小学六年级奥数系列讲座：构造与论证

1、构造与论证1内容概述各种探讨给定要求能否实现， 设计最佳安排和选择方案的组合问题.这里的最佳通常指某个量达到最大或最小.解题时，既要构造出取得最值的具体实例， 又要对此方案的最优性 进行论证.论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计.典型问题2.有3堆小石子，每次允许进行如下操作： 从每堆中取走同样数目的小石子， 或是将其中的 某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有 89块石子.问能否做到：(1)某2堆石子全部取光(2)3堆中的所有石子都被取走【分析与解】(1)可以，如(1989, 989, 89)(1900,

2、 900, 0)(950, 900, 950)(50, 0, 50)(25, 25, 50)(0, 0, 25).(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变.现在共有1989+989+89=3067,不是3的倍数，所以不能将 3堆中所有石子都取走.4.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场.为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加 1分；

3、专业选手每负一场扣 2分，业余选手每负一场扣1分.问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高【分析与解】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分).此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分).所以，一位业余选手胜 2场，不能确保他的得分比某位专业选手高.当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分).此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三1场比赛共得0分，专业选手与业余选

4、手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34+3=11，3推知，必有人得分不超过11 分 .也就是说，一位业余选手胜3 场，能确保他的得分比某位专业选手高6.如图 35-1 ，将 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 这 10个数分别填入图中的 10 个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.【分析与解】要使M最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的.因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5X(1+2+3+ - +10) =2

5、75.每次和都小于等于朋，所以IOM大于等于275,整数M大于28.下面来验证 M=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是 55,所以肯定是一边五个 的和是28，一边是27 因为数字都不一样，所以和28 肯定是相间排列，和27 也是相问排列，也就是说数组每隔4 个差值为 l ，这样从 1 填起，容易排出适当的填图 .名运动员的号码依次为1 至 1998 的自然数现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积 那么， 选为仪仗队的运动 员最少有多少人【分析与解】 我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉， 因为它们参与的乘式比较多，把它们去掉有

6、助于使剩下的构不成乘式， 比较小的数肯定是用得最多的， 因为它们的倍数最 多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何处考虑到 44 的平方为1936，所以去到44 就够了，因为如果剩下的构成了乘式，那么乘式中最小的数一定小于等于44，所以可以保证剩下的构不成乘式因为对结果没有影响，所以可以将1保留，于是去掉 2, 3, 4,，44这43个数.但是，是不是去掉 43个数为最小的方法呢构造 2X97, 3X96, 4X 95,，44X45, 发现这 43 组数全不相同而且结果都比1998 小， 所以要去掉这些乘式就至少要去掉43 个数，所以 43 位最小值，即为所求.10.在10X19方格表的每个方

7、格内，写上 0或1,然后算出每行及每列的各数之和.问最多 能得到多少个不同的和数【分析与解】 首先每列的和最少为 0，最多是 10，每行的和最少是0，最多是 19，所以不同的和最多也就是0, 1, 2, 3, 4,，18, 19这20个.下面我们说明如果0 出现，那么必然有另外一个数字不能出现如果 0 出现在行的和中，说明有1 行全是0，意味着列的和中至多出现0 到 9，加上行的和至多出现10 个数字，所以少了一种可能如果 0 出现在列的和中，说明在行的和中 19 不可能出现，所以 0 出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19 ，下面给出一种排出方法.12.在1000X 1000的方格表

8、中任意选取n个方格染为红色，都存在 3个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的顶点求n 的最小值【分析与解】 首先确定 1998 不行反例如下：其次 1999 可能是可以的，因为首先从行看， 1999 个红点分布在 1000 行中，肯定有一些行含有 2 个或者以上的红点， 因为含有 0 或 1 个红点的行最多 999 个， 所以其他行含有红点肯定大于等于1999-999=1000 ， 如果是大于1000 ， 那么根据抽屉原理， 肯定有两个这样红点在一列，那么就会出现红色三角形；如果是等于1000 而没有这样的 2 个红点在一列，说明有999 行只含有 1 个红点，而剩下的一行全是红点，那也肯

9、定已经出现直角三角形了，所以 n 的最小值为 1999 14.在图35-2中有16个黑点，它们排成了一个4X4的方阵.用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形 现在要去掉某些点， 使得其中任意4 点都不能连成正方形， 那么最少要去掉多少个点至少要除去6 个点，如下所示为几种方法：构造与论证2内容概述组合证明题，在论证中， 有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形， 或从整体把握 若干点及连接它们的一些线段组成图， 与此相关的题目称为图论问题， 这里宜从特殊的点或线着手进行分析 各种以染色为内容， 或通过染色求解的组合问题， 基本的染色方式有相间染色与条形染色典型问题2甲、乙、丙三个班人

10、数相同，在班级之间举行象棋比赛各班同学都按l, 2, 3, 4,依次编号当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒在甲、乙两班比赛时，有15 台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有9 台是男、女生对垒试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24 并指出在什么情况下，正好是24【分析与解】不妨设甲、乙比赛时，115号是男女对垒，乙、丙比赛时.在 115号中有a台男女对垒，15号之后有9-a台男女对垒（0w a9）甲、丙比赛时，前15 号，男女对垒的台数是15-a（ 如果 1 号乙与 1 号丙是男女对垒，那么 1 号甲与 1 号丙就不是男女对垒） ， 15 号之后，有9-a 台男女对

11、垒. 所以甲、丙比赛时，男女对垒的台数为15-a+9-a=24-2a24.仅在a=0,即必须乙、丙比赛时男、女对垒的号码，与甲、乙比赛时男、女对垒的号码完全不同，甲、丙比赛时，男、女对垒的台数才等于244.将15X15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色.证明：至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同【分析与解】 如果找不到两行的某种颜色数一样， 那么就是说所有颜色的列与列之问的数目不同那么红色最少也会占：0+1+2+- +14=105 个格子.同样蓝色和绿色也是，这样就必须有至少：3 X （0+1+2+ - +14）=315 个格子.但是，现在只有15X 15=225个格子，所以

12、和条件违背，假设不成立，结论得证.6. 4 个人聚会，每人各带 2 件礼品，分赠给其余3 个人中的 2 人试证明：至少有2 对人，每对人是互赠过礼品的【分析与解】 将这四个人用 4 个点表示， 如果两个人之间送过礼， 就在两点之间连一条线由于每人送出2件礼物，图中共有 4X2=8条线，由于每人礼品都分赠给2个人，所以每两点之间至多有1+1=2条线四点间，每两点连一条线，一共6 条线，现在有8 条线，说明必有两点之间连了 2 条线，还有另外两点 （ 有一点可以与前面的点相同 ） 之间也连了 2 条线即为所证结论。8若干台计算机联网，要求：任意两台之间最多用一条电缆连接；任意三台之间最多用两条电缆

13、连接；两台计算机之间如果没有电缆连接， 则必须有另一台计算机和它们都连接有电缆 若按此要求最少要用 79 条电缆问： （1） 这些计算机的数量是多少台（2） 这些计算机按要求联网，最多可以连多少条电缆【分析与解】将机器当成点，连接电缆当成线，我们就得到一个图，如果从图上一个点出发， 可以沿着线跑到图上任一个其它的点， 这样的图就称为连通的图， 条件表明图是连 通图我们看一看几个点的连通图至少有多少条线可以假定图没有圈 （ 如果有圈，就在圈上去掉一条线） ，从一点出发，不能再继续前进，将这一点与连结这点的线去掉考虑剩下的n-1 个点的图，它仍然是连通的用同样的办法又可去掉一点及一条线这样继续下去

14、，最后只剩下一个点 因此 n 个点的连通图至少有n-1 条线（如果有圈，线的条数就会增加 ） ， 并且从一点A 向其他n-1 个点各连一条线，这样的图恰好有n-1 条线因此，（1）的答案是n=79+1=80,并且将一台计算机与其他79台各用一条线相连，就得到符合要求的联网下面看看最多连多少条线在这 80 个点 （80 台计算机 ） 中，设从A1 引出的线最多，有k 条，与A1 相连的点是B,民，Bk由于条件，Bi, B2，Bk之间没有线相连.设与Ai不相连的点是 A2, A，Am,则m+k=8Q而A2, A，Am每一点至多引出k条线，图中至多有 mk条线，因为B40 4 m k （m k）2

15、（m k）26400所以 $ kwi600,即连线不超过 1600条.另一方面，设80个点分为两组：Ai,A2，A40；Bi,B2，&0第一组的每一点与第二组的每一点各用一条线相连，这样的图符合题目要求，共有 40X40=1600条线.10.在一个6X6的方格棋盘中，将若干个1X1的小方格染成红色.如果随意划掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的那么最少要涂多少个方格【分析与解】方法一：显然，我们先在每行、每列均涂一个方格，使之成为红色，如图A 所示，但是在图 B 中，划去 3 行 3 列后，剩下的方格没有红色的，于是再将两个方格涂成红色（依据对称T应将2个方格同时涂成红色），如图C所

16、示，但是图D的划法，又使剩下的方格没有红色， 于是再将两个方格涂成红色（ 还是由于对称的缘故， 将 2 个方格涂成红色） ，得到图E,图E不管怎么划去3行3歹U,都能使剩下的方格含有红色的.这时共涂了 10 个方格方法二：一方面，图F 表明无论去掉哪三行哪三列总会留下一个涂红的方格另一方面，如果只涂9 个红色方格，那么红格最多的三行至少有6 个红格 （ 否则第三多的行只有1个红格，红格总数w 5+3=8）,去掉这三行至多还剩 3个红格，再去掉三列即可将 这三个红格也去掉综上所述，至少需要将10 个方格涂成红色12.证明：在6X6X6的正方体盒子中最多可放入 52个1Xl X4的小长方体，这里每

17、个小 长方体的面都要与盒子的侧面平行【分析与解】先将6X 6X6的正方体盒子视为实体，那么 6X6X6的正方体可分成216 个小正方体，这216 个小正方体可以组成27 个棱长为 2 的正方体我们将这 27 个棱长为 2 的正方体按黑白相间染色，如下图所示其中有14个黑色的，13个白色的，而一个白色的 2X2X2的正方体可以对应的放人 4 个每个面都与盒子侧面平行的 1Xl X4的小长方体，所以最多可以放入13X4 =52个1X1X4 的小长方体评注：6X6X6的正方体的体积为216, 1X1X4的小长方体的体积为 4,所以可放入的小正方体数目 不超过216+ 4=54个.14.用若干个l X6和1X7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11X12的大长方形，最少要用小长方形多少个【分析与解】我们先通过面积计算出最优情况：11X12=132,设用1X6