已知数列的简单递推式求数列的通项公式

1、已知数列的简单递推式求数列的通项公式（一）问题提出:已知数列an，a1=1，an+1=3an+2，求数列的通项公式an=？分析理解:由已知递推式an+1=3an+2可以知道，数列an既不是等差数列也不是等比数列，那我们如何求其通项公式呢？如果对递推式an+1=3an+2两边分别加1，得an+1+1=3（an+1），则可以由上式得，an+1是以首项2，公比q=3的等比数列，所以an+1=23n-1，即an=23n-1-1.如果数列an，已知a1=C,递推式an+1=Aan+B，若A=1,则数列an是以C为首项,B为公差的等差数列，则数列的通项公式an= C+(n-1)B. 若A且 a1=时 则数

2、列an是一个常数列，即an=若A且a1，则数列an的递推 an+1=Aan+B为都可以构造为an+1+x=A（an+x），而x的用待定系数法可以确定，即将an+1+x=A（an+x）变形为an+1=Aan+（A-1）x， 令B=（A-1）x，则x=。抽象概括:一般地，如果数列an，该数列具有形如an+1=Aan+B(A且a1)的递推式,则该数列的通项公式为an=（a1+）An-1-。一般地,已知数列an的首项a1，形如递推公式，对递推关系式变形得,则得到是一个以为首项，以为公差的等差数列，求数列的通项公式知识拓展(1).已知数列an的首项a1，形如递推公式，对递推关系式变形得,然后利用上面的结

3、论求通项公式，求数列的通项公式。(2)已知数列an的首项a1为正数，形如an+1=A递推公式，对递推关系式变形得， ln an+1=ln A，即lnan+1=Blnan+lnA,然后利用上面的结论求通项公式，求数列的通项公式。(3)已知数列an的首项a1为正数,有形如递推公式，对递推公式变形的上式（两边同时除以，然后利用上面的结论求通项公式，求数列的通项公式。例1 已知数列an，a1=2，an+1=4an+3，求数列的通项公式。解 : 由an+1=4an+3得 an+1+1=4（an+1） 所以，an+1是以3为首项，以4为公比的等比数列，因此 an+1=34n-1 所以 数列的通项公式an=

4、34n-1-1.例2 已知数列an，a1=1，求数列的通项公式。解 由得， 因此， 所以是以2为首项，以3为首项的等比数列。所以 ，=23n-1，因此数列的通项公式。例3已知数列an，a1=1，an+1=,求数列的通项公式。解 由an+1=,两边取常用对数得ln an+1=2lnan+ln3，对此式变形得ln an+1 ln3=2（lnan+ln3）所以lnan+ln3是以ln3为首项，以2为公比的等比数列，因此 lnan+ln3= ln32n-1， lnan = ln32n-1-ln3 所以。练习题 1已知a1=2，an+1=4an+3，求数列的通项公式 2. 已知a1=1，求数列的通项公式

5、已知数列的简单递推式求数列的通项公式（二）问题提出:已知数列an，a1=1，an+1=3an+2n，求数列的通项公式an=？分析理解:由已知递推式an+1=3an+2n可以知道，数列an我们在之前的学习中没遇见过，那我们如何求它的通项公式呢？如同上一讲一样，我们对递推式变形，如果对递推式an+1=3an+2n两边分别加2n+1，得an+1+2n =3（an+2n），则可以由上式得， an+2n是以首项3，公比q=3的等比数列，所以an+2n =33n-1，即an=3n-2n.如果数列an，已知a1=D递推式an+1=Aan+CBn，若A=0，则数列an的通项公式an= Bn(n),若A=1，

6、则数列an是以C为首项， 可以利用累加法求数列的通项公式an，若A=B, 则递推式可以变形为,则是以D为首项，以C为公差的等差数列，若A且A，则数列an的递推an+1=Aan+CBn为都可以构造为an+1+xBn+1=A（an+xBn），而x的用待定系数法可以确定，将an+1+xBn+1=A（an+xBn）变形为an+1=Aan+（A-B）xBn， 令D=（A-B）x，则x=。抽象概括:一般地，如果数列an，该数列具有形如an+1=Aan+CBn (A，A)的递推式,则该数列的通项公式为an=（a1+）An-1-Bn。例 已知数列an，a1=1，an+1=2an+3n，求数列的通项公式。解 由an+1=2an+3n得 an+1+23n+1 =2（an+23n） 所以，an+23n是以7为首项，以2为公比的等比数列，因此 an+23n =72n-1 所以 数列的通项公式an=72n-1-23n.此外，还有一些数列具有形如an=an+T ,an-T=an+T, an=-an+T, 的递推关系，因为数列的通项公式an可以看作一种特