实变函数讲义第二章

1、第三节 点集间的距离第二章 点集主讲：数学学院Cantor集对0,1区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集1.Cantor集第n次去掉的开区间留下的闭区间12n定义：令称P=0,1- G=0,1Gc 为Cantor集Cantor集的性质a .分割点一定在Cantor集中 Cantor集P=0,1- G=0,1Gc为闭集注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间b. P的“长度”为0，去掉的区间长度和c. P没有内点( )x- x x+第 n+1次等分去掉的区间第n次等分留下的区间但由Canto

2、r集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。证明：对任意x P, x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中d. P中的点全为聚点,从而没有孤立点从而x为P的聚点，当然不为孤立点。 证明：对任意x P ， 只要证： 由Cantor集的作法知 而 的两个端点定在P中，第n次等分留下的区间( )x- x x+数的进位制简介十进制小数 相应于 对0,1十等分二进制小数 相应于 对0,1二等分三进制小数 相应于 对0,1三等分说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如0.20000000.1999999

3、 （十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数e. P的势为 （利用二进制，三进制证明）证明思路：把0,1区间中的点都写成三进制小数，则Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点的全体，从而Cantor集为小数位只是0,2的点的全体，作对应注:Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点.说明：三等分的端点有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如0.1000000 = 0.0222222 （三进制小数）0.2000000 = 0.1222222Cantor函数（Cantor集为三等分去掉中间一个开区间，如此过程一直下去） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4、( )0 1/9 1/3 2/3 1 1/21/81/43/85/87/83/4如此类似取值一直定义下去Cantor函数a.在G=0,1-P的各构成区间上，c.当 时,规定称 为0,1 上的Cantor函数。显然在0,1上单调不减b.规定如前图规定:在第n次去掉的2n-1个开区间上依次取值为Cantor函数在0,1上连续注：Cantor函数把长度为零的集合连续拉长成长度为1的集合否则，若 在x0 (0,1)处不连续，则开区间 非空，此区间中的每个数都不属于 的值域，这与 矛盾.（端点情形类似说明）2.填满正方形的曲线注：相应映射 f : 0,1 0,10,1 是满射，但不是单射如0.12090

5、909090909 与0. 都对应到点(0.1000000 ,0.2999999 )=(0.09999999 , 0.29999999 )(各有限小数（除0外）都写成以9为循环的小数）将填满正方形0,10,1连续曲线0,10,10,1问:0,1 与0,10,1间不存在连续的一一对应?0,1 与0,10,1间存在一一对应（即单又满），势都为连续势;0,1 与0,10,1间存在连续满映射；此例引起人们对维数的重新思考(什么叫曲线，曲面)（传统上认为维数即为确定整个图形中点的位置所需的坐标个数）各方向扩大2倍2=214=228=23维数n = log2n / log2 Sierpinski垫的维数是

6、log3 / log2Cantor集的维数是log2 / log3参见：分形对象：形、机遇和维数 B.Mandelbrot; 实迭代张景中； 数学的源与流张顺燕； 集合与面积李惠玲; 分形艺术 .cn; 分形频道 Koch曲线的维数是log4 / log3面积有限但边界线无限长(4/3)n的极限（20世纪上半世纪）有限维 到 无限维 (泛函分析)（20世纪下半世纪）有限维 到 分数维 (分形几何)Mandelbrot集合Mandelbrot集合局部放大 Nova分形Newton分形3.点集间的距离 b.若 ,则 d(A,B)=0; 反之则不一定成立，如A=n - 1/n,B=n+1/n（都是闭

7、集）c.d(x,B)=0当且仅当 注：a.若x B,则d(x,B)=0;反之则不一定成立，如x=0,B=(0,1)证明：利用d(x,E) d(x,z) d(x,y) +d(y,z) z E定理 设E为Rn中非空点集 ，则d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数所以d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数。可得d(x,E) d(x,y) +d(y,E)，同理d(y,E) d(x,y) +d(x,E),故有|d(x,E)- d(y,E) | d(x,y)定理：设A为非空闭集 ， xRn ，则必有yA,使得d(x,y)=d(x,A)闭集：与E紧挨的点不跑到E外，也即E外的点与E不可能紧挨又为闭集，故

8、yA,对两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A)证明：由 可得定理：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有xA, yB,使得d(x,y)=d(A,B)由于A有界，故证明：由ABA有界不可少，如A=n - 1/n,B=n+1/n又B为闭集，故yB,另外对两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B)又A为闭集，从而xA ，并可得yni有界因为当ni充分大时， d(x, yni) d(x, xni ) + d(xni, yni) 1 + ( d(A,B) + 1/ni ）例：设F为R1中的有界闭集，G为开集且则存在0，使得当|x|0,取= d(F,Gc)即可.( F )G定理：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有xA, yB,使得d(x,y)=d(A,B)定理：设F1， F2为Rn中两个互不相交的非空闭集，则存在Rn 上的连续函数f(x) ，使得 （1）0 f(x) 1， x Rn（2） f(x)=0， x F1; f(x)=1, x F2注：可推广到一般的拓扑空间（参见：拓扑学 教材）， 即Urysohn引理.F2F1 定理：设F为Rn中的非空闭集，f(x)为定义在F