新人教版高中数学必修第二册第六章平面及其应用：6.1~6.2综合拔高练

1、6.16.2综合拔高练五年高考练 考点1平面向量的夹角和模1.(2020课标,6,5分,)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,ab=-6,则cos=() A.-3135B.-1935C.1735D.19352.(2019课标,7,5分,)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.563.(2017课标,4,5分,)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.abB.|a|=|b|C.abD.|a|b|4.(2019北京,7,5分,)设点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|BC|”的()A.充分

2、而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.(2020课标,14,5分,)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.6.(2019课标,13,5分,)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-5b,则cos=.7.(2017课标,13,5分,)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.考点2平面向量的数量积及其应用8.(2018课标,4,5分,)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=() A.4B.3C.2D.09.(2020新高考,7,5分,)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则A

3、PAB的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)10.(2020浙江,17,4分,)已知平面单位向量e1,e2,满足|2e1-e2|2.设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为,则cos2的最小值是.11.(2020课标,13,5分,)已知单位向量a,b的夹角为45,ka-b与a垂直,则k=.12.(2019江苏,12,5分,)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若ABAC=6AOEC,则ABAC的值是.13.(2017天津,13,5分,)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若BD=2DC,

4、AE=AC-AB(R),且ADAE=-4,则的值为.三年模拟练 应用实践1.(2020广东惠州高一期末,)如图,在平面内放置两个相同的三角板,其中A=30,且B,C,D三点共线,则下列结论不成立的是()A.CD=3BCB.CACE=0C.AB与DE共线D.CACB=CECD2.(2020安徽六安一中高一上期末,)八卦是中国文化的基本哲学概念,图1是八卦模型图,其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|=1,给出下列结论:OA与OH的夹角为3;OD+OF=OE;|OA-OC|=22|DH|;OA在OD上的投影向量为-22e(其中e为与OD同向的单位向量).其中正确结论的个数为(

5、)A.1B.2C.3D.43.(2020山西顶级名校高一下阶段性检测,)在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,DAB=3,点E,F分别在BC,DC边上,且BE=2EC,DF=FC,则AEBF=()A.-83B.2C.-1D.1034.(2020浙江杭州学军中学高一上期末,)已知单位向量a,b的夹角为60,若向量c满足|a-2b+c|3,则|c|的最大值为()A.3B.3+3C.1+3D.1+335.(多选)(2020山东新高考第一次模拟,)如图所示,点A,B,C是圆O上的三点,线段OC与线段AB交于圆内一点P,若AP=AB,OC=OA+3OB,则()A.当P为线段OC的中点时,=12B.

6、当P为线段OC的中点时,=13C.无论取何值,恒有=34D.存在R,=126.()如图,在ABC中,D,E是BC上的两个三等分点,ABAD=2ACAE,则cosADE的最小值为.7.()已知平面向量a,b,c满足a与b的夹角为锐角,|a|=4,|b|=2,|c|=1,且|b+ta|的最小值为3,则实数t的值是,c-12a(c-b)的取值范围是.8.(2020北京首师大附中高一上期末,)已知不共线的向量a,b满足|a|=3,|b|=2,(2a-3b)(2a+b)=20.(1)求ab;(2)是否存在实数,使得a+b与a-2b共线?(3)若(ka+2b)(a-kb),求实数k的值.9.(2020湖南

7、长沙长郡中学高一上期末,)已知ABC为等边三角形,AB=2,点N、M满足AN=AB,AM=(1-)AC,R,设AC=a,AB=b.(1)试用向量a和b表示BM,CN;(2)若BMCN=-32,求的值.迁移创新10.(2020江西景德镇一中高一上期末,)在ABC中,H为垂心,且3HA+4HB+5HC=0,则cosAHB=.答案全解全析五年高考练1.D由题意得cos=a(a+b)|a|a+b|=a2+ab|a|a2+b2+2ab=256525+3612=1935.故选D.2.B解法一:因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即

8、cos=12,又知0,所以=3,故选B.解法二:如图,令OA=a,OB=b,则BA=OA-OB=a-b,因为(a-b)b,所以OBA=90,又|a|=2|b|,所以AOB=3,即=3.故选B.3.A由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以ab.故选A.4.C|AB+AC|BC|AB+AC|AC-AB|AB2+AC2+2ABACAB2+AC2-2ABACABAC0,由点A,B,C不共线,得0,2,故ABAC0AB,AC的夹角为锐角.故选C.5.答案3解析由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即a2+b2+2ab=1,而|a|=|b|=1,故ab=-12,|a-

9、b|=|a-b|2=a2+b2-2ab=1+1+1=3.6.答案23解析|a|=|b|=1,ab=0,ac=a(2a-5b)=2a2-5ab=2,|c|=|2a-5b|=(2a-5b)2=4a2+5b2-45ab=3.cos=ac|a|c|=23.7.答案23解析由题意知ab=|a|b|cos 60=2112=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab=4+4+4=12.所以|a+2b|=23.8.Ba(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.故选B.9.A如图,过点P作PP1直线AB于P1,过点C作CC1直线AB于C1,过点F作FF1直线AB于F1,APA

10、B=|AP|AB|cosPAB,当PAB为锐角时,|AP|cosPAB=|AP1|,当PAB为钝角时,|AP|cosPAB=-|AP1|,所以当点P与C重合时,APAB最大,此时APAB=|AC1|B|=6,当点P与F重合时,APAB最小,此时APAB=-|AF1|AB|=-2,又因为点P是正六边形ABCDEF内的一点,所以-2APAB6.故选A.10.答案2829解析由题可知a=e1+e2,b=3e1+e2e1=b-a2,e2=3a-b2,从而b-a2=1,3a-b2=1,3b-5a22|b-a|=2,|3a-b|=2,|3b-5a|22a2-2ab+b2=4,9a2-6ab+b2=4,25

11、a2-30ab+9b28,由可得ab=2a2,b2=4+3a2,代入可得a272,从而cos =ab|a|b|=2a2|a|b|=2|a|b|=2|a|24+3|a|2=214|a|2+32729,所以cos22829,故cos2的最小值为2829.11.答案22解析因为(ka-b)a=ka2-ab=0,且单位向量a,b的夹角为45,所以k-22=0,即k=22.12.答案3解析过D作DFEC,交AB于F.D为BC的中点,F为BE的中点,又BE=2EA,EF=EA,又DFEO,AO=12AD,AO=12AD=1212(AB+AC).AOEC=14(AB+AC)AC-13AB=14AC2+23A

12、BAC-13AB2.ABAC=6AOEC,ABAC=32AC2-12AB2+ABAC,AB2=3AC2,|AB|=3|AC|,ABAC=3.13.答案311解析如图,由BD=2DC,得AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC,所以ADAE=13AB+23AC(AC-AB)=13ABAC-13AB2+23AC2-23ABAC,又ABAC=32cos 60=3,AB2=9,AC2=4,所以ADAE=-3+83-2=113-5=-4,解得=311.三年模拟练应用实践1.D设BC=DE=m,A=30,且B,C,D三点共线,ACB=CED=60,ACE=90,CD=

13、AB=3m,AC=EC=2m,CD=3BC,CACE=0,ABDE,故A、B、C成立;CACB=2mmcos 60=m2,CECD=2m3mcos 30=3m2,故CACB=CECD不成立.故选D.2.B对于,多边形ABCDEFGH为正八边形,所以AOH=28=4,所以OA与OH的夹角为4,错误;对于,若OD+OF=OE成立,则OD=OE-OF=FE,显然不成立,错误;对于,AOC=24=2,|OA-OC|=|CA|=2|OA|.又|OA|=|OD|=12|DH|,|OA-OC|=22|DH|,正确;对于,AOD=34=34,则OA在OD方向上的投影向量为|OA|cosAOD e=1cos 3

14、4e=-22e,正确.故选B.3.BBE=2EC,DF=FC,BE=23BC=23AD,CF=12CD=-12AB,AE=AB+BE=AB+23AD,BF=BC+CF=AD-12AB,AEBF=AB+23ADAD-12AB=23ABAD-12AB2+23AD2=2343cos 3-8+6=2.故选B.4.B解法一:由题意可得|a-2b|=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=141112+4=3,|c|=|(a-2b+c)-(a-2b)|a-2b+c|+|a-2b|3+3,当且仅当a-2b+c与a-2b反向时取等号.故|c|max=3+3,故选B.解法二:单位向量a,b的夹角为60,|a-2b

15、+c|3,|a-2b+c|2=a2+4b2+c2-4ab-4bc+2ac=1+4+c2-41112-4bc+2ac9,化简,得c2+2(a-2b)c6.|a-2b|=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=141112+4=3.设a-2b与c的夹角为,则c2+2(a-2b)c=|c|2+23|c|cos 6,整理得6|c|223|c|cos -1,即|c|2-23|c|-60,解得0|c|3+3.故|c|max=3+3,故选B.5.ACOP=OA+AP=OA+AB=OA+(OB-OA)=(1-)OA+OB.因为OP与OC共线,所以设OP=kOC(kR),即(1-)OA+OB=kOA+3kOB,整

16、理得(1-k)OA=(3k-)OB,又OA与OB不共线,所以1-k=0,3k-=0,即1=3=k,解得=34,故C正确,D错误;当P为OC的中点时,OP=12OC,即k=12,代入1-k=0,3k-=0,得1-12=0,32-=0,解得=12,=34,故A正确,B错误.故选AC.6.答案47解析由题图可知,AB=AD+DB=AD+ED,AC=AD+DC=AD-2ED,AE=AD+DE=AD-ED,ABAD=2ACAE,(AD+ED)AD=2(AD-2ED)(AD-ED),整理得7ADED=AD2+4ED2,即7|AD|ED|cosADE=|AD|2+4|ED|2,cosADE=|AD|2+4|

17、ED|27|AD|ED|=17|AD|ED|+4|ED|AD|172|AD|ED|4|ED|AD|=47,当且仅当|AD|ED|=4|ED|AD|,即|AD|=2|ED|时,等号成立,cosADE的最小值为47.7.答案-14;3-23,3+23解析解法一:设OA=a,OB=b.如图,作ODBD,BDOA,由向量加法的几何意义知,当b+ta=OD时,|b+ta|min=3,|OD|=3,又|OB|=2,B=AOB=60,且|BD|=1.b+ta=OD,ta=OD-b=OD-OB=BD,即tOA=BD.|OA|=|a|=4,t=-14.12a+b=12a+b2=14a2+ab+b2=1442+4

18、2cos60+22=23,设c与12a+b的夹角为,0,则c-12a(c-b)=c2-c12a+b+12ab=1-123cos +1242cos 60=3-23cos .-1cos 1,3-233-23cos 3+23,c-12a(c-b)的取值范围是3-23,3+23.解法二:设a与b的夹角为,为锐角,则由题意可得|b+ta|2=b2+2tab+t2a2=4+2t42cos +16t2=16t2+16tcos +4=16t+cos22-4cos2+4.当t=-cos2时,上式有最小值,又|b+ta|的最小值为3,|b+ta|2的最小值为3,即-4cos2+4=3,解得cos =12,为锐角,cos =12,此时t=-cos2=-14.第二空同解法一.8.解析(1)由题知|a|=3,|b|=2,(2a-3b)(2a+b)=4a2-4ab-3b2=432-4ab-322=20,ab=1.(2)存在.理由如下:假设存在实数,使得a+b与a-2b共线,则a+b=t(a-2b),tR,即(-t)a=(-2t-1)b,a,b不共线,-t=