2022年《用向量法求异面直线所成的角》教案

1、- 第一讲：立体几何中的向量方法利用空间向量求异面直线所成的角大家知道,立体几何是高中数学学习的一个难点,以往同学学习立体几何时,主要实行“ 形到形”的综合推理方法,即依据题设条件,将空间图形转化为平面图形,再由线线,线面等关系确定结果,这种方法没有一般规律可循,对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强, 致使大多数同学都感到束手无策；高中新教材中, 向量学问的引入,为同学解决立体几何问题供应了一个有效的工具；它能利用代数方法解决立体几何问题,表达了数形结合的思想；并且引入向量, 对于某些立体几何问题供应通法,避免了传统立体几何中的技巧性问题,因此降低了同学学习的难度,减轻了同学学习的负担,表达了

2、新课程理念；为适应高中数学教材改革的需要,需要讨论用向量法解决立体几何的各种问题；本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题；以此强化向量的应用价值,激发同学学习向量的爱好,从而达到提高同学解题才能的目的；利用向量法求空间角,不需要纷杂的推理,只需要将几何问题转化为向量的代数运算,便利快捷；空间角主要包括线线角、线面角和二面角,下面对线线角的求法进行总结；教学目标1.使同学学会求异面直线所成的角的向量方法；2. 使同学能够应用向量方法解决一些简洁的立体几何问题；3. 使同学的分析与推理才能和空间想象才能得到提高 . 教学重点求解异面直线所成的角的向量法 . 教学难点求解异面直线所成的角的

3、向量法 . 教学过程- - 、复习回忆一、回忆有关学问：1 、两异直线所成的角： （范畴：0,2）a 与 b 的平行线 a 与b ,那么直线 a 与b 所成的（1 ）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线锐角或直角,叫做异面直线a 与 b 所成的角 . a、b 的方向向量分别为a 和 b ,（2）用向量法求异面直线所成角,设两异面直线a 问题 1： 当 a与 b 的夹角不大于O Oab 90 时,异面直线 a、 b 所成问题的角与 a 和 b 的夹角的关系？a,bb2： a 与 b 的夹角大于90 时,异面直线a、 b 所成的角与 a 和 b 的夹角的关系？a,bbaO两向量数量积的定义：ab

4、|a|b|cosa ,b- - 两向量夹角公式：cosa,b|a|b|cos|cosa ,b|a|b|ab结论：异面直线a、 b 所成的角的余弦值为|ab|2 、用空间向量解决立体几何问题的“ 三步曲”：（1 ）建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题； （化为向量问题 ）（2 ）通过向量运算,讨论点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3 ）把向量的运算结果“ 翻译” 成相应的几何意义；（回到图形）、典例分析与练习摸索： 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,如E 与F 分别为A 1B 1、

5、xA 1zF 1E 1B 1C 1yD 1C 1D 1的四等分点,求异面直线DF 与BE 的夹角余弦值？（1）方法总结：几何法；向量法ADBC（2）cosDF 1,BE 1与cosDF1,E 1B相等吗？（3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区分？例 1 如图,正三棱柱ABCA 1C 1 的底面边长为a,侧棱长为2 a,求AC 和CB 所成的角 . 分析： 建立空间直角坐标系,转化为向量与向量的夹角问题；1A Z C 11B步骤： 1.写出异面直线的方向向量的坐标；- xADCBy x - 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角；解：如图建立空间直角坐标系Axyz,就A 0 0, 0, ,

6、C 13a ,1a ,2a ,C 3a ,1a0, ,B 1 0 ,a ,2 a 2222AC 13a ,1a,2 a ,CB 13a,1a ,2 a22223a21即cosAC1,CB1|AC1|CB1|2AC1CB 1a22相等吗？3AC 和CB 所成的角为3DF 1,E 1B总结 : （1）cosDF 1,BE 1与cos（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区分？点拨 求异面直线所成的角可利用空间向量表示直线的方向向量,转化为向量所成的角；两异面直线所成角的范畴是 0,两向量的夹角 的范畴是 0,；当异面直线的方向向量的夹角为锐角或2直角时,就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向

7、量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角；练习 1：在中,90 ,现将 沿着平面的法向量方向平移到A1O 1B1 的位置, 已知 1,取 A1B1 、A 1O 1的中点 D1 、F1,求异面直线1 与 1 所成的角的余弦值；1, 解：以点 O 为坐标原点建立空间直角坐标系,并设OA就 A1,0,0 ,B0,1,0 , F11,0,1 ,D 11, 1,1 222- - 30.AF 11,01,BD11,11, 222cosAF1,BD1|AF1|BD1|10314AF1BD151042.与所成角的余弦值所以,异面直线.与.所成的角的余弦值为30 . 10练习 2： 在正方体 A.B.C.D.中, M 是的中点,求对角线解：建立如下列图的直角坐标系,设正方体的棱长为 1 ,就 D0,0, 0,C0,1, 0,B11 ,1,1 ,. 1 1,1, 1 ,1, . 异面直线1 与所成角的余弦值为. 、小结与收成1、异面直线所成的角的余弦值：cos|cosa ,b|ab|；. |a|b|2、用空间向量解决立体几何问题的一般步骤、课后练习1、如图,在棱长为的正方体A