空间几何体的外接球（精练）

1、7.7空间几何体的外接球（精练）【题组一汉堡模型】（2021 西藏拉萨市高三二模（理）已知三棱锥A-88的所有顶点都在球0的球面上，且河，平 TOC o 1-5 h z 面BCQ, AB = 2, CD = 6，AC=AD = y/5,则球。的表面积为（）A.瓜兀B. 24C. 3万D. 64【答案】D【解析】因为平面8C。，所以AB_L8C，ABLBD-所以6c = 8。= J5-4 = 1，在BCD 中，CD2 = 2 = BC2 + BD2,所以 8c _L BO.如图所示：flE三棱锥A BCD的外接球即为长方体AGFH - BCED的外接球，设球。的半径为R，则2R = dB# +

2、BC2 + S =也+ F +=后解得r =母，所以球。的表面积为S = 47/?2=4%x = 6%.故选；D.4（2021 四川省华签中学高三其他模拟（理）已知边长为3的正aABC的顶点和点。都在球。的球面上.若AO = 6,且AQ_L平面A8C，则球。的表面积为（）A. 32丛兀B. 48万C. 244D. 12乃【答案】B【解析】由题意知：球。为三棱锥。ABC的外接球，.ABC为边长为3的正:角形，.A8C的外接圆半径r = 2x、9 2 = G，又AT_L平面ABC，AD = 6，.球0的半径/?=产+（；4） = V3 + 9 = 273 .，球O的表面积S = 4兀炉=48%.故

3、选：B.（2021 全国高三专题练习）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底面边长为“，高为，球的体积为8府，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为（）A. 480B. 2472c. 96&D. 1272【答案】B解析设球的半径为R，则g兀总=8屈兀,解得R = y/6.如图，正四棱柱底面对角线80 = Ca，隹R/aQZJB中，由（&a）2 + 2 =（2犬尸=4，.（缶- + /z2 =24 26ah ,ah6亚，则侧面积S = 4a/5，则外接球表面积为4万? =807.当四面体ABCO如下图示，过A作AE/CD且4E = CD，连接BE、DE、CE,且A。与CE交于。点，则AABE为等腰三角

4、形,A8E为矩形且。点为A8E外接圆圆心，即AC_LAE，乂 AB_LAC, ABAAE = A,二 AC 面 ABE. AC u 面 ACDE,则面 ABE 面 ACDE .过尸为AE中点，连接OF，若尸为面ABE外接圆圆心，。为四面体A8CD的外接球球心，则OF = QF = 2、BF = 473 .如下图示,/.四面体ABCD的外接球半径r = yJoT2 + BF2 = 2 J万,则外接球表面积为4万K =（运%.故选：CD（2021 山西高三三模（理）己知四棱锥PA8CO的五个顶点都在球。的球面上，Q4,平面A3CO, 底面ABC。是高为g的等腰梯形，AD/BC, AD = PA =

5、 ，BC = 2,则球。的表面积为（）A. 10B. 47rC. 5%D. 67r【答案】D【解析】取BC的中点E,过A作ANLBC面AC，如图，因为 A8 = C), ADI IBC. AD = 1, BC = 2 , AN =, 2所以在 RNANB 中，AN = NB = L2所以 N4BC = 45,A8 = 2由余弦定理可知，AC2 = AB2 +BC2-2/1B BC cosB = - + 4-2x x2x =-2222设底面/小外接圆半径为r,圆心为也 球。的半径为尼 TOC o 1-5 h z ArR由正弦定理知2r = =6，故厂=三sin NABC2又因为QM J,平面AB

6、CD,OA = OP, AP , 3所以斤=（把）2 +r=三 22所以球。的表面积为S = 4兀片=6兀.故选：D6.（2021嚏国高三其他模拟（理）在四棱锥P - ABCD中，已知_L底面ABCD, AB BC, ADCD, 且/B4O = 120,PA = A8 = AD = 2,则该四棱锥外接球的体积为（D. 20非兀 TOC o 1-5 h z A , rz0 20%206A. 4j3zrB. C.兀 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 33【答案】C【解析】如图所示，连接AC,设AC的中点为G，因为 A8_LBC,AO_LCO,所以A

7、C是底Ifil ABCD外接圆的直径,又 AB = AD = 2 所以用 aABCRsADC，又 NBAD = 120。，得/班C = ZQ4c = 60。，又 Q4_L底面 ABCO,则 Q4_LAC,所以 NQ4C = 90.即PC是球的直径，则PC的中点0为球心，连接OG, AO,DA易知OG/%，所以OG = = 1,且。G_L底面ABCZX 2在 R/aABC 中，AC= AB =4,则 AG = = 2, cos6002又在R/aAOG中，球半径。4 =后不了行=石，则该四棱锥外接球的体积丫=改乃（、6）3=生叵万.故选：C 337. （2021 南昌市八一中学高三三模（文）设直三

8、棱柱ABC-A81G的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是竺巫生，AB = AC = AA, ZBAC = 20,则此直三棱柱的高是 . 3【答案】2血解析】设 A8 = AC = A4） = 26.；NBAC = 120. A ZACB = 30 ,2m于是二=2叩是aABC外接圆的半径），r = 2m.sin 300又球心到平面45c的距离等于侧棱长的一半，球的半径为疗+/=也皿.*，球的体积为d；rx（x/5/n）3 =，33解得1 = 0 .于是直三.棱柱的高是A4, =2加=2，5.故答案为：2万.【题组二墙角模型】（2021 沈阳市）（多选）一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在

9、同一球的球面上，则该球的体积可能是（）A.叵兀2C.兀R 6D. 712【答案】BCD【解析】设长方体未知的两棱长分别为a,则Mxl=L ab=，设外接球半役为R ,则2R = &+加+ 1 ,47r-球体积为V = - =-（a2+b2 +1）2, a2+b22ah2,当且仅巧a=b = l时等号成立，36所以丫2立;r.故选：BCD.2（2021 黑龙江哈尔滨市哈师大附中高三月考（文）长方体ABC。-kqGR的长、宽、高分别为2,2, 1,其顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为.【答案】9兀【解析】因为长方体的外接球0的门径为K方体的体对角线，长方体的长、宽、同分别为2, 2, 1,所以

10、长方体的外接球O的直径V4 + 4 + 1 = 3，3 故长方体的外接球。的半径为r = ,2所以球。的表面积为S = 4万r=9乃.故答案为：9兀（2021 贵溪市实验中学高三其他模拟）棱长为0的正四面体的外接球体积为.【答案】叵2【解析】如图，棱长为0的正四面体可以嵌入到棱长为1的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的立方体的外接球相同.设立方体的外接球半在为R ,则/?=走，24 、4 GY V3 所以立方体外接球的体积v = ?乃宠3=二乃=以兀.33 y2 ）2故正四面体的外接球体积为9兀.2故答案为：昱兀2（2021 云南红河哈尼族彝族自治州高三三模（文）在三棱锥P-ABC中，已

11、知B4, PB, PC两两垂直，且Q4 = l，PB = 2, PC = 3,则三棱锥PABC的外接球的表面积为【答案】14%【解析】以线段PA, PB, ZT为相邻三条棱的长方体PABB-CAPC被平面所载的三棱锥P-ABC符 合耍求，如图：长方体P43B-C4PC与三棱锥PA8C有相同外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP,长, 设外接球的半径为 R，则（2/?了=PP1 = PA2 + PB2 + PC2 = 12 +22 +32 = 14,则所求表面积S = 4%R2 =%.（2表）2 =14%.（2021 吉林长春市高三其他模拟（文）已知正四棱柱（底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱

12、）的底面边长为3,侧棱长为4,则其外接球的表面积为【答案】344【解析】正四棱柱即长方体，具体时角线长为万寿=用，因此其外接球的半径为=叵，则其表面积为5=4万/=34万，故选 2（2021 河南高三三模（理）在四面体S-A6C中，SA_L平面ABC,三内角8, A，C成等差数列，SA = AC = 2, AB = ，则该四面体的外接球的表面积为【答案】8兀 【解析】由题意，内角B, AC成等差数列，可得2A = 8+。,T.71因为A+B + C = /r,可得3A =%，即A = 一 3 222 i在aA/C中，由余弦定理可得cos A = P +C 1,2bc 2即乌黑弓，解得。所以62

13、=/+4,所以 A8，BC，所以该四面体的外接球与该长方体的外接球是相同的, 根据长方体的对角线长等于其外接球的直径,可得（2R）2 =22+/ +（G）2,解得r2 =2 ,所以该四面体的外接球的表面积为S = 4万改=8%.（2021 贵州黔东南苗族侗族自治州凯里一中高三三模（文）如图，在中，AB = AC = 5cosZBAC = -, D是棱8c的中点，以AO为折痕把ACO折叠，使点C到达点。的位置，则当三棱锥A3。体积最大时，其外接球的表面积为A【答案】5万【解析】在aABC中，因为AB = AC = Ji，cosNBAC = -g,由余弦定理可得 BC2 = AB2 + AC2-

14、2AB - ACcos A= 3 + 3-2xGxGx(-g) = 8,所以BC = 2上，当CDLBD，即CZ)_L平面/曲，三棱锥C A6Z)体积最大，此时C。、8、D4两两垂直，可把三棱锥补形为一个长方体，且长方体长、宽、高分别为：1,夜，夜，所以三棱锥C-ABO的外接球半役为： yBD2 + AD2 + CD2 ) + (旬+(3)=立，22,所以外接球的表面枳为：S = 4兀R，= 47r x ()2 = 5兀.2(2021 南昌市八一中学高三三模(理)在三棱锥PABC中，点A在平面P8C中的投影是aPBC的 垂心，若ABC是等腰直角三角形且AB = AC = 1, PC = ，则三

15、棱锥PABC的外接球表面积为一【答案】4万【解析】设aPBC的垂心为的,连接则A_1_平面尸BC，如图所示：由垂心知，BH L PC,CH PB . 乂 A/_LPC，B/7 DA= 则 PC_L 平面 AB”所以PCLAB，又ABJ.AC , PCcAC = C，所以A8_L平面尸AC，得9_LP4同理AC_L%所以AP, AB, AC两两垂直，则三棱锥P-ABC的外接球是以AP, AB, AC为长宽高的长方体的外接球,故 2R = ylAP2 + AB2 + AC2 = PC2 - AC2 + AB2 + AC2 = /3+i = 2所以r = 1，三棱锥PABC的外接球表面积为4万(20

16、21 辽宁朝阳市高三二模)已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA S3, SC两两互相垂直且AC = y/13,AB = V5 ,此三棱锥的外接球的表面积为14%,则8C=.【答案】y/10【解析】设SA = x, SB = y, SC = z ,由题意可得：x2 +z2 = 13,x2 + y2 =5,y2+z2 = BC2, 三棱锥的外接球的表面积为14乃.三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径2R， 所以2R = Jx2 + y+z2 , 4万/?2=14万，可得 x2 + y2 + z? = 14,解得 x = 2,y = l,z = 3,所以 BC = Jy2 + z

17、 = VlO .故答案为：VwA X（2021 广西来宾市高三其他模拟（理）三棱锥PABC中，P4_L平面A8C,直线PB与平面ABC所成角的大小为30, ab = 26 NAC8 = 60。，则三棱锥PABC的外接球的表面积为.【答案】20万【解析】如图，设外接球的球心为“设aABC的外接圆圆心为。因为PA_L平面A8C,所以NP8A为直线PB与平面A8C所成角，即NP84 = 30，所以tan Z.PBA. = =又 AB = 2+，所以 PA = 2，所以 OQ=Lp4 = 1,AB 32设aA6c的外接圆半彳仝为凡则由正弦定理可得2/? = = WL = 4,解得R = 2，sin N

18、ACB sin 60则在Rt/OO,A中，（M = #+22 =石，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为4万x （石=20.故答案为：20【题组三斗笠模型】2（2021 黑龙江齐齐哈尔市高三二模（文）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为一乃的扇形，则该 3圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（)243128128八 256A.B.C.D.256243729729【答案】C2【解析】设圆锥的母线长为/，则展开后扇形的弧氏为一乃/,32再设圆锥的底面圆半径为，可得2不=%/,即/ = 3r,3圆锥的高为=户=J9r2 一户=2/2r-圆锥的体积为乂 =,兀+ x2垃r, 3圆锥外接球的体积=空仁， TO

19、C o 1-5 h z 332V2272 3兀 r28.该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为岛启-=前.故选：C.3272（2021 全国高三其他模拟（文）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球。的球面上，圆锥的母线长为3,侧面展开图的面积为3不，则球。的表面积等于（）81万817r121乃121 4A. B. C. D.【答案】A【解析】设底面半价为，圆锥母线为/ = 3，所以万 =3万尸=3%，所以厂=1，如图，A/WC是圆锥轴截面，外接圆。是球的大圆，。是圆锥底面的圆心， 设球半径为 R，则 AB = 3，BD = 1,所以 AD = Rab2_BD2 =71 = 20，如图 1, BOBDrO

20、D；即 N =1 +（AO-AD1 =l +（R-2亚，解得r = 2= 可得r =山丁圆锥的侧面展开图是半圆，则不/ = 21r，可得/ = 2r = 26，./z = 一产=3, 由圆锥的几何特征可知，圆锥的外接球心在圆锥的轴I:.,所以，|/z-R + r2=R2,解得r = 2,因此，该圆锥的外接球的表面积为4万N =16万.故选：B.（2021 河南高三月考（理）一圆台的两底面半径分别为2,4 ,高为4 ,则该圆台外接球的表面积为（48乃64兀C. 657rD. 687r【答案】C 【解析】设该圆台的外接球的球心为。，半径为小则 -4 +- 16 = 4或-4 = 4+- 16 ,解

21、得户=竽，所以该圆台的外接球的表面积为4万尸=651.故选：C.（2021淅江高三专题练习）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球。面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为行， TOC o 1-5 h z 面积为3万，则球。的表面积等于（）817r81/r121万121万A. B.C. D.8282【答案】A【解析】设圆锥母线为/，底面半径为，则 sin ZABC =， I 33I 39a r2R =产= 9v2sin ABC 2V24 ， R = -o3/T2 g.所以球衣面积为S = 4iR2 =4乃X一=.I 8 ) 8故选：A.A TOC o 1-5 h z （2021 天津南开区高三一模）已知一个圆

22、锥的底面半径为2,高为3,其体积大小等于某球的表面积 大小，则此球的体积是（）Sy/347rA. 46兀B,上巴乃C. 44D.33【答案】D解析设球的半径为/?.圆锥的体积为;%*22x3 = 4%,山丁球的体枳大小等于一某球的表面枳大小，则4%/?2=4乃，.R = 1，4, 4因此，该球的体积为V =-7X13= 一万,故选：p33327r7.（2021 天津高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为一二， 3两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）A. 3乃B. 4兀C. 9%D. 12%【答案】B【解析】如卜.图所示，设两个圆锥的底面圆圆心

23、为点.设圆锥AO和圆锥BD的高之比为3:1,即AD = 3BD,设球的半径为R,则生-=%工，可得R = 2,所以，AB = AD+BD4BD = 4, 33所以，BD = l, A = 3,CD LAB,则 NCA+ZACO = NBC+ZAC = 90，所以，NC40 = ZBC，又因为 NAC=N8C,所以，/ACD/CBD,u亡 I AD CDIr-所以，= T7 CD = VAD- BD = V3 *CD BD因此，这两个圆锥的体积之和为=故选：B.8 （2021 全国高三专题练习（理）设圆锥的顶点为A, BC为圆锥底面圆。的直径，点。为圆O上的一点（异于5、C）,若BC = 4也,

24、三棱锥A PBC的外接球表面积为64兀，则圆锥的体积为.【答案】24%或8万解析】设圆锥AO的外接球球心为M，则M在直线AO I .，设球M的半彳仝为，则47尸=64万，解得r = 4.由勾股定理得 82=。2+082, B|J 42 =（2 +OM2,可得QM = 2,即OM=|AO-r|=|AO-4 = 2,解得AO = 6或AO = 2.当AO = 6时,圆锥A。的体积为V =；4x（26了 x6 = 24%；当40 = 2时，圆锥4。的体积为丫=；%x（2百丫、2 = 8%.故答案为：8万或24%.【题组四L模型】1. （2021 宁夏银川市贺兰县景博中学高三二模（理）如图所示，在三棱

25、锥A88中，平面ACD_L 平面BCD, AACD是以C。为斜边的等腰宜角三角形，ABBC, AC = 2CB = 4,则该三棱锥的外接 球的表面积为（）.R /c40V10n 64 V2A. 32万B. 401C. 71D.兀33【答案】B解析设CD中点为M，连接40，因为AC。是以CO为斜边的等腰直角：角形，AC = 2CB = 4所以AM = DM = CM =2夜，AM 1 CD,过点M作MN人CD，因为平面ACD1平面BCD，平面ACD Q平面BCD = CD所以MNJ平面AC。，47_1_平面8。，所以.桢淮的外接球的球心在MN上，设外接球的半径为R，则由 ABLBC得48 = 2

26、石，由得BM=2 = BC，又因为 82 + 302 =c“2,所以aBCM为等腰直角三角形，设球心为0，CM中点为P，连接BP，则 MP = CP=BP = ，所以 OM =7r2-CM? =Sb2-PM。- BP -即卜_（2可=可一g,解得/?=加，所以：.棱锥的外接球的表面积为S = 4%R2 = 401.故选：B2（2021校徽高三月考（文）已知三棱锥P-ABC的每个顶点都在球0的球面上，平面ABC 1平面PBC ,ACA.BC，AC = 6, AB = 8, PC = PB = 2取则三棱锥PABC外接球的表面积为（50A.n353n3100 不D. 32万【答案】C【解析】如图所

27、示:取6c的中点，连接PH，则P”_LBC.因为aABC为直角三角形，所以其外接圆圆心为AB的中点M .设四面体PABC的外接球球心为。，则OM 平面ABC，易知点。，点P位于平面ABC同侧,又因为JL平面A8C，所以OM/PH，连接MH .。尸， 故四边形OMHP为直角梯形，过0作QV PH点N ,则四边形OMHN为矩形，连接OB , 设四面体PABC的外接球的半径为R，OM = d.在 aABC中，MH=-AC = 3, AB = S， 2所以 MB = 4，BC7AB2 -AC。=2.在OMB 中，d = OM ZoB，- MB，=依-4? = Jr. _6 ,所以店=/+16，在 aP

28、BC 中,PH = yJPC2-CH2 =429丫 一（2 = 7，在直角梯形。护中，ON = MH = 3、NH = OM=d , PN = 1-d.在PON 中，OP2=ON2 + NP2 ,即/?2=32+（7 .解组成的方程组，得d = 3，所以相=3? +16 = 25，解得R = 5 （负值舍去）.所以四面体Q48。的外接球的表面积5 = 4乃/?2 =4%x52 =100t.故选：C（2021 江西抚州市高三其他模拟（文）在三棱锥。 ABC中，平面A6C_L平面AB1AD，AB = AD4, ZACB = ,若三棱锥O-A8C的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为【答案】8

29、0乃【解析】设AAbC的外心为。 ,半径小 三棱锥O A5C的外接球球心0，半径R, 过。作AD的平行线，过。作AQ的平行线，两条直线交于E .面 ABCJ_ 面 A3，面 A6CD面 ABD=AB，AB1AD, ADu面/. AD 1平面ABC，又,平面ABC,：.OOJ/AD,则四边形AOEQ为矩形，而0。=。4，即。为EQ中点，即。口=2, c4/ r X在aABC中，由正弦定理得：sinZACB . n ,所以=4,sin 6 R2 =AO2 =r2+OO； =16 + 4 = 20,二 S = 4iR2 =807（2021 辽宁沈阳市高三三模）在四面体4及力中，BC。是边长为2的等边

30、三角形，是以 为斜边的等腰宜角三角形，平面A6D_L平面A6G则四面体4四的外接球的表面积为.【答案】6万【解析】因为ABD是以BO为斜边的等腰直角一角形，所以ZM_LAB，又因为平面AB）_L平面ABC，平面ABDc平面A8C = A8，八4u平面ABD，所以94,平面ABC, ACu平面A8C，,所以D4_LAC，所以DA = BA = CA =旦义2 =正，于是ABLAC，即D4, AB, AC两两垂直， 2以D4,AB,AC为棱构造正方体，正方体的外接球就是四面体ABC。的外接球，可得四面体ABC。的外接球半价R = g J（&）2+（& + （如 =乎，所以表面积为4乃收=6兀.故答

31、案为：67V.【题组五 矩形模型】 TOC o 1-5 h z 7T27r（2021 安徽合肥市高三三模（文）在三棱锥s ABC中，NSAC = 4SBC = , NACB = , 23AC=8C = 1.若三棱锥S-ABC的体积为1,则该三棱锥外接球的表面积为（）377rA. 13%B.C. 491D. 52万3【答案】D7T【解析】因为NSAC = 2SBC =不，所以 ASC和&BSC为以SC为斜边的宜角三角形，则SC的中点02到各个顶点的距离都相等，则O为外接球的球心.即SC为直径.过S做SJ_平面ABC，垂足为H，连结”8，HA,则 Vs-ABC =xSxxlxlx乎=1，解得：SH

32、 = 4/3 .71V AC=BC = ，NSAC = NSBC = , SC = SC，. NSACSBC,则 S4 = SB2A”, 3H分别为S4, SB在平面ABC内的射影，所以有A7/ =，又AC = BC，HC为公共边,所以VACmVBC，则N/C4 = /HC6,所以，在NABC的角平分线 上，ZHCA = 60，ACSA. AC1SH . SAHSH = S,所以有 AC_L 平面 S4 , Au 平面 S7M，则有 ACJ.H4， 因为 AC = 1，Z.HCA = 60 所以 CH=2,则 SC = dSH。+ CH? = 2万， 则/?=拒故外接球的表面枳为S = 4兀改

33、=521.故选：D.（2021 甘肃酒泉市高三三模（文）已知三棱锥A 8CD,A8 = 3,AO = L8C = 4,BO = 2j,当三棱锥A - 88的体积最大时，则外接球的表面积为.【答案】25乃【解析】A如图，在/XAB。中,J AB = 3,AD = 1, BD = 272 ,可得：AD2 + BD，= AB2，所以ABO为ri角三角形，由BC = 4，若要三棱锥A88的体积最大，则8C_L平面时：.棱镭A-8CZ）的体积最大，由A3。为直角三角形，所以ABO外接圆直径为AB，所以外接球直径2R = Jab2 + 8C2 =5, R = g，所以外接球的表面积5 = 4兀K= 257

34、，故答案为：25万（2021 江西南昌市高三二模（文）四面体 ABCD中，ZABC = ZBCD = 90, AB = BC = CD = 2, AD = 2yf3则该四面体的外接球表面积为.【答案】12兀【解析】由题意 ZABC = N8C）= 90。，AB = BC = CD = 2, ad = 2 日则 AC = 6O = 20，所以 452= 4。2, ABLBD-同理 AC_LCQ，取AO5点O，则。到AB,C。四点的距离相等，。即为ABC。外接球的球心，4 n l所以球半径为r = = 73,球表面积为S = 4乃r=12万.2故答案为：12万.【题组六怀表模型】（2021 江西赣

35、州市高三二模（文）如图，菱形ABCD的边长为6, BAD = ,将其沿着对角线8。折叠至直二面角A-8OC，连接AC,得到四面体ABC。，则此四面体的外接球的表面积为（【答案】D【解析】取BD的中点E，连接A、CE.CELBD.因为A3。、aCBO都是边长为6的等边三角形，且E为5。的中点，则AJ_BD，7T所以，二面角A80C的平面角为NAEC，且NAEC = 一, 2设尸、G分别为AB。、aCB。的外心，过点F作平面的垂线F0,过点G作平面。8。的垂线GO,设FOGO = O.易知 EF AE = x6sin = -J3，同理可得EG = /3 333-. AEVRD, AE1CE,。后0

36、8。=6，.A_L平面 CBO,.60_1平面。8。，；.4E60,同理可得0F7/CE,所以，四边形OGEF是边长为、回的正方形，BG =由正弦定理可得一装:三一-/.OB = y/OG2 + BG2 = V15 -.3因此，四面体ABC。的外接球的表面积为4ix（厉丫 =60万.故选：D.（2021 安徽高三月考（理）已知菱形ABC。的边长为4,对角线6。= 4,将A3。沿着8。折叠,使得二面角A8D-C为120。，则三棱锥A 8CO的外接球的表面积为.【答案】112万3【解析】如图所示;将ABO沿3D折起后，取中点为E，连接AE，CE，则A_L8D，CELBD，所以NAEC即为二面角A%

37、）一C的平面角，所以NAEC = 120：A5D j ABCD是边长为4的等边.角形.分别记三角形48。与BCD的用心为G、F ,则 EG =，EA =亚，EF = -EC = ;即 EF = G； 3333因为/XABD与4BCD都是边长为4的等边:角形，所以点G是ABD的外心，点F是4BCD的外心；记该几何体A8CD的外接球球心为。，连接OF，OG，根据球的性质，可得OF_L平面BCD，OG1平面曲，所以aOGE与OF都是直角:角形，为公共边，所以 RAOGE 与 RtOFE 全等，因此 NOEG = AOEF = -ZAEC = 60 ,2所以。 =生5：3因为AELBD，CE1BD,

38、AEI CE = E,且4u平面AEC, CEu平面AEC,所以8D_L平面AC；又OEu平面AC,所以BD上OE.连接OB.则外接球半径OB = JOE2 + BE2IIO TT所以外接球表面积为.故答案为：.33【题组七其他模型外接球】（2021 全国高三其他模拟）在四面体ABC。中，AC=BD = 2, AD= BC = 5 AB = CD =, 则其外接球的表面积为.【答案】8%【解析】如图所示，将该四面体补成长方体，设该长方体的长、宽、高分别为b，c,c2 + a2 =7,ja2 +b2 =2,则“户+。2 =卮解得a1 +b2 =4,b2 +c2 = 5,所以 a? + /? +

39、/ = 8，即 a2 +b2 +c2 = 2JE 1从而其外接球的半径为& .其外接球的衣面积为4/rx（&=8）.故答案为：8万.（2021 贵州高三期末（理）在三棱锥S-A8C中，NSBA = NSC4 = 90,底面ABC是等边三角形,三棱锥S-ABC的体积为力，则三棱锥S-ABC的外接球表面积的最小值是（）A. 121B. 24乃C. 6兀D. 10乃【答案】A【解析】设三棱锥外接球的球心为0,三棱锥底面边上和岛分别为。，/i.底面ABC的外接圆半径为r,则 r = a -3由题意可知SA是二棱锥S ABC的外接球的一条直径，则匕abc=1x曰/力=百，即/% = i2.设三棱锥S -

40、 ABC的外接球半径为R .球心到底面ABC的距离为d = .则2/?2 = r2+6/2=-a2+l/l2=- + - = - + - + -3. 34 h 4 h h 4故：.棱锥S-ABC的外接球表面积为4乃收212乃.故选:A.（2021 安徽安庆市安庆一中高三三模（文）已知球。的半径为此A, B, C三点在球。的球面上，球心。到平面ABC的距离为AB = AC = 3, ZBAC = 120.则球。的表面积为（）2A. 48万B. 16万C. 647rD. 36%【答案】A【解析】ABC中，AB = AC = 3, N8AC = 120。，二平面A8C截球所得圆的半径（即aABC的外

41、接圆半径）为r = 3乂 球心到平面ABC的距离d =A，2球 0的半径 1 = ,9 + ；/?2 ,解得r2=12，故球。的表面枳S = 4%改=48万.故选：A.（2021 黑龙江大庆市铁人中学高三一模（文）已知四面体A8CO中，ZaW = 60, ZBCD = 90，AB = AD = 2,，是B的中点，CH 1BD, NAHC = 120。，则四面体的外接球的表面积为（）如图，四面体A8CQ的外接球为球0,连接O”. 0A.因为ZBC）= 90，则BD为6DC所在小圆的直彳仝.又因为 44 = 60。，且 AB = AO = 2,则 3） = 2.又”是5。的中点，所以A”=百.又因

42、为 NAHC = 120，则 NA/7O = 150 或 30 .设球的半径为R，则R2 = 1 .在aAHO中.由余弦定理知,cos 150 = -& OW2+(a/3)2-/?22 - 2xOHxj32则OH = 一一（不合题意*舍去）. 3,、h OH2+(G)2-r2“。手2小则夫2一3 = 1,解得R=恒，则球的表面积为“乃. 939故选：D（2021 云南红河哈尼族彝族自治州高三三模（理）在棱长为8的正方体ABC。-A,gG。中，p为棱。上一点，且P到GA的距离与到AC的距离相等，则四面体PAC。的外接球的表面积为（）A. 1284B. 132 1C. 133 1D. 164 乃【

43、答案】B【解析】连接BD交AC于点。，连接如、PC、PO、PB.如卜一图所示，在正方体ABC。AqG。中，四边形488为正方形，且则。为AC的中点，因为24 =尸。，所以POJ_AC.设尸）= x,则 P=8-X,易知OO = ；AC = 40 , PO = yjpD2 +OD2 = Vx2 +32 （/ PDt 1 qo,由已知可得尸。=尸。，可得8% =+32,解得尤=2，将三棱锥?一 AC。补成长方体QMNP-ABCD,设三棱锥PAC。的外接球半径为火，则2R = PB =五+8? +8? = 2而，则/?=庖，因此，三棱锥PAC。的外接球的表面积为S = 4i/?2 =132人故选：B

44、.（2021 辽宁丹东市高三二模）球。的两个相互垂直的截面圆。与。2的公共弦A3的长度为2,若QA8是直角三角形，。248是等边三角形，则球。的表面积为（）A.B. 12兀C. 16兀D. 20n【答案】D解析】如图，过。2作直线12 -1平面AO2B，过。1作直线4 -L平面，则与12相交J 0，。即为球心，连接AO，则A。为该球的半径，取AB的中点C ,连接。,。夕，因为048是直角三角形，AB = 2.所以 qC =（AB = l,因为OzAB是等边三角形，所以。2。2.4氏。24 = 45 = 2,因为平面02AB JL平面O.AB ,平面O2AB Q平面OtAB = AB ,所以。2

45、。，平面QAB,所以OzCLQC,因为Q。，平面GAB,所以。2。，同理O?OO|C,所以四边形。2为矩形， 所以。2=0。= 1, 因为。O2 J_平面,所以OO2 1 O2A , 所以。4 = OO； +0收=Vl2+22 =石, 所以球的表面积为4lx（石=207，故选：DO2Q（2021 山东高三其他模拟）如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，其所有顶点都 在球。的球面上，若十四面体的棱长为1,则球。的表面积为（）A. 2万B. 47rC. 6兀D. 8%【答案】B【解析】根据图形可知，该十四面体是由一个正方体切去八个角得到的，如图所示,十四面体的外接球球心与正方体的外接

46、球球心相同, 建立空间直角坐标系，.该十四面体的棱长为1,故正方体的棱长为J5,.该正方体的外接球球心的坐标为oT,V,V设十四面体上一点为。，则所以十四面体的外接球半径r = 0D =+ u2 J22)2)故外接球的表面积为S = 4/rR2 4%.故选：B.7T8.（2021 湖南高三月考）已知三棱锥产一ABC的四个顶点都在半径为H的球面上，且NBAC = 1, BC = 2,若三棱锥P-ABC体积的最大值为立R,则该球的表面积为（）2647rA.9321八6416兀B.C.D.9279【答案】A【解析】如图,ABC外接圆的半径为=毡，当aABC为正三角形（aAbC的面积最大） 2 sin

47、 ZBAC 3ILP.。，。1 ：点共线时，三棱锥的体积最大.因为展8cqs3c（r+ooJ = （r+ooJ = r,所以OQ|=.Z 厂、/在放OQA中，由/?2=oo：+ 2 ，得犬2=匹 故该球的表面积为随 （ 3 J99故选：A.p【题组八内切球】（2021 河南高三（文）已知球。是棱长为24的正四面体A8CD的内切球，球。与球。外切且与正四面体的三个侧面都相切，则球。1的表面积为（）A. 24兀【答案】AB. 12718兀6兀【解析】如图，设球。的半森为R，球。半:径为，由正四面体的性质，取CO中点E，连接AG 是棱锥的高，且与两球分别切于点打,尸，AO交BE于G，则AG与底面垂直

48、,G是底面中心.与正四面体棱长为。，则GE =, AE = -a 3 262 7在AABE中，AG = yjAE2-GE2 = .3由 AAOF AAEGx/6V6a CO, = x - =a”61 2 sin 6003所以 OC2 = R： =+,45 2A o 247rxa4万619 尸.，外接球与内切球衣面积之比为至声=萤一= 5:1,故选：（,14 乃 x（ a）2（2021 广东高二月考）设球。内切于正三棱柱ABC A用G，则球。的体积与正三棱柱 的体积的比值为.【答案】27 TOC o 1-5 h z （解析设球半彳仝为4,正二棱柱ABC一 A耳G的底面边长为a,则/上立X q =

49、立a,即2 0凡 3 26又正三棱柱ABC -48cl的高为2彳，士兀R3士乃於所以球。的体积与正三棱柱ABC-A81G的体积的比值为-7/= 丁1= 2” HYPERLINK l bookmark48 o Current Document a2x2R x2R2x2R2744故答案为：2叵27（2021 广东）已知球。是棱长为2的正方体ABCQ-AqGQ的内切球，球。2 （在正方体ABCQ-ABCiR内部）与平面A8CD,平面和平面AOAA都相切，并且与球。相切，则球。i 与球。2的半径之比为.【答案】2 +百（解析】球O,的半彳仝为1,设球02的半彳仝为r,则有（1 + r）2-（l- r）

50、2 =（V2-x/2r）2,解得r = 2-石，所以球。|与球。2的半径之比为武石= 2 + 6.故答案为：2 + 6（2021 重庆一中高三月考）已知有两个半径为2的球记为。 , 02,两个半径为3的球记为。3,。这四个球彼此相外切，现有一个球。与这四个球。1,。2，。3，。口都相内切，则球。的表面积为【答案】144不【解析】如图，由题可得。2 =4,。|。3 =。4 =。2。3 =。2。4 =5,。34=6,取。2 中点 M，。3。4 中点 N，连接MN,ON,O2N,OM,.N ,则 go? ! O3M,O,O2 04M ,O.M c 0*M =M , qq 1 中面 M0.04 , 同理可证qoj乎mno., 又平面MQQ n平面NO02 =MN ,球心。在MN I二，设球半径为R，则 oq =/?-2。4 = R 3,. O2O4 = 5,0&N = 3 , O2N = 4 ,MN = ylO2N2-O2M2 =26 M0 = J* -mo： = R_2)2-22 ,NO = JOO： -NO： = yl(R-3)2-32，J(J-2)2-4 + J(J-3)2-9 = 2G，解得R = 6,则球。的表面积为4万x6? =144万.故答案为：144%.（2021 赣州市第一中学高二开学考试）正方体