圆锥曲线的参数方程解答

1、圆锥曲线的参数方程解答椭圆的参数方程复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.圆心为(a, b),半径为r的圆的参数方程:3.椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？M如图,以原点为圆心,分别以a, b(ab0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作ANOx,垂足为N,过点B作BMAN,垂足为M,xOyANB设以Ox为始边，OA为终边的角为，点M的坐标是(x, y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A, B均在角的终边上，由三角函数的定义有:yNMxON 这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。 常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长

2、。 在椭圆的参数方程中，通常规定参数的范围为|OA|cosacos，|OB|sinbsinOAMxyNB椭圆的标准方程:椭圆的参数方程中参数的几何意义:xyO圆的标准方程:圆的参数方程: x2+y2=r2的几何意义是AOP=PA椭圆的参数方程:是AOX=, 不是MOX=.称为点M的离心角 小 结 椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：离心角一般地： 在椭圆的参数方程中，常数a、 b分别是椭圆的长半轴长和短半 轴长. ab练习 把下列普通方程化为参数方程. (1)(2)(3)(4)把下列参数方程化为普通方程 练习 O是坐标原点，P是椭圆 上离心角为-/6所对应的点，那么直线OP的倾角的正切值是 . 解

3、：把代入椭圆参数方程可得P点坐标所以直线OP的倾角的正切值是: xyOM解：因为椭圆的参数方程为(为参数)，所以可设点M的坐标为由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为 例1、如图，在椭圆 上求一点M，使M到直线 l：x+2y-10=0的距离最小. 例1、如图，在椭圆 上求一点M，(1)使M到直线 l ：x+2y-10=0的距离最小.yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX 例2、已知椭圆 有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。双曲线的参数方程ABBOyxM A以原点O为圆心, a, b(a0, b0)为半径分别作同心圆C1,C2.设A为圆C1上任一点, 作直线OA,过A作圆C

4、1的切线AA与x交于点A,过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB与直线OA交于点B。过点A, B分别作y轴, x轴的平行线AM, BM交于点M,设OA与OX所成角为(0, 2),/2,3/2)求点M的轨迹方程, 并说出点M的轨迹。研究双曲线的参数方程 ABBOyxM Abaoxy)MBA事实上(t 是参数, t 0)化为普通方程, 画出方程的曲线.表示什么曲线?画出图形.练习:4不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为 则直线MA的方程为 解得点A的横坐标为 平行四边形MAOB的面积为 由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关说明： 这里参数 叫做双曲线的离心角与直

5、线OM的倾斜角不同. 双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.例3 例4 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。A2A1BAyxO证明：设双曲线方程为取顶点A2(a, 0), 弦AB Ox，弦AB对A1张直角，同理对A2也张直角MOyxBA 例5 已知双曲线， A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P ,求证：，解：设A，B坐标分别为则中点为M于是线段AB中垂线方程为将 代入上式,(A，B相异)， 例6 求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。抛物线的参数方程MFOYXA前面曾经得到

6、以时刻 t 为参数的抛物线的参数方程:对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？以抛物线的普通方程为例，其中p为焦点到准线的距离。 设M(x, y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作 显然，当在 内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取为参数来探求抛物线的参数方程. 因为点M在的终边上，根据三角函数定义可得由方程 (为参数)这是抛物线(不包括顶点)的参数方程. 如果令则有（t为参数） (为参数) 当t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),因此，当 时， （t为参数） 就表示整条抛物线参数 t 表示抛物线上除顶点

7、外的任意一点与原点连线的斜率的倒数C练习 例1 如图，O为原点，A,B为抛物线 上异于顶点的两动点，且OAOB，OMAB于M，求点M的轨迹方程当点A,B在何位置时,AOB面积最小？最小值是多少？ 练习 已知椭圆C1: 及抛物线C2: y2=6(x-3/2)；若C1C2，求m的取值范围。代入得 cos2+4cos +2m-1=0所以 t2+4t+2m-1=0 在-1, 1内有解； 3 已知A, B, C是抛物线 y2=2px(p0)上的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D, E两点，求证：抛物线的顶点平分DE.练习 4 经过抛物线y2=2px(p0)的顶点O任作两条互相

8、垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的参数方程。解：直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为由y2=2px和y=kx，得A点坐标为同理B点坐标(2pk2,-2pk) 5 已知椭圆 上任意一点M，(除短轴端点外)与短轴端点B1, B2的连线分别与x轴交于P, Q两点，O为椭圆的中心，求证：|OP|OQ|为定值。 练习 对于一切实数，若 直线 与曲线 恒有公共点，则m的范围是：A B C D直线恒过点当直线与曲线恒有公共点时，必满足直线的参数方程请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:点斜式:一般式:温故知新问题情景M0(x0，y0)M(x,y)解：

9、在直线上任取一点M(x，y)，则xOy探究思考| t | = | M0M |M0M所以，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.这就是 t 的几何意义，要牢记xOy分析:3.点M是否在直线上1.用普通方程去解还是用参数方程去解；2.分别如何解.ABM(-1，2)xyO解：因为把点M的坐标代入直线方程后，符合直线方程，所以点M在直线上.M(-1，2)ABxOyM(-1，2)ABxOy探究思考BB5. 动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别是3cm/s和4cm/s，直角坐标系的长度单位是1cm，点M的起始位置在点M0(2，1)处，求点M的轨迹的参数方程.辨析:例: 动点M作等速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向分速度分别为 9，12，运动开始时，点 M 位于A(1，1)，求点 M 的轨迹的参数方程.请思考: 此时的t有没有明确的几何意义?没有重要结论:直线的参数方程可以写成这样的形式:例3 当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并以40km/h的速度向