云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷2（共140题）

云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷2（共6套）（共140题）云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第1套一、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、曲线y=2lnx+x2+5的凸区间是__________。标准答案：(0，1)知识点解析：函数y的定义域为(0，+∞)，y’=2/x+2x，y”=-2/x2+2=2(x2-1)/x2，当y”＜0时，0＜x＜1，所以曲线y的凸区间为(0，1)。2、已知点(1，1)是曲线y=x2+alnx的拐点，则a=__________。标准答案：2知识点解析：函数y的定义域为(0，+∞)，由y=x2+alnx得y2=2x+a/x，y”=2-a/x2。由于点(1，1)是曲线的拐点，且函数在定义域内二阶可导，因此y”｜t=0=2-a=0，解得a=2。3、设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1，2]上的最大值为2，最小值为-30，又知a＞0，则a=__________，b=__________。标准答案：2，2知识点解析：f(x)=3ax2-12ax，令f’(x)=0，则x=0或x=4，而x=4不在[-1，2]上，故舍去。f(-1)=-a-6a+6=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a，因为a＞0，故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小，所以b-16a=-30，即16a=2+30=32，故a=2。4、设曲线y=x3+ax2-6x+1的拐点横坐标为x=1，则其拐点是__________。标准答案：(1，-7)知识点解析：函数的定义域为(-∞，+∞)，y’=3x2+2ax-6，y”=6x+2a，由于曲线拐点横坐标为x=1，因此y”｜x=1=6+2a=0，解得a=-3。此时y”=6x-6。当x＜1时，y″＜0；当x＞1时，y”＞0。且当x=1时，y=-7，因此点(1，-7)是曲线的拐点。已知函数y=f(x)在(-∞，+∞)上具有二阶连续的导数，且其一阶导函数f’(x)的图形如图2-2所示，则5、函数f(x)的驻点是__________。标准答案：x=-2，x=0，x=2知识点解析：由图形可知f’(-2)=f’(0)=f’(2)=0，所以驻点为x=-2，x=0，x=2。6、f(x)的单调递增区间为__________．标准答案：(-∞，-2)，(2，+∞)知识点解析：因为在(-∞，-2)，(2，+∞)内f’(x)＞0，所以函数的单调递增区间为(-∞，-2)，(2，+∞)。7、f(x)的极大值点为__________。标准答案：x=2知识点解析：因为x＜-2时f’(x)＞0；-2＜x＜0时f’(x)＜0，所以函数的极大值点是x=-2。8、f(x)的极小值点为__________。标准答案：x=2知识点解析：因为0＜x＜2时，f(x)＜0；x＞2时f’(x)＞0，所以函数的极小值点是x=2。9、曲线y=f(x)的凸区间为__________。标准答案：(5)(-∞，-1)，(0，1)知识点解析：由于f(x)具有二阶连续的导数，且f’(x)在(-∞，-1)，(0，1)内是单调递减的，所以在(-∞，-1)，(0，1)内f″(x)＜0，所以曲线的凸区间为(-∞，-1)，(0，1)。10、曲线y=f(x)的凹区间为__________。标准答案：(6)(-1，0)，(1，+∞)知识点解析：由于f(x)具有二阶连续的导数，且f’(x)在(-1，0)，(1，+∞)内是单调递增的，所以在(-1，0)，(1，+∞)内f″(x)＞0，所以曲线的凹区间为(-1，0)，(1，+∞)。11、曲线y=(2x2-5)/(x-9)的垂直渐近线为__________。标准答案：x=9知识点解析：[(2x2-5)/(x-9)]=∞，故x=9为曲线的垂直渐近线。12、设曲线y=(x3+2x+3)/(1-2x3)，则该曲线的水平渐近线为__________。标准答案：y=-1/2知识点解析：y=[(x3+2x+3)/(1-2x3)]，故曲线的水平渐近线为y=-1/2。二、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)用洛必达法则求下列极限：13、(x2-4x+4)/(x3-3x2+4)标准答案：[(x2-4x+4)/(x3-3x2+4)]=[(2x-4)/(3x2-6x)]=[2/(6x-6)]=1/3；知识点解析：暂无解析14、(ex-1)/(x2-x)标准答案：(ex-1)/(x2-x)=[ex/(2x-1)]=-1；知识点解析：暂无解析15、[1/x-(1/x2)ln(1+x)]标准答案：[1/x-(1/x)ln(1+x)]=[x-ln(1+x)]/x2=[1-1/(1+x)]/2x=[1/2(1+x)]=1/2；知识点解析：暂无解析16、[x/(x-1)-1/lnx]标准答案：[x/(x-1)-1/lnx]=[xlnx-x+1]/[(x-1)lnx]=[(lnx+1-1)/(lnx+1-1/x)]=[(1/x)/(1/x+1/x2)]=1/2；知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、[ln(ex+x)/x]标准答案：[ln(ex+x)/x]=[(ex+1)/(ex+x)]=[ex/(ex+1)]=ex/ex=1；知识点解析：暂无解析19、xcot2x标准答案：xcot2x=(x/tan2x)=(1/2sec22x)=1/2；知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、(lnx)1/lnx标准答案：知识点解析：暂无解析24、[(π/2-x)tanx]标准答案：知识点解析：暂无解析25、[(xcotx-1)/x2]标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、(x+ex)1/x标准答案：知识点解析：暂无解析云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第2套一、填空题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)1、设y=[ln(1+x)]/(1+x)，则y’｜x=0=__________。标准答案：1知识点解析：2、设y=1/x3-2+0．2x5+e5，则y’__________。标准答案：-3/x4-1/+x4知识点解析：y’=-3/x4-2/2+0．2·54+0=-3/x4-1/+x4。3、设y=，则y’=__________。标准答案：知识点解析：4、已知y=ln(cos4x)，则y’=__________。标准答案：-4tan4x知识点解析：y’=(1/cos4x)·(cos4x)’=(-sin4x/cos4x)·4=-4tan4x。5、已知y=arccos(2x+3)，则y’=__________。标准答案：知识点解析：6、已知y=e-x/2cos3x，则y’=__________。标准答案：(-1/2)e-x/2(cos3x+6sin3x)知识点解析：y’=(e-x/2)’cos3x+e-x/2(cos3x)’=(-1/2)e-x/2cos3x-3e-x/2sin3x=(-1/2)e-x/2(cos3x+6sin3x)。7、已知f(x)=1/(1+x)满足f(x0)=2，则f’(x0)=__________。标准答案：-4知识点解析：f(B5x0)=1/(1+x0)=2，所以x0=-1/2。又f’(x)=-1/(1+x)2，所以f’(x0)=f’(-1/2)=4。8、设f’(x)=g(x)，则(d/dx)[f(sin2x)]=__________。标准答案：g(sin2x)sin2x知识点解析：(d/dx)[f(sin2x)]=f’(sin2x)·(sin2x)’=2sinxcosx·f’(sin2x)=g(sin2x)sin2x。9、设f(x)=x2e1/x，而h(t)满足条件h(0)=3，h’(t)=sin2(t+π/4)，则(d/dt)[h(t)]｜t=0=__________。标准答案：(5/2)e1/3知识点解析：因为f’(x)=2xe1/x-e1/x，所以(d/dt)f[h(t)]｜t=0={f’[h(t)]·h’(t)}｜t=0=f’[h(0)]·sin2(0+π/4)=f’(3)·(1/2)=(5/2)e1/3。10、设y=f(3x)，其中f(x)为可导函数，则y’=__________。标准答案：3f’(3x)知识点解析：y’=f’(3x)·(3x)’=3f’(3x)。11、已知(d/dx)[f(1/x2)]=1/x，则f’(1/2)=__________。标准答案：-1知识点解析：因为(d/dx)[f(1/x2)]=-f’(1/x2)(2/x3)=1/x，所以f’(1/x2)=(-x2/2)。令x2=2，则f’(1/2)=-1。12、设f具有一阶连续导数，且y=ef(2sinx)，则y’=__________。标准答案：2ef(2sinx)f’(2sinx)cosx知识点解析：y’=[ef(2sinx)]’=ef(2sinx)·[f(2sinx)]’·ef(2sinx)·f’(2sinx)·(2sinx)’=ef(2sinx)·f’(2sinx)·2cosx=2ef(2sinx)f’(2sinx)cosx。13、若f(t)=(1+1/x)2tx，则f’(t)=__________。标准答案：(2t+1)e2t知识点解析：f(t)=t(1+1/x)2tx=t[(1+1/x)x]=te2t，f’(t)=e2t+2te2t=(2t+1)e2t。14、设函数y=cos(3+2x)，则y?=__________。标准答案：8sin(3+2x)知识点解析：因为y=cos(3+2x)，所以y’=-2sin(3+2x)，y”=-4cos(3+2x)，y?=8sin(3+2x)。15、已知y=，则y”=__________。标准答案：[-a2/(a2-x2)]3/2知识点解析：y’==[-a2/(a2-x2)]3/216、已知y=(1+x2)arccotx，则y”=__________。标准答案：2arccotx-2x/(1+x2)知识点解析：y’=2xarccotx+(1+x2)[-1/(1+x2)]2xarccotx-1，y”=2arccotx-2x/(1+x2)。17、设y=cos2x·lnx，则y”=__________。标准答案：-2cos2x·lnx-2sin2x/x-cos2x/x2，y’=-2cosx·sinx·lnx·lnx+cos2x·(1/x)=-sin2x·lnx+cos2x·(1/x)知识点解析：y”=-2cos2x·lnx-sin2x·(1/x)-2cosx·sinx·(1/x)-2cosx·-cos2x·(1/x2)=-2sin2x·lnx-2sin2x/x-cos2x/x2。18、已知y=x2ex，则y(10)｜x=0=__________。标准答案：90知识点解析：y’=2xex+x2ex=ex(x2+2x)=ex[(x+1)2-1]，y”=ex(x2+2x)+ex(2x+2)=ex(x2+4x+2)=ex[(x+2)2-2]，y?=ex(x2+4x+2)+ex(2x+4)=ex[(x+3)2-3]，y(10)=ex[(x+10)2-10]，所以y(10)｜x=0=90。19、设y=(x2+x+1)66，则y(168)=__________。标准答案：0知识点解析：函数y=(x2+x+1)66中x的最高次项为x132，所以y(168)=0。20、设y=x3+sinx，则y(10)=__________。标准答案：-sinx知识点解析：因为(x3)’=3x2，(x3)”=6x，(x3)?=6，…，(x3)k=0(k≥4)，(sinx)(n)=sin(x+nπ/x)，所以y(10)=(x3+sinx)(10)=0+sin(x+5π)=-sinx。21、已知y(n-2)=f(3x)，其中f任意阶可导，则y(n)=__________。标准答案：3xln23[f’(3x)+3xf″(3x)]知识点解析：y(n-1)=f’(3x)·(3x)’=3xln3·f’(3x)，y(n)=[3xln3·f’(3x)]’=3xln23f’(3x)+32xln23f”(3x)=3xln23[f’(3x)+3xf″(3x)]。22、设y=y(x)是由方程y2+2lny=x2所确定的函数，则dy/dx=__________。标准答案：xy/[y2+1]知识点解析：方程两边对x求导得2y(dy/dx)+(2/y)(dy/dx)=2x，整理得dy/dx=xy/(y2+1)。23、设函数y=y(x)由方程exy+y2=cosx确定，则dy/dx=__________。标准答案：-(yexy+sinx)/(xexy+2y)知识点解析：方程两端关于x求导，得exy[y+x(dy/dx)]+2y(dy/dx)=-sinx，整理得dy/dx=-(yexy+sinx)/(xexy+2y)。云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第3套一、证明题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)1、某厂生产x台电视机的成本C(x)=500+250x-0．01x2，销售收益是R(x)=400x-0．02x2，如果生产的所有电视机都能售出，问应生产多少台，才能获得最大利润?标准答案：由题意知利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=(400x-0．02x2)-(500+250x-0．01x2)=150x-0．01x2-500，而L’(x)=150-0．02x，令L’(x)=0，可得驻点x=7500，由于驻点唯一，且实际问题最值存在，从而x=7500是最大值点。故当生产7500台电视机时，该厂能获得最大利润。知识点解析：暂无解析2、假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的销售量(单位：吨)分别是Q1=(18-x)/2，Q2=12-x,其中x(单位：万元/吨)为该产品在两个市场的价格。该企业生产这种产品的总成本(单位：万元)函数是C=2(Q1+Q2)+5。试确定x的值，使企业获得最大利润，并求出最大利润。标准答案：由已知条件得利润函数为L=(Q1+Q2)x-C=(Q1+Q2)x-2(Q1+Q2)-5=[(18-x)/2+(12-x)](x-2)-5=(-3/2)x2+24x则L’=-3x+24，令L’=0，得驻点x=8。根据实际情况，L存在最大值，且驻点唯一，则驻点即为最大值点，又Lmax=(-3/2)×82+24×8-47=49。故当两个市场的价格为8万元/吨时，企业获得最大利润，此时最大利润为49万元。知识点解析：暂无解析3、某企业计划在一年内生产一批服装a件，分若干批进行生产，设生产每批服装需要固定支出1000元，而每批生产直接消耗的费用与产品数量的平方成正比，已知当每批服装生产数量是40件时，直接消耗的生产费用是800元，问每批服装生产多少件时，才能使总费用y最少?标准答案：设每批生产x件，则一年内生产a/x批，每批直接消耗的生产费用为P，则p=kx2，又因为每批产品数量是40件时，直接消耗的生产费用为800元，所以800=402k，即k=1/2，所以p=(1/2)x2，该产品的总费用y=(1000+(1/2)x2)·(a/x)=1000a/x+ax/2，0＜x≤a，令y’=(-1000a/x2)+a/2=0，得x=20，y”=2000a/x3，y”(20)＞0，所以x=20为唯一极小值点，因为实际问题中最少费用必存在，故唯一的极小值点就是最小值点，所以当x=20≈45时，总费用最少。知识点解析：暂无解析4、已知方程x4-6x2-9x=0有一正根x=3，证明：方程4x3-12x-9=0必有一个小于3的正根。标准答案：令f(x)=x4-6x2-9x，则f’(x)=4x3-12x-9，由题意可知f(3)=0，又有f(0)=0，f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，故由罗尔中值定理可知至少存在一点ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=4ξ3-12ξ-9=0，即方程4x3-12x-9=0必有一个小于3的正根。知识点解析：暂无解析5、设f(x)在[1，e]上可导，且f(1)=0，f(e)=1。试证明f’(x)=1/x在(1，e)内至少有一个实根。标准答案：设F(x)=f(x)-lnx，由题意可知F(x)在[1，e]上连续，在(1，e)内可导，F(1)=0，F(e)=0，F’(x)=f’(x)-1/x。由罗尔中值定理得至少存在一点ξ∈(1，e)，使F’(ξ)=0，即f’(ξ)-1/ξ=0。所以f’(x)=1/x在(1，e)内至少有一个实根。知识点解析：暂无解析6、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且恒有f″(x)＜0，证明：若方程f(x)=0在(a，b)内有根，则最多有两个根。标准答案：反证法：假设f(x)=0在(a，b)内有三个根x1，x2，x3，且设a＜x1＜x2＜x3＜b，即有f(x1)=f(x2)=f(x3)=0，分别在区间[x1，x2]与[x2，x3]上应用罗尔中值定理，有f’(ζ1)=0，ζ1∈(x1，x2)；f’(ζ2)=0，ζ2∈(x2，x3)。又f’(x)在[ζ1，ζ2]上显然也满足罗尔中值定理条件，于是有f”(ζ)=0，ζ∈(ζ1，ζ2)(a，b)，这与条件f″(x)＜0矛盾，故若方程f(x)=0在(a，b)内有根，则最多有两个根。知识点解析：暂无解析7、设f(x)，g(x)均在[3，7]上连续，在(3，7)内可导，且g(x)≠0，f(3)=0，f(7)=0。证明：存在一点ξ∈(3，7)，使得f’(ξ)g(ξ)-f(ξ)g’(ξ)=0。标准答案：令F(x)=f(x)/g(x)。显然F(x)=f(x)/g(x)在[3，7]上连续，在(3，7)内可导，且F’(x)=[f’(x)g(x)-f(x)g’(x)]/g2(x)又F(3)=0，F(7)=0，故根据罗尔中值定理得存在一点ξ∈(3，7)，使得F’(ξ)=0，即[f’(ξ)g(ξ)-f(ξ)g’(ξ)]/g2(ξ)=0。因为g(x)≠0，故f’(ξ)g(ξ)-f(ξ)g’(ξ)=0。知识点解析：暂无解析8、设函数f(x)在区间[0，2]上连续，在区间(0，2)内可导，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2。证明：至少存在一点ξ(0，2)，使得f’(ξ)=ξ。标准答案：构造辅助函数F(x)=f(x)-(1/2)x2，则F’(x)=f’(x)-x，F(0)=0，F(1)=3/2，F(2)=-2，且F(x)在区间[1，2]上连续，则由零点定理可知，至少存在一点f∈(1，2)，使得F(c)=0。故F(x)=f(x)-(1/2)x2在区间[0，c]上满足罗尔中值定理的条件，因此至少存在一点ξ∈(0，c)(0，2)，使得F’(ξ)=f’(ξ)-ξ=0，即f’(ξ)=ξ。知识点解析：暂无解析9、设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内可导，且f(x)/(x-1)=0，证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得cosξ·f(ξ)+sinξ·f’(ξ)=0。标准答案：f(x)在区间[0，1]上连续，且=0，则f(x)=0=f(1)。构造辅助函数F(x)=sinx·f(x)，则F’(x)=cosx·f(x)+sinx·f’(x)，且F(0)=F(1)=0，故由罗尔中值定理可知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即cosξ·f(ξ)+sinξ·f’(ξ)=0。知识点解析：暂无解析10、若f(x)有三阶导数，且f(0)=f(1)=0，设F(x)=x3f(x)，试证明在(0，1)内至少存在一点ξ，使F‴(ξ)=0。标准答案：由题意可知F(x)有三阶导数，又F(0)=0，F(1)=f(1)=0，由罗尔中值定理得存在ξ1∈(0，1)使F’(ξ1)=0。又F’(0)=[3x2f(x)+x3f’(x)]｜x=0=0，对F’(x)在[0，ξ1]上应用罗尔中值定理得存在ξ2∈(0，ξ1)(0，1)，使F″(ξ2)=0。又F”(0)=[6xf(x)+6x2f’(x)+x3f”(x)]｜x=0=0，对F”(x)在[0，ξ2]上应用罗尔中值定理得存在ξ∈(0，ξ2)(0，1)，使F?(ξ)=0。知识点解析：暂无解析11、设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，k为正整数，求证：存在一点ξ∈(0，1)。使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)。标准答案：设F(x)=f(x)(1-x)k，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，F’(x)=f’(x)(1-x)k-kf(x)(1-x)k-1=(1-x)k-1[f’(x)-xf’(x)-kf(x)]。又F(0)=0，F(1)=0，则F(x)在[0，1]上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即(1-ξ)k-1[f’(ξ)-ξf’(ξ)-kf(ξ)]=0。又(1-ξ)k-1≠0，故ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)。知识点解析：暂无解析12、设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且在(a，b)内g”(x)≠0，g(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明：在开区(a，b)内至少存在一点ξ，使f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ)。标准答案：令F(x)=f(x)g’(x)-g(x)f’(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，F(a)=f(a)g’(a)=g(a)f’(a)=0，F(b)=f(b)g’(b)-g(b)f’(b)=0，故F(x)在[a，b]上满足罗尔中值定理的条件，从而至少存在一点ξ∈(a，b)使F’(ξ)=0。又F’(x)=f’(x)g’(x)+f(x)g”(x)-g’(x)f’(x)-g(x)f(x)=f(x)g”(x)-f”(x)g(x)，从而f(ξ)g”(ξ)=f″(ξ)g(ξ)。又g”(x)≠0，g(x)≠0，故有f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ)成立。知识点解析：暂无解析13、已知f(x)在[1，3]上连续，在(1，3)内可导，且f(1)f(2)＜0，f(2)f(3)＜0，证明：至少存在一点ξ∈(1，3)，使得f’(ξ)-f(ξ)=0。标准答案：由题意可知f(1)与f(2)异号，f(2)与f(3)异号，因此由连续函数的零点定理可知，至少存在两点ξ1∈(1，2)，ξ2∈(2，3)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0。构造辅助函数F(x)=e-x3f(x)，则F(x)在[ξ1，ξ2]上连续，在(ξ1，ξ2)内可导，且F(ξ1)=F(ξ2)=0，因此由罗尔中值定理可知，至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2)(1，3)，使得F’(ξ)=0。又因为F’(x)=e-xf’(x)-e-xf(x)=e-x[f’(x)-f(x)]，因此有e-ξ[f’(ξ)-f(ξ)]=0，又e-ξ＞0，则f’(ξ)-f(ξ)=0。知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且f(0)+f(1)=4，f(2)=2，试让明必存在一点ξ∈(0，2)，使f’(ξ)=0。标准答案：因为f(x)在[0，2]上连续，所以f(x)在[0，1]上连续，且在[0，1]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，故m≤[f(0)+f(1)]/2≤M。根据闭区间上连续函数的介值定理相关推论知至少存在一点c∈[0，1]，使得f(c)=[f(0)+f(1)]/2=2，又f(2)=2。所以函数f(x)在[c，2]上满足罗尔中值定理的条件，于是必存在一点ξ∈(c，2)(0，2)，使f’(ξ)=0。知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证明对任意给定的正数a和b，在(0，1)内必存在不相等的x1，x2，使a/f’(x1)+b/f’(x2)=a+b。标准答案：因为a，b＞0，故0＜a/(a+b)＜1。又因f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，故由介值定理知必存在ζ∈(0，1)，使f(ζ)=a/(a+b)。分别对f(x)在[0，ζ]，[ζ，1]上应用拉格朗日中值定理，得f(ζ)-f(0)=(ζ-0)f’(x1)，f(1)-f(ζ)=(1-ζ)f’(x2)(其中0＜x1＜ξ＜x2＜1)，即[a/(a+b)]/f’(x1)=ζ，[1-a/(a+b)]/f’(x2)=1-ζ。考虑到1-a/(a+b)=b/(a+b)，并将上两式相加，得[a/(a+b)]/f’(x1)+[b/(a+b)]/f’(x2)=1。等式两边同时乘以(a+b)，则存在不相等的x1，x2，使a/f’(x1)+b/f(x2)=a+b。知识点解析：暂无解析16、设0＜a＜b，证明不等式2a/(a2+b2)＜(lnb-lna)/(b-a)。标准答案：设函数f(x)=lnx(x≥a＞0)，则由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈(a，b)，使(lnb-lna)/(b-a)=(lnx)’｜x=ξ=1/ξ，由于0＜a＜ξ＜a，故1/ξ＞1/b，又2a/(a2+b2)＜2a/2ab=1/b，从而(lnb-lna)/(b-a)＞2a/(a2+b2)。知识点解析：暂无解析17、设0＜a＜b＜1，证明不等式arctanb-arctana＜(b-a)/2ab。标准答案：令f(x)=arctanx，则f’(x)=1/(x+x2)，在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得(arctanb-arctana)/(b-a)=1/(1+ξ2)＜1/(1+a2)＜1/(a2+b2)＜1/2ab(0＜a＜ξ＜b＜1)，所以arctanb-arctana＜(b-a)/2ab。知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[0，c]上有定义，f’(x)存在且单调递减，f(0)=0，证明：对于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)。标准答案：由题意知f(x)在[0，c]上连续，在(0，c)内可导。当a=0时，f(a+6)≤f(a)+f(b)显然成立。当a≠0时，因为[0，a][0，c]，则对f(x)在[0，a]上应用拉格朗日中值定理，得f(a)-f(0)=f’(ξ)(a-0)。0＜ξ＜a，即有f(a)=af’(ξ)。再对f(x)在[b，a+b]上应用拉格朗日中值定理，得f(b+a)=f(b)+f’(η)a，b＜η＜a+b。因为f’(x)单调递减，且ξ＜a≤b＜η，则有f’(ξ)＞f’(η)，而a＞0，故af’(ξ)＞af’(η)，于是f(a+b)＜f(b)+af’(ξ)=f(b)+f(a)。综上可知结论得证。知识点解析：暂无解析二、解答题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)给定曲线y=1/x2，19、求曲线在横坐标为x0的点处的切线方程；标准答案：由y’=-2/x3可知曲线y=1/x2在横坐标为x0的点处的切线方程为y-1/x02=(-2/x03)(x-x0)，即y=(-2/x03)x+3/x02；知识点解析：暂无解析20、求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度。标准答案：切线方程y=(-2/x03)+3/x02中分别令y=0，x=0，可求得该切线在x轴，y轴上的截距分别为X=(3/2)x，Y=3/x02设该切线被两坐标轴所截线段长度为L，则L2=X2+Y2=(9/4)x02+(9/x04)令[d(L2)/dx0]=(9/2)x0-36/x05=0，得驻点x0=±。又d2(L2)/dx02=9/2+180/x06，显然[d2(L2)/dx02]＞0，由此可知，L2在x0=±处取得极小值，由实际问题最值存在得L2在x0=±取得最小值Lmin2=27/4，则所求最短长度为Lmin=。知识点解析：暂无解析已知函数f(x)在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：21、存在一点ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；标准答案：设F(x)=f(x)-1+x，0≤x≤1，则F(x)在区间[0，1]上连续。因为F(0)=-1＜0，F(1)=1＞0，所以由零点定理得存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1-ξ；知识点解析：暂无解析22、存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1。标准答案：由题设知函数f(x)在区间[0，ξ]上连续，在区间(0，ξ)内可导，于是由拉格朗日中值定理得存在η∈(0，ξ)(0，1)，使得f’(η)=[f(ξ)-f(0)]/(ξ-0)=f(ξ)/ξ=(1-ξ)/ξ。同样，由题设知函数f(x)在区间[ξ，1]上连续，在区间(ξ，1)内可导，于是由拉格朗日中值定理得存在ζ∈(ξ，1)(0，1)，使得f’(ζ)=[(1)-f(ζ)]/(1-ζ)=[1-f(ζ)]/(1-ζ)=ζ/(1-ζ)。因为η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，于是存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1。知识点解析：暂无解析云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第4套一、证明题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)1、设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)。证明：若f(x)不恒为常数，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0。标准答案：因为f(a)=f(b)，且f’(x)不恒为常数，所以至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)≠f(a)，则f(x0)＞f(a)或f(x0)＜f(a)。不妨设f(x0)＜f(a)，则对函数f(x)在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得至少存在ξ∈(x0，b)(a，b)，使得f’(ξ)=[f(b)-f(x0)]/(b-x0)=[f(a)-f(x0)/(b-x0)]＞0。同理可证对于f(x0)＞f(a)的情形结论也成立。知识点解析：暂无解析2、设f(x)在[a，b]上有连续，在(a，b)内可导，b-a≥4，求证：存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＜1+f2(＜)。标准答案：设F(x)=arctanf(x)，根据条件b-a≥4可知b-a＞π，且arctanf(b)-arctanf(a)≤｜arctanf(b)｜+｜arctanf(a)｜＜π，对函数arctanf(x)在区间[a，b]上应用拉格朗日中值定理，知存在ξ∈(a，b)，使得[arctanf(x)]’｜x=ξ=f’(ξ)/[1+f2(ξ)]=[arctanf(b)-arctanf(a)]/(b-a)＜1。故存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＜1+f2(ξ)。知识点解析：暂无解析3、设f(x)二阶可导，且f(x)/x=1，又f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f″(ξ)=0。标准答案：由f(x)二阶可导，[f(x)/x]=1得f(0)=0，f’(0)=1，故由拉格朗日中值定理得存在c∈(0，1)，使得f’(c)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=1，又f’(0)=f’(c)=1，所以由罗尔中值定理得存在ξ∈(0，c)(0，1)，使得f(ξ)=0。知识点解析：暂无解析4、已知F(x)=arctanx-arcsin，x∈(-∞，+∞)，证明：F(x)=0恒成立。标准答案：则f(x)在[0，+∞)上单调递增，故当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx。知识点解析：暂无解析5、证明：当x＞1时，2＞3-1/x。标准答案：知识点解析：暂无解析6、证明：当x＞0时，(1+x)ln(1+x)＞arctanx。标准答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx，则f(x)在[0，+∞]上连续，且x＞0时，f’(x)=ln(1+x)+1-1/(1+x2)=ln(1+x)+x2/(1+x2)＞0，则f(x)在[0，+∞]上单调递增，故当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx。知识点解析：暂无解析7、设f(x)在[0，+∞)上连续，f(0)=0，f″(x)在(0，+∞)内恒大于零，证明g(x)=f(x)/x在(0，+∞)内单调递增。标准答案：g’(x)=[f’(x)-f(x)]/x2，令φ(x)=f’(x)x-f(x)，因为φ’(x)=f″(x)x+f’(x)-f’(x)=f″(x)x＞0(x＞0)，所以x＞0时φ(x)单调递增，即φ(x)＞φ(0)=0，所以g’(x)＞0，故当x＞0时，g(x)在(0，+∞)内单调递增。知识点解析：暂无解析8、证明：当0＜x＜π/2时，sinx+tanx＞2x。标准答案：设f(x)=sinx+tanx-2x，则f(x)在[0，π/2)上连续，f’(x)=cosx+sec2x-2，f″(x)=sinx+2sec2xtanx=sinx(2sec3x-1)＞0x∈(0，π/2)，因此f’(x)在(0，π/2)内单调递增，故f’(x)＞f’(0)=0，因此f(x)在(0，π/2)内单调递增，故f(x)＞f(0)=0，即sinx+tanx＞2x，x∈(0，π/2)。知识点解析：暂无解析9、已知函数f(x)=(alnx-xlna)/x，x∈(e，+∞)，证明：当a＞b＞e时，ab＜ba。标准答案：f’(x)=[(a/x-lna)x-(alnx-xlna)]/x2=[a(1-lnx)]/x2。因为x＞e，所以1-lnx＜0，且由题意知a＞0，故f’(x)＜0，故f(x)在(e，+∞)内单调递减，又e＜b＜a，则f(a)＜f(b)。而f(a)=0，则f(b)＞0，即alnb-blna＞0。即alnb＞blna，故ab＜ba。知识点解析：暂无解析10、当x＞0时，证明：。标准答案：知识点解析：暂无解析11、当0＜x＜π时，证明sinx/2＞x/π。标准答案：令F(x)=sin(x/2)-x/π，则F(0)=F(π)=0。而F’(0)=1/2-1/π＞0，F’(π)=-1/π＜0，判断不出F’(x)的正负。注意到F″(x)＜0，则F(x)在0＜x＜π时是凸的。由于F(0)=F(π)-0，故F(x)＞0，即sin(x/2)＞x/π，得证。知识点解析：暂无解析12、当x＞0时，证明：x-x/2＜ln(1+x)＜x。标准答案：令f(x)=ln(1+x)-x+x2/2，则f(x)在[0，+∞)上连续，f’(x)=1/(1+x)-1+x=x2/(1+x)，x＞0时，f’(x)＞0，f(x)为增函数，f(x)＞f(0)=0。所以x＞0时，ln(1+x)＞x-x2/2。令g(x)=x-ln(1+x)，则g(x)在[0，+∞)上连续，g’(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)。x＞0时，g’(x＞0，g(x)为增函数，g(x)＞g(0)=0，所以x＞0时，x＞ln(1+x)。综上所述，当x＞0时，x-x2/2知识点解析：暂无解析13、证明：方程x3-3x+1=0有且仅有三个实根。标准答案：令f(x)=x3-3x+1，则f’(x)=3(x+1)(x-1)。当-1＜x＜1时，f’(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1或x＜-1时，f’(x)＞0，f(x)单调递增。因为f(-2)=-1＜0，f(-1)=3＞0，f(1)=1＜0，f(2)=3＞0，所以由零点定理及f(x)的单调性知，在(-2，-1)，(-1，1)及(1，2)内，函数f(x)各只存在一个零点。故方程x3-3x+1=0有且仅有三个实根。知识点解析：暂无解析14、证明：方程5x+arctanx+4sinx-1=0在区间(0，1)内有唯一实根。标准答案：设f(x)=5x+arctanx+4sinx-1，则f(x)在[0，1]上连续，f(0)=-1＜0，f(1)=4+4sin1+arctan1＞0，即f(0)·f(1)＜0，所以由零点定理可知，存在一点ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0。又f’(x)=5+1/(1+x2)+4cosx＞0，则f(x)是单凋递增的，故存在唯一的ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0，即方程5x+arctanx+4sinx-1=0在区间(0，1)内有唯一实根。知识点解析：暂无解析15、证明：方程lnx-x/e+1/2=0在(0，+∞)内有且仅有两个实根。标准答案：令f(x)=lnx-x/e+1/2，f(x)=-∞，f(e2)=5/2-e＜0，而f(e)=1/2>＞0，所以f(x)在(0，e)内至少有一个零点，在(e，e2)内至少有一个零点。又f’(x)=1/x-1/e，令f’(x)=0，得x=e。当0＜x＜e时，f’(x)＞0，f(x)单调增加；当x＞e时，f’(x)＜0，f(x)单调减少。所以f(x)在(0，e)，(e，e2)内各仅有一个零点，综上可知方程lnx-x/e+1/2=0在(0，+∞)内有且仅有两个实根。知识点解析：暂无解析16、证明：当x＞0时，arctanx+1/x＞π/2。标准答案：令f(x)=arctanx+1/x，则f(x)在(0，+∞)内连续，且f’(x)=1/(1+x2)-1/x2，所以f(x)在(0，+∞)内单调递减，又因为[*]91f(x)=π/2，所以f(x)＞π/2，即arctanx+1/x＞π/2。知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)17、已知曲线y=1/x2+2x2，则曲线在点(1，3)处的切线与x轴的交点坐标为()A、(-1/2，0)B、(1，3)C、(1，0)D、(0，0)标准答案：A知识点解析：y’=-2/x3+4x，y’(1)=2，所以曲线在点(1，3)处的切线方程为y-3=2(x-1)，即y=2x+1，令y=0，得x=-1/2，所以曲线在点(1，3)处的切线与x轴的交点坐标为(-1/2，0)。18、若函数y=f(x)满足f’(x0)=1/6，则当△x→0时，该函数在点x=x0处的微分dy是()A、与△x等价的无穷小B、与△x同阶非等价的无穷小C、与△x低价的无穷小D、比△x高阶的无穷小标准答案：B知识点解析：按照微分定义可知在点x=x0处，dy=f’(x0)dx=f’(x0)△x=(1/6)△x，当△x→0时，dy与△x为同阶非等价的无穷小，故选B。三、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)19、设y=ecos2x，则y’=__________。标准答案：-2sin2xecos2xB21知识点解析：y’=ecos2x(cos2x)’=ecos2x(-sin2x)·(2x)’=-2sin2xecos2x。20、设函数y=y(x)是由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定的函数，则dy/dx｜x=0=__________。标准答案：1知识点解析：把x=0代入方程ln(x2+y)=x3y+sinx，得lny=0，则y=1。方程两边关于x求导，得1/(x2+y)(2x+dy/dx)=3x2y+x3(dy/dx)+cosx，把x=0，y=1代入上式，得(dy/dx)｜x=0=1。四、解答题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)21、a，b为何值时，函数f(x)=在x=1处可导?标准答案：欲使f(x)在x=1处可导，首先应使f(x)在x=1处连续．因为f(1)=1，且故当a=-1，b=2时，f(x)在x=1处可导。知识点解析：暂无解析22、设函数x=x(y)由方程x=cos(xy)确定，求dx/dy。标准答案：方程两边同时微分，可得dx=-[sin(xy)]·d(xy)=-[sin(xy)]·(ydx+xdy)，整理后得xsin(xy)dy=[-1-ysin(xy)]dx，从而(dx/dy)=-[xsin(xy)/(1+ysin(xy))]。知识点解析：暂无解析云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)1、设f(x)在点x=x0处可导，则=()A、f’(x0)B、3f’(x0)C、-3f’(x0)D、-f’(x0)标准答案：C知识点解析：[f(x0-3h)-f(x0)]/h=-3[f(x0-3h)-f(x0)]/-3h=-3f’(x0)，故选C。2、设f(x)在点x=0处可导，则=()A、(4/3)f’(0)B、(3/4)f’(0)C、(5/3)f’(0)D、f’(0)标准答案：C知识点解析：3、设函数f(x)满足f(0)=0，且存在，则=()A、f’(5)B、f’(0)C、5f’(0)D、(1/5)f’(0)标准答案：C知识点解析：4、若f(x)在x=a处可导，则下列选项不一定正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：5、设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，f’(0)≠0，则下列极限存在且为零的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：6、设函数f(x)在点x=处可导，且f(0)=0，则[xf(x)-2f(x2)]/x2()A、-2f’(0)B、-f’(0)C、f’(0)D、0标准答案：B知识点解析：由于f(x)在点x=0处可导，且f(0)=0，则[xf(x)-2f(x2)]/x2=[f(x)-f(0)]/x-2[f(x2)-f(0)]/x2=f’(0)-2f’(0)=-f’(0)。7、设函数f(x)对任意x均满足f(x+1)=af(x)，且f’(0)=b，其中a、b为非零常数，则()A、f(x)在x=1处不可导B、f(x)在x=1处可导，且f’(1)=aC、f(x)在x=1处可导，且f’(1)=bD、f(x)在x=1处可导，且f’(1)=ab标准答案：D知识点解析：8、设函数f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-n)，其中n为正整数，则f’(1)=()A、(-1)n-1(n-1)!B、(-1)n(n-1)!C、(-1)n-1n!D、(-1)nn!标准答案：A知识点解析：9、设函数f(x)在x=0的某个邻域内有定义，则“f’(x)存在且等于A”是“f’(x0)存在且等于A”的()A、充分而非必要条件B、必要而非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件标准答案：D知识点解析：10、设函数f(x)=｜x3-1｜φ(x)，其中φ(x)在点x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在点x=1处可导的()A、充分必要条件B、充分但非必要条件C、必要但非充分条件D、既非充分又非必要条件标准答案：A知识点解析：11、设f(x)在x0处有定义，但f(x)不存在，则()A、f’(x0)必存在B、f’(x0)必不存在C、f(x)必连续D、f(x)=∞标准答案：B知识点解析：f(x)不存在，则f(x)在点x0处不连续，因此C项不正确。f(x)不存在时，可能f(x)=∞，也可能f(x)≠f(x)，D项不正确；由于可导必连续，则不连续必不可导，所以A项不正确，故选B。12、设函数y=f(x)在点x=1处可导，且f(x)=4，则f(1)=()A、4B、1C、1/4D、0标准答案：A知识点解析：由于y=f(x)在点x=1处可导，则y=f(x)在点x=1处必连续，所以有f(1)=f(x)=4。13、下列函数中，在点x=0处可导的是()A、y=｜tanx｜B、C、y=tanx2D、y=1/x标准答案：C知识点解析：选项A中，y=｜tanx｜在点x=0处左右导数不相同，则y=｜tanx｜在点x=0处不可导；选项B中，y=在(-∞，0)内无定义，则y=在点x=0处不可导；选项C中，y’=2xsec2x2，y’(0)=0，故y在x=0处可导；选项D中，y=1/x在点x=0处无定义；所以y=1/x在x=0处不可导。14、设f(x)=x2/3sinx，则f(x)在点x=0处()A、可导B、连续但不可导C、不连续D、无意义标准答案：A知识点解析：15、设f(x)=则f(x)在x=1处的()A、左、右导数都存在B、左导数存在，但右导数不存在C、左导数不存在，但右导数存在D、左、右导数都不存在标准答案：A知识点解析：f’(1)=1，f+(1)=[(x2-1)/(x-1)]=(x+1)=2，f’-(1)=[(x-1)/(x-1)]=1，故选A。16、已知f(x)=，则f(x)在x=0处()A、极限不存在B、极限存在但不连续C、连续但不可导D、可导标准答案：A知识点解析：17、设函数f(x)=则f(x)在x=1处()A、可导且f’(1)=0B、连续但不可导C、不连续D、可导且f’(1)=-2标准答案：B知识点解析：18、设f(x)=在x=0处可导，则()A、a=1，b=0B、a=0，b为任意常数C、a=b=1D、a=1，b为任意常数标准答案：C知识点解析：19、函数y=x2/3在x=0处()A、可导B、不连续C、不可导但有切线D、不可导且无切线标准答案：C知识点解析：函数在R内连续，则在x=0处也连续。y’=(2/3)x-1/3在x=0处无意义，所以函数在x=0处不可导，但在该点处有切线x=0，故选C。20、设f(x)可导，且满足[f(3)-f(3-2x)]/x=-1，则曲线y=f(x)在点(3，f(3))处的切线斜率为()A、3B、-3C、1/2D、-1/2标准答案：D知识点解析：[f(3)-f(3-2x)]/x=2[f(3-2x)-f(3)]/(-2x)=2f’(3)=-1，故f’(3)=-1/2，即曲线在点(3，f(3))处的切线斜率为-1/2。21、设曲线y=e2x+x-1在点(0，0)处与直线ι相切，则直线ι的斜率为()A、不存在B、1C、3D、-2标准答案：C知识点解析：y=2e2x+1，则y’(0)=3。由导数的几何意义知直线ι的斜率为3。22、已知曲线y=4x-x2上两点(4，0)，B(2，4)，且曲线上点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标为()A、(1，3)B、(3，3)C、(6，-12)D、(2，4)标准答案：B知识点解析：弦AB所在直线的斜率为k=(4-0)/(2-4)，y’=4-2x。设P点坐标为(x0,y0)，则y0=4x0-x02，y’(x0)=4-2x0=-2，所以x0=3，y0=3。23、曲线y=sinx在点x=0处的法线方程为()A、x+2y+π/4=0B、x-y=0C、x-2y=0D、x+y=0标准答案：D知识点解析：x=0时，y=sin0=0。又y’=cosx，则曲线y=sinx在点(0，0)处的切线斜率k切=y’｜x=0=1，故法线斜率k法=-1，法线方程为y-0=-(x=0)，即x+y=0。云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第5套一、证明题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、欲做一个容积为Vm3的无盖圆柱形储粮桶，底面用铝制，侧壁用木板制，已知每平方米铝的价格是木板的价格的5倍，问怎样设计圆柱形桶的尺寸，才能使费用最少?标准答案：设储粮桶的底面半径为rm，高为hm，木板的单价为a元/m2，则有V=πr2h，记制作储粮桶的费用为S(r)。则S(r)=5a·πr2+a·2πr·h=5a·πr2+a·2πr·V/πr2=a(5πr2+2V/r)，r＞0，S’=a(10πr-2V/r2)，令S’=0得r=由于驻点唯一，且实际问题存在最值，所以S在r=处取得最小值，此时h=5，因此当储粮桶底面半径为m，高为5m时，所用材料费用最少。知识点解析：暂无解析2、设有底面为等边三角形的直三棱柱，体积为V，要使其表面积为最小，问底面三角形的边长应为多少?(提示：直三棱柱的体积V=S·h，其中S为底面积，h为高)标准答案：设底面三角形的边长为x，直三棱柱高为y，则V=x2y，y=，表面积知识点解析：暂无解析3、要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20cm，要使其体积为最大，问其高应为多少?(提示：圆锥的体积V=(1/3)S·h，其中S为底面积，h为高)标准答案：知识点解析：暂无解析4、设一物体下端为直圆柱，上端为半球体，如果此物体的体积为V，这个物体的尺寸是多少时，才能使其表面积最小?(提示：球的表面积S=4πr2，球的体积V=(4/3)πr3，其中r为球的半径)标准答案：设圆柱底面半径为r，高为h，则该物体的体积V=πr2h+(2/3)πr2，表面积S=3πr2+2πrh，h=V/πr2-(2/3)r，代入S得S=(5/3)πr2+2V/r，所以S’=(10/3)πr-2V/r2，令S’=0得唯一驻点r=，此时h=，由于驻点唯一，且该实际问题最值一定存在，故r=也为最小值点，所以直圆柱的底面半径和高均为，表面积取得最小值。知识点解析：暂无解析5、一艘轮船甲以20海里/时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船乙在其正北82海里处以16海里/时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近?标准答案：设经过t小时两船相距S海里，如图2-1所示，则S=，即S2=(82-16t)2+(20t)2，所以(S2)’=2·(82-16t)·(-16)+2·20t·20，令(S2)’=0，得驻点t=2，由于驻点唯一，实际问题最值存在，故t=2也为最小值点，故经过两小时后两船相距最近。知识点解析：暂无解析二、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)6、求曲线f(x)=的单调区间和极值。标准答案：x=1为函数的驻点，x=0与x=2为导数不存在的点。令f’(x)＞0，解得0＜x＜1或x＞2；令f’(x)＜0，解得x＜0或1＜x＜2，所以f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2，+∞)，单调递减区间为(-∞，0)和(1，2)；极大值为f(1)=1，极小值为f(0)=f(2)=0。知识点解析：暂无解析7、求函数f(x)=log4(4x+1)-(1/2)x-log42的单调区间和极值。标准答案：f(x)的定义域为(-∞，+∞)，f’(x)=4xxln4/(4x+1)ln4-1/2=(4x-1)/2(4x+1)。令f’(x)=0，解得x=0，当x＜0时，f’(x)＜0；当x＞0时，f’(x)＞0。所以f(x)在区间(-∞，0)内单调递减，在(0，+∞)内单调递增；f(0)=0是f(x)的极小值。知识点解析：暂无解析8、求函数y=e2x/x的单调区间和凹凸区间。标准答案：函数y的定义域为(-∞，0)(0，+∞)，且y’=(2xe2x-e2x)/x2=(2x-1)e2x/x2。令y’=0，得x=1/2，当x＞1/2时，y’＞0；当x＜1/2且x≠0时，y’＜0，故y=e2x/x的单调递增区间为(1/2，+∞)，单调递减区间为(-∞，0)，(0，1/2)。又因为y″=(4x2-4x+2)e2x/x3=4[(x-1/2)2+1/4]e2x/x3，所以当x＞0时，y″＞0；当x＜0时，y″＜0，故函数y=e2x/x的凹区间为(0，+∞)，凸区间为(-∞，0)。知识点解析：暂无解析9、已知函数f(x)=x-4lnx，求f(x)的单调区间、极值和凹凸区间。标准答案：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f’(x)=1-4/x=(x-4)/x。令f’(x)=0，解得驻点x=4。当0＜x＜4时，f’(x)＜0；当x＞4时，f’(x)＞0，f”(x)=4/x2＞0恒成立，因此函数f(x)的单调增加区间是(4，+∞)，单调减少区间是(0，4)；f(x)在x=4处取得极小值，极小值为f(4)=4-8ln2；曲线f(x)的凹区间为(0，+∞)。知识点解析：暂无解析10、求曲线y=x4-2x3+1的凹凸区间和拐点。标准答案：函数y=x4-2x3+1的定义域为(-∞，+∞)。且y’=4x3-6x2，y”=12x2-12x=12x(x-1)，令y”=0，得x1=0，x2=1。当x＜0或x＞1时，y”＞0；当0＜x＜1时，y”＜0。当x=0时，y=1；当x=1时，y=0，所以曲线y的凹区间是(-∞，0)，(1，+∞)，凸区间为(0，1)，点(0，1)和点(1，0)是这条曲线的两个拐点。知识点解析：暂无解析11、求曲线f(x)=x+2x/(x2-1)的凹凸区间和拐点。标准答案：函数f(x)的定义域为x≠±1，f’(x)=1+[2(x2-1)-4x2]/(x2-1)2=(x4-4x2-1)/(x2-1)2。令f”(x)=0，得x=0，此时y=0。当x＞1或-1＜x＜0时，f(x)＞0；当0＜x＜1或x＜1时，f″(x)＜0，所以曲线f(x)的凹区间为(-1，0)，(1，+∞)；凸区间为(0，1)，(-∞，-1)，拐点为(0，0)。知识点解析：暂无解析12、求函数y=x2+2/x的极值、单调区间、凹凸区间、拐点和渐近线。(只考虑水平和垂直渐近线)标准答案：函数的定义域为(-∞，0)(0，+∞)，y’=2x-2