六年级数学上册组合图形的周长和面积讲解

1、 (D六年级数学上册组合图形的周长和面积例1.求阴影部分的面积。（单位:厘米）解：这是最基本的方法：占圆面积减去等腰直角三角形的面积，JTT2-2x1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。（单位:厘米）解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去占圆的面积。设圆的半径为r,因为正方形的面积为7平方厘米，所以rJ7,兀兀所以阴影部分的面积为：7-石：=7-阳x7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。（单位:厘米）解：最基本的方法之一。用四个占圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2x2-n=0.86平方厘米。个正方(5)例4.求阴

2、影部分的面积。（单位:厘米）解：同上，正方形面积减去圆面积，16-n（22）=16-4n=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。（单位:厘米）解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去形，n（22）x2-16=8n-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）n：-n（22）=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的

3、面积。（单位:厘米）解：正方形面积可用（对角线长X对角线长-2，求）正方形面积为：5x5-2=12.5所以阴影面积为：n-4-12.5=7.125平方厘米（注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形）例8.求阴影部分的面积。（单位:厘米）解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为占圆，所以阴影部分面积为：监（22）=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。（单位:厘米）解：把右面的正方形平移至左边的正方形部分，则阴影部分合成一个长方形，所以阴影部分面积为：2x3=6平方厘米例10.求阴影部分的面积。（单位:厘米）解：同上，平移左右两部分至中

4、间部分，则合成一个长方形所以阴影部分面积为2x1=2平方厘米（注:8、9、10三题是简单割、补或平移）例11.求阴影部分的面积。（单位:厘米）这种图形称为环形，可以用两个同心圆的面积差或差的一部分来求601（n4-n5x=Ex3.14=3.66平方厘米例12.求阴影部分的面积。（单位:厘米）解：三个部分拼成一个半圆面积n（3）*2=14.13平方厘米例13.求阴影部分的面积。（单位:厘米）解:连对角线后将叶形剪开移到右上面的空白部分,凑成正方形的一半.所以阴影部分面积为：8x8-2=32平方厘米(13)例14.求阴影部分的面积。（单位:厘米）解：梯形面积减去4圆面积，亍（4+10）x4-tn4

5、=28-4n=15.44平方厘米例15.已知直角三角形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。分析:此题比上面的题有一定难度,这是叶形的一个半.解：设三角形的直角边长为r则刁:乙12,匚）6圆面积为：nF2=3n。圆内二角形的面积为12F2=6,3阴影部分面积为：（3n-6）X2=5.13平方厘米例16.求阴影部分的面积。（单位:厘米）解:亍n2+亓4匸n行=Ln（116-36）=40n=125.6平方厘米例17.图中圆的半径为5厘米,求阴影部分的面积。（单位：厘米）解：上面的阴影部分以AB为轴翻转后,整个阴影部分成为梯形减去直角三角形，或两个小直角三角形AED、BCD面积和。所以阴影部分面积为

6、：5X5F2+5X10F2=37.5平方厘米 (26) 例18.如图，在边长为6厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形,求阴影部分的周长。解：阴影部分的周长为三个扇形弧，拼在一起为一个半圆弧所以圆弧周长为：2X3.14X3F2=9.42厘米例19.正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。解：右半部分上面部分逆时针，下面部分顺时针旋转到左半部分，组成一个矩形。所以面积为：1X2=2平方厘米(19)例20如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积。解：设小圆半径为r，4F=36,r=3，大圆半径为R,尺=2=18,将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环,所以面积为:n(-r2)F2=4

7、.5n=14.13平方厘米例21.图中四个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的面积。解：把中间部分分成四等分，分别放在上面圆的四个角上，补成一个正方形边长为2厘米，所以面积为：2X2=4平方厘米(21)例22.如图，正方形边长为8厘米，求阴影部分的面积。(22)解法一:将左边上面一块移至右边上面,补上空白,则左边为一三角形,右边一个半圆.阴影部分为一个三角形和一个半圆面积之和.n(42)F2+4X4=8n+16=41.12平方厘米解法二:补上两个空白为一个完整的圆.所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形，叶形面积为:n（452-4X4=8n-16所以阴影部分的面积为:n（4，）-8n+16=41.1

8、2平方厘米例23.图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心，如果(23)每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少？解：面积为4个圆减去8个叶形，叶形面积为：亍n-1X1=3n-1所以阴影部分的面积为：4n2-8（3n-1）=8平方厘米例24.如图，有8个半径为1厘米的小圆，用他们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。如果圆周n率取3.1416，那么花瓣图形的的面积是多少平方厘米？(24)(25)分析：连接角上四个小圆的圆心构成一个正方形，各个小圆被切去个圆,这四个部分正好合成3个整圆，而正方形中的空白部分合成两个小圆.解：阴影部分为大正方形

9、面积与一个小圆面积之和为：4X4+n=19.1416平方厘米例25.如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。（单位:厘米）分析：四个空白部分可以拼成一个以2为半径的圆.所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面积，4X（4+7）F2-n22=22-4n=9.44平方厘米例26如图，等腰直角三角形ABC和四分之一圆DEB，AB=5厘米，BE=2厘米，求图中阴影部分的面积。E解：将三角形CEB以B为圆心，逆时针转动90度，到三角形ABD位置，阴影部分成为三角形ACB面积减去占个小圆面积，为：5X5F2-n224=12.25-3.14=9.36平方厘米例27如图，正方形ABCD的对角线AC=2厘米，

10、扇形ACB是以AC为直径的半圆，扇形DAC是以D为圆心，AD为半径的圆的一部分，求阴影部分的面积。解：因为2(AD)2=4,所以=2以AC为直径的圆面积减去三角形ABC面积加上弓形AC面积,亦2-2X24+n阿尸-F4-2二亍n-1+Qn-1)例28.求阴影部分的面积。(单位:厘米)二n-2=1.14平方厘米解法一：设AC中点为B,阴影面积为三角形ABD面积加弓形BD的面三角形ABD的面积为：5X5F2=12.5积,弓形面积为：nF2-5X5F2=7.125所以阴影面积为:12.5+7.125=19.625平方厘米TOC o 1-5 h z1哲解法二：右上面空白部分为小正方形面积减去区小圆面积

11、，其值为：5X5-Nn=25-42525阴影面积为三角形ADC减去空白部分面积，为：10X52-(25-4n)=4n=19.625平方厘米例29图中直角三角形ABC的直角三角形的直角边AB=4厘米，BC=6厘米，扇形BCD所在圆是以B为圆心，半径为BC的圆，ZCBDhCr，问：阴影部分甲比乙面积小多少？解：甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形BCD，一个成为三角形ABC，BC此两部分差即为：n6叹须一亍X4X6=5n-12=3.7平方厘米(29) 例30如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米,AB=40厘米。求BC的长度。解：两部分同补上空白部分

12、后为直角三角形ABC，一个为半圆，设BC长为X,则40XF2-盯2於F2=28所以40X-400n=56则X=32.8厘米例31.如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点(30)Q为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积。解：连PD、PC转换为两个三角形和两个弓形，1两三角形面积为：AAPD面积+QPC面积二亍（5X10+5X5）=37.5两弓形PC、PD面积为：了n2-5X525所以阴影部分的面积为：37.5+2n-25=51.75平方厘米例32.如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面积。解：三角形DCE的面积为:亍X4X10=20平方厘米梯形AB

13、CD的面积为:亍（4+6）X4=20平方厘米从而知道它们面积相等，则三角形ADF面积等于三角形EBF面积，阴影部分可补成占圆ABE的DBC面积，其面积为：n624=9n=28.26平方厘米(32)例33.求阴影部分的面积。（单位:厘米）解:用N大圆的面积减去长方形面积再加上一个以2为半径的N圆ABE面积，为1护4(n+n22)-6二NX13n-6=4.205平方厘米例34.求阴影部分的面积。（单位:厘米）解：两个弓形面积为：n25X4F2=n-6阴影部分为两个半圆面积减去两个弓形面积，结果为-22+n254n-6)=n254)+6=6平方厘米例35.如图，三角形OAB是等腰三角形，OBC是扇形

14、，OB=5厘米,解：将两个同样的图形拼在一起成为占圆减等腰直角三角形n尸三4-亍X5X5F22525=（4n-）F2=3.5625平方厘米例36.如图1910所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O的面积。解：因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图1910右图所示）。所以3.14X12x4X2=1.57（平方厘米）答：长方形长方形ABOO的面积是1.57平方厘米。例37.如图1914所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。解：我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分，把它还原

15、成长方形后（如右图所示）,因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三角形面积分别相等，所以I和II的面积相等。6X4=24（平方厘米）答：阴影部分的面积是24平方厘米。解：阴影部分的面积等于平行IO1918边形的面积减去扇形AOC的积厂再减去三角形BOC的例38如图1918所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，ZABC=30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。扇形的面积：2X2X3.14X603602.09（平方厘米）面积。半径：4F2=2（厘米）扇形的圆心角：180（18030X2）=60（度）三角形BOC的面积：722=1.75

16、（平方厘米）7（2.09+1.75）=3.16（平方厘米）答：阴影部分的面积是3.16平方厘米。组合图形的周长与面积练习题圆的周长和面积（一）【知识要点】：用剪拼移补的方法计算组合图形的面积1、计算下面图形中涂色部分的面积。（单位：厘米）52、求下面图形中涂色部分的面积。（单位：厘米）3、下面两个圆中直角等腰三角形的面积都是5平方厘米，求圆的面积。4、如下图示，AB=4厘米，求涂色部分的面积。求阴影面积6、如下图所示，一个圆的周长是15.7厘米，求长方形的面积。圆的周长和面积（二）一、关键问题：对于组合图形的面积，可以通过把其中的部分图形进行平移，翻折或旋转，化难为易二、典型例题：（一）基础部

17、分：1、例1、将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长。2、例2、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）43、例3、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）（二）拓展部分：1、例1:两条细绳各自牢牢地绑住如（甲）（乙）两图所示的卷筒纸，每个卷筒纸的半径是10cm。请问这两条细绳的长度分别是几厘米?1、如图：正方形的边长是5厘米，2、求阴影部分的周长。3、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）4、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）44（二）拓展练习：1、有7根直径都是2分米的圆柱形木棍，想用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少米长的绳子？（打结用的绳长不计）2、直径均为1

18、米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，（如图），试求金属带的长度。3、求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。4、下图：大圆直径上的所有小圆的周长之和与大圆的周长有什么关系？如果小圆的直径分别是3厘米、1厘米、4厘米、2厘米。请求出大圆直径上所有小圆的周长之和，以及大5、下图：小圆的周长是12.56厘米，环形的宽度是2厘米，请求出环形的面积。6、下图：长方形的长是6厘米，宽是3厘米。请求出阴影部分的面积。7、下图：大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米，请求出阴影部分的面积。8、求出下图阴影部分的面积。-3笨6H米卜3H米9、求出下图阴影部分的面积。10、下图：正方形的边长是5厘

19、米，请求出阴影部分的面积。阴影部分占正方形的百分之几？11、下图是由两个边长是5厘米正方形的拼成长方形，请求出阴影部分的面积。12、下图正方形的面积是8平方厘米，画出其对称轴，并求出阴影部分的面积。13、下面正方形的边长是5厘米，请求出阴影部分的面积。14、根据上图，以及上图的条件求出阴影部分的面积。15、下图：圆的周长是25.15厘米，请求出阴影部分的面积。16、下图：直角三角形的两直角边分别是8厘米，6厘米斜边是三角形周长的咅，求出阴影部分的面积。17、下图：正方形的边长是5厘米，请求出阴影部分的面积。18、如图8,已知EO=8cm,求阴影部分的周长和面积。19、如图10,求阴影部分的周长

20、和面积。（单位：cm）20、如图11,求阴影部分的面积及阴影弧线长的和。21、如图12,已经半圆的直径为10m,求阴部分的面积及阴影弧线长的和22、如下图，已知AB=12厘米，且阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积大12平方厘米。求BC的长是多少厘米？B23、如下图，求出阴影部分的周长和面积。（单位：cm）24、如下图，已知AC=CD=DB=2cm,求阴影部分的周长和面积。25、已经半圆的直径为9cm,求阴影部分的面积。26、如下图，求阴影部分的周长与面积。（单位：cm）27、如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行

21、四边形ABCD的面积。28、如图所示，直径BC=8厘米，AB=AC,29、如图所示，AB=BC=8厘米，求阴影部分的面积。B30、如图所示，求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）31、如图1916所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长度。32.图1917是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部分的面积（单位：厘米）。5120 D33、如图1919所示，Zl=15度，圆的周长位62.8厘米，平行四边形的面积为100平方厘米。求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。34、如图1920所示，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC=6厘米，B

22、D：DC=3：1。求阴影部分的面积。35、如图1921所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。12B1921三角形面积计算【例题1】已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE=ED，BD=2/3BC，求阴影部分的面积。【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF，可知SAEF=SEDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。因为BD=2/3BC，所以SABDF=2SADCF。又因为AE=ED，所以SABF=SBDF=2SDCF。因此，SAABC=5SDCFO由于SAABC=8平方厘米，所以沁DC

23、F=8F5=1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6X2=3.2平方厘米）。练习1：如图，AE=ED，BC=3BD，SAABC=30平方厘米。求阴影部分的面积。A如图所示，AE=ED,DC=1/3BD,SAABC=21平方厘米。求阴影部分的面积。3如图所示，DE=1/2AE,BD=2DC,SAEBD=5平方厘米。求三角形ABC的面积。【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少？【思路导航】已知SABOC是SADOC的2倍，且高相等，可知：BO=2D0；从SABD与SACD相等（等底等高）可知：SAABO等于6,而厶ABO

24、与AAOD的高相等，底是AOD的2倍。所以AOD的面积为6三2=3。因为SABD与SACD等底等高所以SAABO=6因为SABOC是SADOC的2倍所以AABO是AAOD的2倍所以AOD=6F2=3。答：厶人。的面积是3。练习2：1两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？2.已知AO=1/3OC,求梯形ABCD的面积（如图所示）。A6D已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABCD的面积。（如图所示）。【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。

25、求四边形ABCD的面积（如图所示）。【思路导航】由于E、F三等分BD,所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。15X3=45（平方厘米）答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。练习3：四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图）。已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为

26、15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图所示）。3.如图所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。【例题4】如图所示，BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？【思路导航】因为BO=2DO,取BO中点E，连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性质,可知SADBC=SACDA；SAC0B=SAD0A=4，类推可得每个三角形的面积。所以，SACD0=4F2=2（平方厘米）SADAB=4X3=12平方厘米S梯形ABCD=12+4+2=18（平方厘米）答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。练习4：如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，0C=2A0。求梯形面积。

27、已知0C=2A0,SAB0C=14平方厘米。求梯形的面积（如图所示）。已知SAAOB=6平方厘米。OC=3AO,求梯形的面积（如图所示）。【例题5】如图所示，长方形ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,求二角形ABC的面积。【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（16三2）=8。用8减去3得到三角形ABE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形

28、BEC的面积为5F2=2.5，所以，三角形ABC的面积为16342.5=6.5。练习5：如图所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方厘米，三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。如图所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，SABE=4平方厘米，SAFD=6平方厘米，求三角形AEF的面积。如图所示，长方形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米，求三角形AEF的面积。简单几何体的表面积与体积的计算一、四种常见几何体的平面展开图1.正方体沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方

29、形组成的，见图61。图61只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。2.长方体沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图62。图62只是长方体平面展开图的一种画法还有别的画法（从略）。（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图63就是圆柱的平面展开图。图（直）圆锥体沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是

30、由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图64。二、四种常见几何体表面积与体积公式长方体长方体的表面积=2X（aXb+bXc+cXa）长方体的体积=aXbXc（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。正方体正方体的表面积=6Xa2正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。圆柱体圆柱体的侧面积=2nRh圆柱体的全面积=2nRh+2nR2=2nR(h+R)圆柱体的体积=nR2h(这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高)。圆锥体圆锥体的侧面积=盯Rl圆锥体的全面积二nRl+nR2圆锥体的体积=兀_%疋这里1、h分

31、别为圆锥体底面圆的半径母线长与高)。三、例题选讲例1图65中的几何体是一个正方体，图66是这个正方体的一个平面展开图，图67(a)、(b)、(c)也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。分析与解：从图65和图66中可知：与翘愛与冏陋与巨互相处于相对面的位置上。只要在图67（a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。先看图67中的（a）,仔细观察可知，1与4，3与处在互为对面的位置上。再看图67中的（b），同上，1与3，2与处在互为对面的位置上。最后再看图67中的（c），同上，1与口，2与

32、4处在互为对面的位置上。图67（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图68中的（a）、（b）、（c）。例2图69中的几何体是一个长方体，四边形APQC是长方体的一个截面（即过长方体上四点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形），P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点，请在此长方体的平面展图上，标出线段AC、CQ、QP、PA来。分析与解：只要能正确画出图69中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图610中的粗实线就是题目中所要标出的线段AC、CQ、QP、PA。cC1/%BA从、BA610例3在图611中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N,沿怎么样的路线路程最短？图E11分析与解：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图612,从M点绕圆柱体的侧面到达N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图612和图613。例4图614中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，