26第一类曲线曲面积分续

1、多元函数积分学第八章曲线积分与曲面积分(续)上次课介绍了第一类曲线积分的定义、 第一类曲线积分的计算方法以及第一类曲面积分的定义。从定义可以看出第一类曲线、曲面积分实际上 是定积分的推广。nf (x, y)ds= lim f( , i) SiL0 i =1n.f (x, y,z)ds = lim % (；,；)：与l，0 i =1若函数f(x,y)在曲线弧L上连续，L参数方程为x = x(t)j = y(t)其中x(t), y(t)亡Ca，打，且x(t)与y(t)不同时为零.f(x,y)ds= _ fx(t),y(t) x-2(t) y-2(t)dtL上面公式表明，计算对弧长的曲线积分f (x

2、, y)ds只须依次将Lx = x(t), y = y(t),ds = vx2 (t) + y2 (t)dt 代入到积分中对其从二到。求 定积分即可(这里积分下限始终小于上限).多元函数积分学积分曲线为空间曲线的情形时有f(x,y,z)ds v. fx(t),y(t),z(t) x12(t) y12(t) z12(t)dt L-计算下列第一类曲线积分P186 2(4)(8)(4)qy|ds,为球面x2 + y2 + z2 = 2与平面x= y的交线 r解 将 x = y 代入 x2 + y2 + z2 = 2得2x2 + z2 = 2令 x = cost 则 y = cost, z = J2

3、sin t , 0 w t 三 2n2：22| y|ds = |cost | 2cos2 2sin2tdt =4 2: 0(7) fPrj；uds ,为曲线 x = 2t+1, y = t2, z = t3+1 上相应于 t从 0 r变到1的一段弧，七为上的切向量，指向参数增加的方向，-r+-ku = zi xj yk解一=(x(t),y(t),z(t) = (2,2t,3t2),. - u 2z 2tx 3t2y Prj u 二多元函数积分学i3t42t3 4t2 2t 204 4t2 9t44 4t2 9t4dt-t424 32-t3t23、1+ 2to16330二 f22(8) q-ds

4、, L为椭圆周2x2 + y =1, n为L的外法向量， l ；：nf(x,y) = (x-2)2 y2解 记F(x,y) = 2x2+y2 -1,则L的外法线方向向量为n = (Fx(x, y), Fy(x, y) = (4x,2y) = 2(2x, y)格什叶门* o- -(2x, y) 2xy单位法向里为 en _ J_,:4x2 十 y2、%/4x2 + y2 N4x2 + y2f = (f - 4x(x-2)2y2；n X，y4x2 y24x2 y2L的参数方程为:x=3cost,y=sint, 20MtM 2二ds 二、2sintJ,4x2 y2 = 2 cos21 sin21多元

5、函数积分学2二 142 +0 -2 ：2 cos tcost - 2 + 2sin2t-idt1-21-2(2t-4.2sint)=2 2广(2cos21 - 472cost + 2sin2t)dt第一类曲面积分定义f(x,y,z)dS = limj f(；,3S0i=i数量值函数在曲面上的积分又称为第一类曲面积分.可以证明，如果函数f (x,y,z)在工上连续，则第一类曲面积分一定存在.如果积分曲面工为封闭曲面，习惯上写成 中f (x,y, z)dS .同样第一类曲面积分具有线性性质以及关于积分曲面具有可加性.、第一类曲面积分的计算第一类曲面积分可以化为二重积分来计算.设曲面工方程为z =

6、z(x, y),该曲面在xOy面上的投影区域为Dxy,函数f (x, y, z)在工上连续，则多元函数积分学22 ，f (x,y,z)dS= fx,y,z(x, y) 1 zx(x,y) Zy(x,y)ck三Dxy下面解释一下上面公式.由于(x, y,z)在工上取值，所以被积函数中z用x, y表示，被积函 数成为f x, y, z(x, y),而曲面面积元素，由二重积分应用可知dS =，1 + z2(x, y) - z：(x, y)d同样，如果积分曲面由x = x(y, z)或y = y(x, z)表示.也有类似的计 算公式.例1计算曲面积分 仃1 dS ,其中工是x2 + y2 + z2 =

7、 a2夹在平面 三zz = h (0ha)与平面z = a之间的一部分.解 工的方程为 z = a2 - x2 - y2 , (x, vA Dxy)这里Dxv为投影区域x2 + y2 w a2 - h2. xydS = 1 + z2 + zjd。= / 2，2 d。a - x - y于是有多元函数积分学dS =D xy2 二,a2-h2rdr12-2ln(aa2 *22- a-r2)= 2- alnh例2计算科zdS,其中工是由圆柱面x2 + y2-1,平面z = 1 + x所围立体的表面.解 工由顶面工1、底面工2和侧面工3构成，见下图I6多元函数积分学22.对于 i1,万程为 z = 1

8、+ x, (x, y)u x + y 1.jjzdS=Jj(1 + x)，1 + zx +zjd 仃=jh；5(1 + x)d。x2 yy21x2 yy2 三 1一 2二1=J2 0 de 10(1 + rcosH)rdr = J2n .对于工2，zdS=H0dS = 0.12对于工3,被zOx面分为两块，它们的方程分别为y = 71 - x2 和y = -1 - x2 ,它们在xOz面上的投影区域均为Dxz,用不等式组表示为 xz1 x1并且都有dS =于是一一 1.! ! zdS =2 ! ! z 2 d ；-13Dxz 1 - x11 x1dx0z7=7dz1 x=1(1 x)2dxTx

9、2于是 zdS = 2二J2 + 32)多元函数积分学三、数值函数在几何形体上的积分及其物理应用综述从已经学过的积分的定义来看，研究的都是数值函数，并且都是通过： 分割几何形体，求函数值与小几何形的度量的乘积，求乘积之和，取极限.于是以前学过的几种积分的定义可以统一叙述如下定义 设J是一个几何形体(它可以是直线段、平面区域、空间区域、 曲线、曲面)，f (M )是J上的有界数量值函数.将几何形体任意分成若 干个小几何形体，j,，2n ,并把AJi的度量记为Ami(i =1,2,，n)(它是长度、面积、或为体积).在每一 Ji中任取一点Mi， 作和式n工f (M。出(M j乏M )i 1并记九=

10、 maxAJj的最大直径,如果当九t 0时，这和的极限总存在，则称此极限值为函数f (M )在几何形体J上积分，记作f f (M )dm,即 j nf f (M )dm = lim f (M ipimi . j，在此定义下，当J分别为区间a, b、平面区域D、空间区域V、 曲线L、曲面工时，f (M )dm分别表示如下的积分：多元函数积分学bf f (x)dx , 口 f (x, y)dxdy ,m f (x, y, z)dxdydz a TOC o 1-5 h z DVf (x,y,z)ds, f (x, y,z)dSL三对于数值函数的物理应用，无论 J是哪种形体，都有如下公式J的质量 M (J)=P(M )dmjx：dmy：dmzdmJ的质心坐标 x = J, y = J, z = J:dm：dm:dmjjjJ绕x轴、y轴、z轴和坐标原点O的转动惯量Ix=1(y2+z2)Pdm, Iy=J(x2+z2)Pdm,jjI z 二(x2 y2) ;?dm , IO = . (x2 y2 z2) :dmjjJ对于J以外一点M 0(x0, y0, z0)处单位质