初三数学自招阮07正弦定理教师

1、第六讲正弦定理正弦定理：abc 2Rs i nAs i nBs i nC111S 2 ab sin C 2 ac sin B 2 bc sin A适用：在 中，已知两角和一边已知两边和其中一边的对角CCCC如已知a, b 和 Aabbbbaaa A 为锐角AHABABABa b sin A无解a b s i nA一解b si nA a b两解a b一解Caabb A 为钝角ABa ba b 一解无解1 / 4【例题1】在ABC 中， ，求a 以及ABC 的面积 S【例题2】在ABC 中， a 3,b 2, B 45 ，解此三角形2 / 4b2 a2 c2 2ac cos B 2 2 3 2 c

2、2 2 3 c cos 45 c2 6c 1 0 c 6 2 , c 6 212226 21、当c 时2解法一： 6 2 2 2 3 22c2 b2 a221cos A=2bc6 222 22 A 602 3 2 2 2 6 2 a2 b2 c226 2cos C 2ab2 3 2 C 75解法二：6 2b c 2 2 sin C 6 24sin Bsin Csin 45sin C4 C 75 或105当C 75 时，A 606+ 2a b c 3 2 2成立sin Asin Bsin Csin 60sin 45sin 75当C 105 时，A 30a b 3 2 3 2 2 3sin Asi

3、n Bsin 30sin 4512226 22、当c 时2A 120 , C 15CC 180 120 30 30absin Asin B a b sin A 14sin 30 14 3 sin Bsin1203S 1 ab sin C 1 14 3 14sin 30 49 32233sin B sin C【例题3】在ABC 中， sin A ，判断这个三角形的形状.cos B cos C解：应用正弦定理、余弦定理，（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2bc+c2+bc.所以 a2=b2+c2.所以ABC 是直角三角形.【例题4】在ABC 中， sin A 2sin C cos B ，

4、判断ABC 的形状72【例题5】在ABC 中，设c 4 ， b 7 ， BC 边上的中线 AD 长为，求边长a .ACBD所以： a 93 / 4cos ADC cos ADB 7 2 7 2 x2 72 x2 42 2 2 2 7 x2 7 x22 x 92 7 2 x2 42在三角形 ADB 中，运用余弦定理： cos ADB 2 2 7 x2 7 2 x2 72在三角形 ADC 中，运用余弦定理： cos ADC 2 2 7 x2解法一：解法二：sin A 2 sin C cos Bsin A 2 sin C cos B sin B C 2 sin C cos B a 2c a c b2

5、22 sin B C 02ac c2 b2 B C c b ABC为等腰 ABC为等腰a b c，所以 b（a2b2）+c（a2c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=c2 a2 b2 a2 b2 c22ca2ababc【例题6】已知，ABC 三边长为 a 、b 、c ，内切圆半径为r ，外接圆半径为 R ，求证：2Rr .a b c【例题7】已知，ABC 三边长为a 、b 、c ，设半周长为 p 1 a b c ，2p p a p b p c证明： SABC =4 / 422a2 b2 c2sin C 1 cos C 1 2ab2ab2 a2 b2 c2 22ab22ab a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab2a b2 c2 c2 a b2 2ab2 a b ca b cc a bc a b2ab2 a b c a b c 2c a b c 2b a b c 2a2ab2 2 p 2 p 2c2 p 2b2 p 2a 4 p p a p b p c2ab2ab22 p p a p b p c sin C ab S= 1 ab sin C p p