比如：弦与某定点 D 构成以 D 为顶点的等腰三角形（即D 在 AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点 AB 关于直线 m 对称等等；例题分析 1：已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的

4、相异两点 A、B,就 |AB|等于解：设直线 AB 的方程为 yxb ,由yx23x2yxb30bx 1x 2x21,进而可求出 AByxb的中点M1,1b ,又由M1,1b 在直线x0上可求出1,x20,由弦2222长公式可求出AB1 1 21 24 23 2招式二：动弦过定点的问题例题 2、已知椭圆C：2 x2 y1 ab0的离心率为3,2 ab22且在 x 轴上的顶点分别为A 1-2,0,A 22,0；（I）求椭圆的方程；（II ）如直线 l x t t 2 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 l 上异于点 T 的任一点,直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于 M 、N 点,试问直线 M

5、N 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（ I）由已知椭圆C 的离心率ec3,a2,就得c3,b1；从而椭圆的方程为2 xy21a24（II ）设M x y 1,N x 2,y 2,直线A M 的斜率为1k ,就直线A M 的方程为yk x2,由yk x2消 y 整理得142 k 1x216k x 2162 k 1402 和x 1是方程的两个根,2 x4y242x 12 16 k 14就x 122 8 k 1,y 114k 1,即点 M 的坐标为22 8 k 1,14k 1,12 4 k 112 4 k 142 k 112 4 k 12 4 k 1同理,设直线A 2N 的斜率为 k2,就得点

6、 N 的坐标为2 8 k 22,14 k 214 k242 k 22ypk t2,ypk2t2k 1k 22,直线 MN 的方程为：yy 1y 2y 1,k 1k 2txx 1x 2x 1令 y=0,得xx y 2 1x y 1 2,将点 M 、N 的坐标代入,化简后得：x4y 1y 2t又t2,042椭圆的焦点为 3,043,即t4 3tt3故当t4 3时, MN 过椭圆的焦点；3招式三：过已知曲线上定点的弦的问题2 2例题 4、已知点 A、B、C 是椭圆 E：x2 y2 1 a b 0 上的三点, 其中点 A 2 3,0 是椭圆的右顶点,a b直线 BC 过椭圆的中心 O,且 AC BC

7、0,BC 2 AC ,如图； I求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程； II如椭圆 E 上存在两点 P、Q,使得直线 PC 与直线 QC 关于直线 x 3 对称,求直线 PQ 的斜率；解： I BC 2 AC ,且 BC 过椭圆的中心 O OC AC AC BC 0 ACO 又 A 2 3,0 点 C 的坐标为 3, 3 ；2A 2 3,0 是椭圆的右顶点,a 2 3,就椭圆方程为：2 2x y2 112 b将点 C 3, 3 代入方程,得 b 24,椭圆 E 的方程为2 2x y 112 4II 直线 PC 与直线 QC 关于直线 x 3 对称,设直线 PC 的斜率为 k ,就直线 QC 的斜

8、率为 k ,从而直线 PC 的方程为：y 3 k x 3,即 y kx 31 k ,由 y2 kx2 31 k 消 y,整理得：x 3 y 12 02 2 21 3 k x 6 3 1 k x 9 k 18 k 3 0 x 3 是方程的一个根,x P 3 9 k 21 183 k k2 3 即 x P 9 k31 3 218 kk 2 3 同理可得：x Q 9 k31 3 218 kk 2 3y P y Q kx P 31 k kx Q 31 k k x P x Q 2 3 k 12 k231 3 k x Px Q9k218 k239k218 k2336k2k PQy Py Q1313 k31

9、3k313 kx Px Q3就直线 PQ 的斜率为定值1 3；招式四：共线向量问题1：如下列图,已知圆 C : x 1 2y 2,8 定点 A ,1 0 , M 为圆上一动点,点 P 在 AM 上,点 N 在 CM 上,且满意 AM 2 AP , NP AM ,0 点 N 的轨迹为曲线 E.I ）求曲线 E 的方程； II ）如过定点 F（0,2）的直线交曲线 E 于不同的两点 G、H（点 G 在点 F、H 之间）,且满意 FG FH,求 的取值范畴 . 解：（ 1）AM 2 AP , NP AM 0 . NP 为 AM 的垂直平分线,|NA|=|NM| 又 | CN | | NM | 2 2

10、 , | CN | | AN | 2 2 2 .动点 N 的轨迹是以点C（ 1,0）, A（1,0）为焦点的椭圆 .且椭圆长轴长为 2a 2 2 ,2焦距 2c=2. a 2 , c ,1 b 2 1 .曲线 E 的方程为 x y 21 .22（2）当直线 GH 斜率存在时,设直线 GH 方程为 y kx ,2 代入椭圆方程 xy 2,12得 1k 2 x 24 kx 3 0 . 由 0 得 k 2 3 . 设 G x 1 , y 1 , H x 2 , y 2 ,2 2就 x 1 x 21 4k k2 1 82 kk 2 1 , x 1 x 21 3k 2 1 62 k 2 2 2 2又 F

11、G FH , x 1 , y 1 2 x 2 , y 2 2 x 1 x 2 , x 1,x 21 2 1 32 k 2 32 2 23 1 2 k 2 3 12 2 k2 3 32 16 1 16 1k , 4 . 4 2 . 解得 .32 3 12 2 3 3 3k又 0 ,1 1 1 .3又当直线 GH 斜率不存在,方程为 x ,0 FG 1FH , 1 . 1,1 即所求 的取值范畴是 11, 3 3 3 32：已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 y 1x 的焦点,离心率为 242 5.（ 1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过椭圆 C 的右焦点

12、作直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点, 交 y 轴于 M5点,如 MA 1 AF ,MB 2 BF,求证：1 2 10. 2 2解：设椭圆 C 的方程为 x2 y2 1（ a b 0 ）抛物线方程化为 x 24 y ,其焦点为 0,1 ,a b2 2就椭圆 C 的一个顶点为 0,1 ,即 b 1 由 e c a2 b 2 5,a 25,椭圆 C 的方程为a a 52x y 21（ 2）证明：右焦点 F 2,0,设 A x y 1 , B x 2 , y 2 , M 0, y 0 ,明显直线 l 的斜率存在,设直52线 l 的方程为 y k x 2,代入方程 x y 21 并整理,得52

13、 21 5 k 2 x 220 k x 220 k 25 0 x 1 x 2 20 k2,x x 1 2 20 k2 5又 MA x y 1 1 y 0 ,1 5 k 1 5 kMB x 2 , y 2 y 0 ,AF 2 x 1 , y 1 ,BF 2 x 2 , y 2 ,而 MA 1 AF ,MB 2 BF ,即 x 1 0, y 1 y 0 1 2 x 1 , y 1 , x 2 0, y 2 y 0 2 2 x 2 , y 2 1 x 1,2 x 2,所以 1 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 x x 2102 x 1 2 x 2 2 x 1 2 x 2 4 2 x 1 x

14、 2 x x 23、已知 OFQ 的面积 S=2 6 , 且 OF . FQ m；设以 O 为中心, F 为焦点的双曲线经过 Q,|OF|c,m61 c2,当|OQ 取得最小值时,求此双曲线方程；,4解： 设双曲线方程为x2y21,Q（ x0, y0）；a2b2FQx0c ,y0,SOFQ=1|OF|y0|26,y04c62OF .FQ c , 0 x 0c ,y0=cx 0c=61 c2x06c；446OQx22 y 03 c29623 ,0c28当且仅当3 c296,即c4 时|,OQ|最小,此时Q6,6或6,8c2所以661a24 . 故所求的双曲线方程为12x2y21；a2b216b2

15、412a2b2类型 1 求待定字母的值2例 1 设双曲线 C：x2 y 21 a 0 与直线 L：x+y=1 相交于两个不同的点 A 、B,直线 L 与 y 轴交a于点 P,且 PA= 5 PB,求 a 的值12思路： 设 A、 B 两点的坐标,将向量表达式转化为坐标表达式,再利用韦达定理,通过解方程组求 a的值；解： 设 Ax 1,y1,Bx 2,y2,P0,1 PA= 5 PB , x 1 , y 1 1 5 x 2 , y 2 1 ,x 1= 5 x . 12 12 12x y 1联立 x 22,消去 y 并整理得, 1a2x2+2a2x2a2=0 * 2 y 1a1 a 20,A 、B

16、 是不同的两点,4 a 48 a 2 1 a 2 0,0a2 且 a1. 于是 x 1+x 2=2 a22且 x 1 x 2=2 a22,2=289 ,60B 和 C, 且满意1a1a即17x 22 a22,且5x 222 a22,消去 x 2 得,2 a2121a121a1a3交于不同的两点a=17, 0a0）过 M （2,2 ） ,N 6 ,1两点, O 为坐标原点,a b（I）求椭圆 E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且 OA OB ？如存在,写出该圆的方程,并求 |AB |的取值范畴,如不存在说明理由；解:（1）由于

17、椭圆 E: x 22 y2 21（ a,b0）过 M （2,2 ） , N 6 ,1两点 , a b所以 a 42b 22 1解得 a 12 18 所以 a2 28 椭圆 E 的方程为 x 2y 2162 12 1 12 1 b 4 8 4a b b 4（2）假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且 OA OB ,y kx m设该圆的切线方程为 y kx m解方程组 x 2y 21 得 x 22 kx m 28 ,即8 42 2 21 2 k x 4 kmx 2 m 8 0 , 2 2 2 2 2 2 2 2就 = 16 k m 41 2 k 2 m

18、 8 88 k m 4 0 ,即 8 k m 4 0 x 1 x 2 4 km21 2 k ,2x x 1 2 2 m2 81 2 k2 2 2 2 2 2y y 2 kx 1 m kx 2 m k x x 22 km x 1 x 2 m 2 k 2 m2 8 4 k m2 m 2 m 8 k2 要使1 2 k 1 2 k 1 2 k2 2 22 m 8 m 8 k 2 2OA OB ,需使 x x 2 y y 2 0 ,即 2 2 0 ,所以 3 m 8 k 8 0 ,所以1 2 k 1 2 k2 3 m 28 2 2 m 22 2 8 2 6 2 6k 0 又 8 k m 4 0 ,所以

19、2 ,所以 m ,即 m 或 m ,由于直8 3 m 8 3 3 3线 y kx m 为圆心在原点的圆的一条切线 ,所以圆的半径为r1 mk 2 , r 21 mk 221 3 mm 228 83 , r 2 63 ,所求的圆为 x 2y 2 83 ,此时圆的切线8y kx m 都满意 m 2 6或 m 2 6,而当切线的斜率不存在时切线为 x 2 6与椭圆3 3 3x 2 y 22 6 2 6 2 6 2 61 的两个交点为 , 或 , 满意 OA OB ,综上 , 存在圆心在原点8 4 3 3 3 3的圆 x 2y 2 8,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且 OA

20、 OB . 3x 1 x 2 4 km2由于 12 2 k , x x 2 21 m2 k 2 82 2 2所以 x 1 x 2 2 x 1 x 2 24 x x 2 4 km2 24 2 m2 8 88 k m2 2 4, 1 2 k 1 2 k 1 2 k 2 2| AB | x 1 x 2 2y 1 y 2 21 k 2 x 1 x 2 21 k 2 88 k m2 2 41 2 k 4 2 232 4 k4 5 k2 1 321 4 k2 , 3 4 k 4 k 1 3 4 k 4 k 1当 k 0 时 | AB | 323 14 k 2 112 4 k由于 4 k 2k 12 4 8

21、 所以 04 k 2 112 4 18 ,所以 323 323 14 k 2 112 4 12 , k k所以4 6 | AB | 2 3 当且仅当 k 2时取 ”=”. 3 2 当 k 0 时, | AB | 4 6. 3 当 AB 的斜率不存在时 , 两个交点为 2 6, 2 6 或 2 6, 2 6 ,所以此时 | AB | 4 6, 3 3 3 3 3综上 , |AB | 的取值范畴为 46 | AB | 2 3 即 : | AB | 46, 2 33 32、在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 0,2 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 x 2y 2 1 有两个不同的交点 P 和2Q

22、（I）求 k 的取值范畴； （II ）设椭圆与 x轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A,B,是否存在常数 k ,使得向量 OP OQ 与 AB 共线？假如存在,求 k 值；假如不存在,请说明理由2解：（）由已知条件,直线 l 的方程为 y kx 2,代入椭圆方程得 x kx 2 2 12整理得 1k 2x 22 2 kx 1 0 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于28 k 24 1k 24 k 22 0,解得 k 2或 k 2即 k 的取值范畴为2 2 2,2 2,2 2（）设 P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,就 OP OQ x 1 x 2,y 1 y 2 ,

23、由方程,x 1 x 2 4 2 k21 2 k又 y 1 y 2 k x 1 x 2 2 2而 A 2 0,B 0 1,AB 2 1, 所以 OP OQ 与 AB 共线等价于x 1 x 2 2 y 1 y 2 ,将代入上式,解得 k 2由（）知 k 2或 k 2,故没有符合2 2 2题意的常数 k 2 23、设 F 、1 F 分别是椭圆 2 x y 1 的左、右焦点 . （）如 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 1PF 2 的5 4最大值和最小值；（） 是否存在过点 A（5,0）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D,使得 |F2C|=|F2D|？如存在,求直线 l 的方程；如不存在,请说

24、明理由 . 解：易知 a 5 , b 2 , c ,1 F 1 1 0, , F 2 1 0, ,设 P（x,y）,就 PF 1 PF 2 1 x , y 1 x , y x 2y 2 1,x 24 4 x 21 1 x 23 x 5 , 5 ,5 5当 x 0,即点 P 为椭圆短轴端点时,PF 1PF 2 有最小值 3；当 x 5,即点 P 为椭圆长轴端点时,PF 1PF 2 有最大值 4 （）假设存在满意条件的直线 l 易知点 A（5,0）在椭圆的外部,当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 与椭圆无交点,所在直线 l 斜率存在,设为 k,直线 l 的方程为 y k x 5 2 2x y由方

25、程组 5 4 1,得 5 k 24 x 250 k x 2125 k 220 0y k x 5依题意 2016 80 k 2 0,得 5k 5当 5k 5时,设交点 C x 1 , y 1 、D x 2 , y 2 ,5 5 5 5CD 的中点为 R x 0y 0 ,就 x 1 x 2 502 k 2, x 0 x 1 x 2 252 k 25 k 4 2 5 k 42y 0 k x 0 5 k 252 k5 202 k. 又|F2C|=|F2D| F 2 R l k k F 2 R 15 k 4 5 k 4k k F 2 R k 0 5 k 2022 k4 20 k 22 120k 2=20

26、k 24,而 20k 2=20k 24 不成立,所以不存1 252 k 4 20 k5 k 4在直线 l ,使得 |F2C|=|F2D|综上所述,不存在直线 l,使得 |F2C|=|F2D| 2 24、椭圆 G：x2 y2 1 a b 0 的两个焦点为 F1、F2,短轴两端点 B 1、B2,已知 F1、 F2、B1、B 2四点a b共圆,且点 N（0,3）到椭圆上的点最远距离为 5 2 .（1）求此时椭圆 G 的方程；（ 2）设斜率为 k（k 0）的直线 m 与椭圆 G 相交于不同的两点 E、F,Q 为 EF 的中点,问 E、F 两点能否关于过点 P（0,3 ）、3Q 的直线对称？如能,求出

27、k 的取值范畴；如不能,请说明理由解：（ 1）依据椭圆的几何性质,线段F1F2 与线段 B1B2 相互垂直平分,故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心故该椭圆中a22 b2c ,即椭圆方程可为x22y22 b2,H（x,y ）为椭圆上一点,就有最大|HN|2x2y3 2y322 b218 ,其中byb,0b3,就yb 时|, HN2|值b26b92,b6 b950 得b352（舍去）,b3 , 当y3 时|,HN2 |有最大值2 b218,2 b21850 得b16所求椭圆方程为2 x32y2116（2）设E x 1,y 1,Fx22 x 12 y 11两式相减得x 02 ky 00 ,y2,Q x

28、 0,y0,就由32162 x 2y2 21又直线 PQ直线 m 3216y01x03直线 PQ 方程为y1 x k3将点 Q（x 0, y0）代入上式得,3k3由得 Q（233k,3 3）, Q 点必在椭圆内部2 x 02 y 01,94时, E、F 两点3216由此得k247,又k0,94k0 或0k94故当k940, 0 ,22222关于点 P、Q 的直线对称5、已知椭圆C:x2y21ab0的离心率为3,过右焦点 F的直线l与C相交于 A 、B 两点, 当l的a2b232 斜率为 1时,坐标原点O到l的距离为 2（I）求a,b的值；（II ）C上是否存在点 P,使得当l绕F转到某一位置时

29、,有OPOAOB 成立？如存在,求出全部的P的坐标与l的方程；如不存在,说明理由；解：（）设F,c 0,当 l 的斜率为1 时,其方程为xyc0,O到 l 的距离为y2）,00cc,故c2,c1,2222由ec3,得a3,ba2c2=2a3（） C 上存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有OPOAOB成立；由 （）知椭圆C 的方程为2 2x +2 3y =6. 设A x 1,y 1,B x 2,y2. 当l不垂直x 轴时,设l的方程为ykx1 假设C上存在点 P,且有OPOAOB 成立,就P 点的坐标为（x 1x2,y 12 x 1 x 2 23 y 1 y 2 26,整理得 2

30、 x 1 23 y 1 22 x 2 23 y 2 24 x 1 x 2 6 y 1 y 2 62 2 2 2又 A、B 在 C 上,即 2 x 1 3 y 1 6 , 2 x 2 3 y 2 6故 2 x 1 x 2 3 y 1 y 2 3 0 2 2将 y k x 1 代入 2 x 3 y ,6 并化简得2 2 2 2 2 3 k x 6 k x 3 k 6 0 于是 x 1 x 22 6 k3 2k 2 , x 1x 2 = 32 k 23 k 62 , y 1 y 2 k 2 x 1 1 x 2 2 2 43 kk 22,代入解得,k 2 2,此时 x 1 x 2 32于是 y 1 y

31、 2 k x 1 x 2 2 = k, 即 P 3, k2 2 2因此,当 k 2 时,P 3, 2 ,l的方程为 2 x y 2 0；2 2当 k 2 时,P 3 , 2 ,l的方程为 2 x y 2 0；2 2（）当 l 垂直于 x 轴时,由 OA OB 2 , 0 知, C 上不存在点 P 使 OP OA OB 成立；综上, C 上存在点 P 3, 2 使 OP OA OB 成立,此时 l 的方程为 2 x y 2 0 . 2 22 2x y6、已知直线 x 2 y 2 0 经过椭圆 C :a 2b 2 1 a b 0的左顶点 A和上顶点 D,椭圆C 的右顶点10l : x为 B ,点S

32、是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线 AS BS 与直线 3 分别交于 M N 两点；（I）求椭圆C 的方程；（）求线段 MN 的长度的最小值；1（）当线段 MN 的长度最小时,在椭圆C 上是否存在这样的点T ,使得TSB的面积为5 ？如存在,确定点T的个数,如不存在,说明理由（I）由已知得,椭圆C 的左顶点为A 2,0,上顶点为D0,1,a2,b12故椭圆 C 的方程为 x y 2 14（）直线 AS 的斜率 k 明显存在,且 k 0,故可设直线 AS 的方程为 y k x 2,从而 M 10 16 , k 3 3y k x 2由 x 22 得 1 4 k 2 x 216 k x 216 k

33、24 0 y 14设 S x 1 , y 1 , 就 2, x 1 16 k 22 4 得 x 1 2 8 k2 2,从而 y 1 4 k2 即 S 2 8 k 22 , 4 k2 ,1 4 k 1 4 k 1 4 k 1 4 k 1 4 k又 B 2,0, 由x y10 4 1 k x 2得 xy 1031 N 103 ,3 1k 故 | MN | 163 k3 1k3 3 k又 k 0, | MN | 16 k 12 16 k 1 8,当且仅当16 k 1,即 k 1时等号成立3 3 k 3 3 k 3 3 3 k 4k 1时,线段 MN 的长度取最小值 84 3（）由（）可知,当 MN

34、取最小值时,k 146 4 4 2此时 BS 的方程为 x y 2 0, , , | BS |5 5 5要使椭圆 C 上存在点 T ,使得 TSB 的面积等于 1,只须 T 到直线 BS 的距离等于 2,所以 T 在平5 4行于 BS 且与 BS 距离等于 2 的直线 l 上；4设直线 l : x y t 0,就由 | t2 2|4 2 , 解得 t 32 或 t 527、已知双曲线 x 2y 22 的左、右焦点分别为 F ,F ,过点 F 的动直线与双曲线相交于 A,B 两点（I）如动点 M 满意 F M F A F B FO （其中 O 为坐标原点）,求点 M 的轨迹方程；（II ）在 x

35、 轴上是否存在定点 C ,使 CA CB 为常数？如存在,求出点 C 的坐标；如不存在,请说明理由解：由条件知 F 1 2 0, ,F 22 0, ,设 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 解法一：（ I）设Mx,y,就F M 1x2,y,F A 1x 12,y 1,x 2F B 1x 22,y 2,FO 12 0, ,由F M 1F A 1F B 1FO 得 1x2x 1x 26,即x 1x 2x4,yy 1y 2y 1y 2y于是 AB 的中点坐标为x24,y2当 AB 不与 x 轴垂直时,y 1y2x2y2xy8,即y 1y 2xy8x 12 4x 1x2又由于 A,B两点在双曲线

36、上,所以2 x 12 y 12,x22 y 22,两式相减得2x 1x 2x 1x 2y 1y 2y 1y 2,即x 1x 2x4y 1y 2y 将y 1y2xy8x 1x 2代入上式,化简得x62y24当 AB 与 x 轴垂直时,x 1x 22,求得M8 0, ,也满意上述方程所以点 M 的轨迹方程是x2 62 y4（II ）假设在 x 轴上存在定点C m, ,使 CA CB 为常数当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线AB 的方程是yk x2k1代入x2y22有1k2x22 4 k x4k220就x 1,x 2是上述方程的两个实根,所以x 1x 24 k21,x x 24k22,k2k211

37、于是CA CBx 1m x 2m k2x 12x 22k21x x 22k2m x 1x24k2m2k214 k224k22k21m 4 k22 mk21k221 2 m k222 m21 2 424m2 mk21k1由于 CA CB 是与 k 无关的常数,所以44m0,即m1,此时 CA CB =当 AB 与 x 轴垂直时,点A,B的坐标可分别设为2,2, 2,2,x 相切于坐标原点O 椭此时CA CB1,2 1,21半径为 2 2 的圆 C 与直线 y故在 x 轴上存在定点C , ,使 CA CB 为常数8、在平面直角坐标系xoy 中,已知圆心在其次象限、圆x 2y 21与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10a291求圆 C 的方程；2摸索究圆 C 上是否存在异于原点的点Q ,使 Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长如存在,恳求出点 Q 的坐标；如不存在,请说明理由解： 1设圆心坐标为 m,