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1、第四节 对面积的曲面积分Chapter 11一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法1第1页，共22页。弧段为AB , 其线密度为此构件的质量为曲线形构件在平面所占一、对面积的曲面积分的概念与性质引例: 设曲面形构件具有连续面密度求质 量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的 (曲面的直径为其上任意两最大值点间距离的最大者).2第2页，共22页。1.定义 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.3第3页，共22页。据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为1.定义4第4页，共22页。则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.则有 线

2、性性质.在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面5第5页，共22页。定理: 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明: 由定义知6第6页，共22页。而( 光滑)证明: 由定义知7第7页，共22页。则则则类似也有:8第8页，共22页。例1. 计算曲面积分其中 是球面被平面截出的顶部.解:9第9页，共22页。思考:若 是球面被平行平面 z =h 截出的上下两部分,则10第10页，共22页。例2. 计算其中 是由平面三个坐标面所围成的四面体的表面. 解:

3、设上的部分, 则与 原式 = 分别表示 在平面 11第11页，共22页。例3. 设计算解: 锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xOy 面上的投影域为则 12第12页，共22页。例3. 设计算解:13第13页，共22页。内容小结1. 定义:2. 计算: 设则(曲面的其他两种情况类似)14第14页，共22页。思考与练习P219 题1；3；4 (1) ; 7 解答提示:P219 题1.P219 题3. 设则P246 题215第15页，共22页。P219 题4 (1). 在 xOy 面上的投影域为这是 的面积 !16第16页，共22页。P220 题7. 如图所示, 有17第17页，共22页。P246 题2. 限中的部分, 则有( ).( 2000 考研 )18第18页，共22页。作业 P219 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 819第19页，共22页。备用题 1. 已知曲面壳求此曲面壳在平面 z =1以上部分 的的面密度质量 M . 解: 在 xOy 面上的投影为 故20第20页，共22页。2. 设 是四面体面,

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