《偏微分方程》教学大纲

1、 偏微分方程教学大纲前言偏微分方程是数学与应用数学专业重要的专业基础课之一。偏微分方程理论始于数学物理方程的研究。它既有悠久的历史，又不断地更新着它的对象、内容和方法。偏微分方程学科已经成为数学中的一门重要的分支。本课程主要研究的是偏微分方程中数学物理方程。数学物理方程主要指从物理学及其其它各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程。随着偏微分方程理论的发展，数学物理方程已经成为纯粹数学的许多分支和自然科学各部门及工程技术领域之间的一个重要的桥梁。设置本课程的目的是一方面要求学生能够理解、掌握波动方程、热传导方程和调和方程的基本性质与求解方法。另一方面要求学生在学习基本理论和求解方法的同时，注

2、意理解处理问题的思想方法。学习本课程的要求是：学习者应掌握三类典型的二阶线性偏微分方程的基本理论和方法。会运用偏微分方程知识求解和解释来源于物理、几何、生物和化学等学科的实际问题。偏微分方程是应用数学专业的一门必修课程，从课程的地位来说，它是专业基础课，对于后续课程的研究起着很重要的作用本课程计划总学时72学时，4学分。预备课程：数学分析线性代数复变函数常微分方程选用教材：谷超豪等.数学与物理方程(第2版).高等教育出版社,2002教学手段：课堂讲授为主，习题课、课外辅导为辅考核方法：考试教学进程安排表周次学时数教学主要内容教学环节备注12第1章波动方程1.1方程的导出、定解条件讲课121.2

3、达朗贝尔公式、波的传播讲课241.3边值问题的分离变量法讲课321.4高维波动方程的柯西问题讲课321.5波的传播与衰减讲课421.6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性讲课42课后习题习题课52第二章热传导方程2.1热传导方程及其定解问题的导出2.2初边值问题的分离变量法自学讲课522.2初边值问题的分离变量法讲课622.3柯西问题讲课622.4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性讲课722.4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性2.5解的渐进性态讲课72课后习题习题课82第三章调和方程3.1建立方程、定解条件讲课823.2格林公式及其应用讲课923.2格林公式及其应用3.3格林函数讲课9

4、23.3格林函数讲课1023.4强极值原理、第二边值问题解的唯一性讲课102课后习题习题课112第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结4.1二阶线性方程的分类讲课1124.2二阶线性方程的特征理论讲课1224.3三类方程的比较讲课1224.4先验估计讲课1324.4先验估计讲课132第五章一阶偏微分方程组5.1引言5.2两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论5.3两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题讲课1425.4两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题5.5幂级数解法、柯西柯瓦列夫斯卡娅定理自学讲课142课后习题习题课152第六章广义解与广义函数6.1广义解6.2广义函数的概念讲课15

5、26.2广义函数的概念讲课1626.3广义函数的性质与运算讲课1626.4广义函数的傅立叶变换讲课1726.5基本解讲课172课后习题习题课182总复习讲课182总复习习题课第一章 波动方程一、学习目的掌握弦振动方程的达朗贝尔解法和初边值问题的分离变量法，了解叠加原理及掌握叠加原理的运用。掌握能量不等式推导的思想及如何运用到柯西问题和初边值问题的解的唯一性与稳定性的研究中。本章计划16学时。二、课程内容1.1方程的导出、定解条件重要概念：偏微分方程、偏微分方程的阶、线性方程、拟线性方程、定解条件、齐次方程、齐次边界条件、齐次初始条件。1.2达朗贝尔公式、波的传播重要概念：叠加原理、齐次化原理。

6、重要公式：达朗贝尔公式基本理论：弦振动方程柯西问题的求解方法达朗贝尔解法、用齐次化原理求解非齐次方程。达朗贝尔公式的推导的理论基础在第四章将会讲到，对于达朗贝尔公式关键是理解其推导方法，这样才能灵活运用。在以后的学习中，还将遇到齐次化原理，不同的问题其齐次化原理的表述是不同的，但其思想都是一样的，这点需要注意。1.3初边值问题的分离变量法基本理论：分离变量法、齐次化原理、齐次化边界条件本节用分离变量法求解了一类波动方程的初边值问题，这个方法在后面的热传导方程中仍将遇到，所采用的步骤都一样。这里需要注意的是分离变量法所适用的问题必须有两个齐次，即方程齐次和边界条件齐次。对于非齐次方程的齐次边界的

7、定解问题可以用齐次化原理去求解，而齐次方程的非齐次边界条件的定解问题可以用齐次化边界条件求解。如果遇到方程和边界条件都是非齐次的，可以用叠加原理将这一个复杂问题化为刚才所提到的两个稍微简单的问题。1.4高维波动方程的柯西问题基本理论：球平均法、降维法要理解为什么本节先求解三维的波动方程的柯西问题，再用降维法去把二维的波动方程的柯西问题转化为三维的波动方程的柯西问题来求解。球平均法为什么不能直接用在二维的波动方程的柯西问题上？这里需要指出的是球平均法的思想本质是通过作一个函数的球平均来将三维柯西问题化为弦振动方程的柯西问题。1.5波的传播与衰减重要概念：依赖区域、决定区域、影响区域、惠更斯原理基

8、本原理：波动方程的衰减本节的内容主要是理解。1.6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性基本理论：能量估计三、重点、难点提示和教学手段重点：1达朗贝尔公式2.分离变量法3.能量估计难点：分离变量法四、思考与练习1.分离变量法所适用的前提为什么需要两个齐次？2.如何将边界条件齐次化？第二章热传导方程一、学习目的1掌握如何运用分离变量法来求解热传导方程的初边值问题。2掌握如何运用傅立叶变化来求解热传导方程的柯西问题。3掌握热传导方程的极值原理，并能灵活运用。本章计划12学时。二、课程内容2.1热传导方程及其定解问题的导出2.2初边值问题的分离变量法基本理论：分离变量法2.3柯西问题重要概念：傅立叶

9、变换基本理论：傅立叶变换法求解柯西问题2.4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性重要概念：抛物边界基本理论：极值原理在后面我们还将介绍调和方程的极值原理，它比热传导方程的极值原理“更好”。2.5解的渐近形态基本理论：初边值问题和柯西问题解的渐近形态三、重点、难点提示和教学手段重点：1.分离变量法。2傅立叶变换法。3极值原理。难点：1.分离变量法。2.极值原理的运用。四、思考与练习1.如何用分离变量法求解圆形区域上的热传导问题2.极值原理的证明第三章调和方程一、学习目的1.了解调和方程的边界条件和边值问题的提法。2.理解如何运用格林公式推导出调和方程的平均值公式。3.掌握调和方程的极值原理。4.

10、会求解一些简单的格林函数本章计划12学时。二、课程内容3.1建立方程、定解条件重要概念：拉普拉斯方程的外问题3.2格林公式及其应用重要公式：格林公式、平均值公式。基本原理：极值原理3.3格林函数重要概念：格林函数基本理论：静电源像法求解三维球形区域上的格林函数、调和函数的基本性质。重要公式：哈那克不等式3.4强极值原理、第二边值问题解的唯一性基本原理：强极值原理三、重点、难点提示和教学手段重点：1.运用格林公式推导调和方程解的表达式。2.静电源像法求解特殊区域上的格林函数。3.极值原理和强极值原理难点：1.静电源像法。2.极值原理和强极值原理的运用。四、思考与练习1.为什么要引进格林函数？2.

11、格林函数性质的证明。3一般的椭圆型方程的极值原理怎样表述及如何证明？第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结一、学习目的1.掌握两个自变量的二阶线性方程的化简。2.了解二阶线性方程的特征理论。3.了解三类方程的解的性质、定解问题的提法等方面的差别。本章计划10学时。二、课程内容4.1二阶线性方程的分类重要概念：特征方程、双曲型方程、抛物型方程、椭圆型方程基本理论：方程的分类及两个自变量的二阶线性方程的化简。4.2二阶线性方程的特征理论重要概念：弱间断解、特征曲面、特征方程、特征方向。基本理论：二阶线性方程的特征理论4.3三类方程的比较4.4先验估计重要概念：先验估计重要公式：弗里德里克斯不等式基

12、本理论：格林公式在能量估计中的运用三、重点、难点提示和教学手段重点：两个自变量的二阶线性方程的化简。难点：两个自变量的二阶线性方程的化简和先验估计。四、思考与练习1.如何证明在两个自变量的二阶线性方程的化简中所作的变换是可逆变换？2.达朗贝尔公式的推导与两个自变量的二阶线性方程的化简的关系？第五章一阶偏微分方程组一、学习目的1.了解两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论。2.理解逐次逼近法求解两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题。3.了解两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题。4.了解幂级数解法。本章计划6学时。二、课程内容5.1引言重要概念：经典解基本理论：一阶微分方程组与高阶方程

13、的关系5.2两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论重要概念：特征方程、特征线、特征线方向基本理论：将严格双曲型方程组化为对角型5.3两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题基本理论：逐次逼近法5.4两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题5.5幂级数解法、柯西柯瓦列夫斯卡娅定理基本理论：幂级数解法三、重点、难点提示和教学手段重点：逐次逼近法难点：逐次逼近法四、思考与练习如何运用逐次逼近法求解两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题？第六章广义解与广义函数解一、学习目的1.掌握广义函数概念及性质。2.理解广义函数的傅立叶变换。3.会求解一些简单问题的基本解。本章计划12学时。二、课程内容6.1广义解重要概念：强解、弱解、广义解、紧支集。6.2广义函数的概念重要概念：广义函数、基本函数空间6.3广义函数的性质与运算重要概念：广义函数的极限、广义函数的导数、广义函数的乘子、广义函数的卷积。6.4广义函数的傅立叶变换基本理论：广义函数的傅立叶变换6.5基本解重要概念：热传导方程柯西问题