高中数学选修第一册：选择性必修第一册第三章 3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质

1、31.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的几何性质学习目标1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题知识点椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)范围axa，bybbxb，aya顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点(eq r(a2b2)，0)(0，eq r(a2b2)焦距|F1F2|2e

2、q r(a2b2)对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率eeq f(c,a)(0,1)思考离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？答案eeq f(c,a)，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆1椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的长轴长是a.()2若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为eq f(x2,25)eq f(y2,16)1.()3离心率相同的椭圆是同一个椭圆()4设F为椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为ac(c为椭圆的半焦距)()一、椭圆的简单几何性质例1设椭圆

3、方程mx24y24m(m0)的离心率为eq f(1,2)，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标解椭圆方程可化为eq f(x2,4)eq f(y2,m)1.(1)当0m4时，a2，beq r(m)，ceq r(4m)，eeq f(c,a)eq f(r(4m),2)eq f(1,2)，m3，beq r(3)，c1，椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2eq r(3)，焦点坐标为F1(1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(2,0)，A2(2,0)，B1(0，eq r(3)，B2(0，eq r(3)(2)当m4时，aeq r(m)，b2，ceq r(m4)，eeq f(c,a)eq f(r(m4

4、),r(m)eq f(1,2)，解得meq f(16,3)，aeq f(4r(3),3)，ceq f(2r(3),3)，椭圆的长轴长和短轴长分别为eq f(8r(3),3)，4，焦点坐标为F1eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(2r(3),3)，F2eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(2r(3),3)，顶点坐标为A1eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(4r(3),3)，A2eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(4r(3),3)，B1(2,0)，B2(2,0)反思感悟用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式(2)确定焦点位置(

5、焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质跟踪训练1已知椭圆C1：eq f(x2,100)eq f(y2,64)1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质解(1)由椭圆C1：eq f(x2,100)eq f(y2,64)1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(6,0)，离心率eeq f(3,5).(2)椭圆C2：eq f(y2,100)eq f(x2,64)1.几何性质如下：范围：8x8，10y10；对称性：对

6、称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：eeq f(3,5)，焦距为12.二、由椭圆的几何性质求标准方程例2求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；(2) 过点(3,0)，离心率eeq f(r(6),3).解(1)依题意可设椭圆方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，所以cb3，所以a2b2c218，故所求椭圆的

7、标准方程为eq f(x2,18)eq f(y2,9)1.(2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，由题意，得a3，因为eeq f(r(6),3)，所以ceq r(6)，从而b2a2c23，所以椭圆的标准方程为eq f(x2,9)eq f(y2,3)1；当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)，由题意，得b3，因为eeq f(r(6),3)，所以eq f(r(a2b2),a)eq f(r(6),3)，把b3代入，得a227，所以椭圆的标准方程为eq f(y2,27)eq f(

8、x2,9)1.综上可知，所求椭圆的标准方程为eq f(x2,9)eq f(y2,3)1或eq f(y2,27)eq f(x2,9)1.反思感悟利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤(1)确定焦点位置(2)设出相应椭圆的标准方程(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数(4)写出椭圆标准方程跟踪训练2(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为_答案eq f(x2,25)eq f(y2,16)1解析由题意，得eq blcrc (avs4alco1(2a2b18，,c3，,a2b2c2，)解得eq blcrc (avs4alc

9、o1(a5，,b4.)因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为eq f(x2,25)eq f(y2,16)1.(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cosOFAeq f(2,3)，则椭圆的标准方程是_答案eq f(x2,9)eq f(y2,5)1或eq f(x2,5)eq f(y2,9)1解析因为椭圆的长轴长是6，cosOFAeq f(2,3)，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)所以|OF|c，|AF|a3，所以eq f(c,3)eq f(2,3)，所以c2，b232225，所以椭圆的标准方程是eq f(x2,9)eq f(y2,

10、5)1或eq f(x2,5)eq f(y2,9)1.三、求椭圆的离心率例3设椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为_答案eq f(r(3),3)解析方法一由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|eq r(3)m，故离心率eeq f(c,a)eq f(2c,2a)eq f(|F1F2|,|PF1|PF2|)eq f(r(3)m,2mm)eq f(r(3),3).方法二由PF2F1F2可知P点的横坐标为c，将xc代入椭圆方程可解得yeq f(b2,a)，所以|

11、PF2|eq f(b2,a).又由PF1F230可得|F1F2|eq r(3)|PF2|，故2ceq r(3)eq f(b2,a)，变形可得eq r(3)(a2c2)2ac，等式两边同除以a2，得eq r(3)(1e2)2e，解得eeq f(r(3),3)或eeq r(3)(舍去)延伸探究1若将本例中“PF2F1F2，PF1F230”改为“PF2F175，PF1F245”，求C的离心率解在PF1F2中，PF1F245，PF2F175，F1PF260，设|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c，mn2a，则在PF1F2中，有eq f(m,sin 75)eq f(n,sin 45)eq f(2

12、c,sin 60)，eq f(mn,sin 75sin 45)eq f(2c,sin 60)，eeq f(c,a)eq f(2c,2a)eq f(sin 60,sin 75sin 45)eq f(r(6)r(2),2).2若将本例中“PF2F1F2，PF1F230”改为“C上存在点P，使F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围解由题意，知cb，c2b2.又b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2.e2eq f(c2,a2)eq f(1,2)，eeq f(r(2),2)，又0eb0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若ABF90，则椭圆C的离心率为()A.eq f(r(5)1,2) B.e

13、q f(r(3)1,2)C.eq f(1r(5),4) D.eq f(r(3)1,4)答案A解析由题意知，A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)，ABF90，kABkBF1，eq f(b2,ac)1，即b2ac.c2a2ac0，即e2e10，eeq f(r(5)1,2)(舍)或eeq f(r(5)1,2).(2)已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1PF2，则椭圆的离心率的取值范围为_答案eq blcrc)(avs4alco1(f(r(2),2)，1)解析由PF1PF2，知F1PF2是直角三角形，所以cb

14、，即c2a2c2，所以aeq r(2)c，因为eeq f(c,a)，0e1，所以eq f(r(2),2)eb0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A.eq f(r(6),3) B.eq f(r(3),3)C.eq f(r(2),3) D.eq f(1,3)答案A解析以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，由原点到直线bxay2ab0的距离deq f(2ab,r(a2b2)a，得a23b2，所以C的离心率eeq r(1f(b2,a2)eq f(r(6),3).6若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆

15、的离心率为_答案eq f(4,5)解析依题意，得b3，ac1.又a2b2c2，解得a5，c4，椭圆的离心率为eeq f(c,a)eq f(4,5).7已知椭圆的短半轴长为1，离心率0eeq f(r(3),2)，则长轴长的取值范围为_答案(2,4解析eeq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)2)，b1,0eeq f(r(3),2)，eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)2)eq f(r(3),2)，则1a2，2b0)，由eeq f(r(2),2)，知eq f(c,a)eq f(r(2),2)，故eq f(b2,a2)eq f(1,2).由于ABF2的周长

16、为|AB|BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a16，a4，b28，椭圆C的方程为eq f(x2,16)eq f(y2,8)1.9已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点Meq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(1,3)，求椭圆C的离心率解2a|MF1|MF2|eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)1)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)1)2blc(rc)(av

17、s4alco1(f(1,3)2)2eq r(2).所以aeq r(2).又由已知c1，所以椭圆C的离心率eeq f(c,a)eq f(1,r(2)eq f(r(2),2).10(1)求与椭圆eq f(x2,9)eq f(y2,4)1有相同的焦点，且离心率为eq f(r(5),5)的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程解(1)ceq r(94)eq r(5)，所求椭圆的焦点为(eq r(5)，0)，(eq r(5)，0)设所求椭圆的方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)eeq f(c

18、,a)eq f(r(5),5)，ceq r(5)，a5，b2a2c220，所求椭圆的方程为eq f(x2,25)eq f(y2,20)1.(2)椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，2c8，c4，又a6，b2a2c220.椭圆的方程为eq f(x2,36)eq f(y2,20)1.11若O和F分别为椭圆eq f(x2,4)eq f(y2,3)1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()的最大值为()A2 B3 C6 D8答案C解析由题意得点F(1,0)设点P(x0，y0)，则有eq f

19、(xoal(2,0),4)eq f(yoal(2,0),3)1，可得yeq oal(2,0)3eq blc(rc)(avs4alco1(1f(xoal(2,0),4).eq o(FP,sup6()(x01，y0)，eq o(OP,sup6()(x0，y0)，eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()x0(x01)yeq oal(2,0)x0(x01)3eq blc(rc)(avs4alco1(1f(xoal(2,0),4)eq f(xoal(2,0),4)x03.此二次函数的图象的对称轴为直线x02.又2x02，所以当x02时，eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6

20、()取得最大值，最大值为eq f(22,4)236.12以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为()A.eq f(r(2),2) B.eq f(r(3),2)C.eq r(3)eq r(2) D.eq r(3)1答案D解析设椭圆的焦点是F1，F2，圆与椭圆的四个交点是A，B，C，D，设|F1F2|2c，|AF1|c，|AF2|eq r(3)c(c0), |AF1|AF2|2aceq r(3)c2a，eeq f(c,a)eq f(2,r(3)1)eq r(3)1.13经过点M(1,2)，且与椭圆eq f(x2,

21、12)eq f(y2,6)1有相同离心率的椭圆的标准方程为_答案eq f(x2,9)eq f(y2,f(9,2)1或eq f(y2,6)eq f(x2,3)1解析由题意知e21eq f(b2,a2)eq f(1,2)，所以eq f(b2,a2)eq f(1,2)，即a22b2，设所求椭圆的方程为eq f(x2,2b2)eq f(y2,b2)1或eq f(y2,2b2)eq f(x2,b2)1.将点M(1,2)代入椭圆方程得eq f(1,2b2)eq f(4,b2)1或eq f(4,2b2)eq f(1,b2)1，解得b2eq f(9,2)或b23.故所求椭圆方程为eq f(x2,9)eq f(

22、y2,f(9,2)1或eq f(y2,6)eq f(x2,3)1.14在平面直角坐标系中，椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2,c)，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e_.答案eq f(r(2),2)解析如图，切线PA，PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以OAP是等腰直角三角形，eq f(a2,c)eq r(2)a.解得eq f(c,a)eq f(r(2),2)，则离心率eeq f(r(2),2).15已知椭圆E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于eq f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.eq blc(rc(avs4alco1(0，f(r(3),2) B.eq blc(rc(avs4alco1(0，f(3,4)C.eq blcr