差分方程(2)稳定性课件

1、差 分 方 程(2) 稳定性 第1页，共16页。1.差分方程模型 对于k阶差分方程F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (1-1)若有xn = x (n), 满足F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,则称xn = x (n)是差分方程(1-1)的解, 包含个任意常数的解称为(1-1)的通解, x0, x1, , xk-1为已知时称为(1-1)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1-1)的特解. 若x0, x1, , xk-1已知, 则形如xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 )的差分方程的解可

2、以在计算机上实现.第2页，共16页。 若有常数a是差分方程(1-1)的解, 即F (n; a, a, , a ) = 0,则称 a是差分方程(1-1)的平衡点. 又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有xna (n), 则称这个平衡点a是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a -1, 0)的通解为xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当|a|1时, b/(a +1)是稳定的平衡点. 第3页，共16页。 二阶常系数线性差分方程xn+2 + axn+1 +

3、bxn = r,其中a, b, r为常数. 当r = 0时, 它有一特解x* = 0； 当r 0, 且a + b + 1 0时, 它有一特解x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形, x*是其平衡点. 设其特征方程2 + a + b = 0的两个根分别为 =1, =2. 第4页，共16页。 当1, 2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; 当1, 2=是两个相同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn= x* + (C1 + C2 n)n; 当1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分方

4、程的通解为xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知,当且仅当特征方程的任一特征根 |i |1时, 平衡点x*是稳定的. 则第5页，共16页。对于一阶非线性差分方程xn+1 = f (xn )其平衡点x*由代数方程x = f (x)解出. 为分析平衡点x*的稳定性, 将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同. 因此当时, x*是不稳定的.当时, x*是稳定的；当第6页，共16页。2. 建模实例：差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散

5、形式x(t) 某种群 t 时刻的数量(人口)yk 某种群第k代的数量(人口)若yk=N, 则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡点第7页，共16页。离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶(非线性)差分方程 (1)的平衡点y*=N讨论 x* 的稳定性变量代换(2)的平衡点第8页，共16页。(1)的平衡点 x*代数方程 x=f(x)的根稳定性判断(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点x*是(2)和(1)的稳定平衡点x*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识(刚学过的):一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性第9页，共16页。01的平衡点及其稳定性平衡点稳定性x* 稳定x* 不稳定另一平衡点为 x=0不稳定第10页，共16页。01/2101的平衡点及其稳定性第11页，共16页。初值 x0=0.