新高考数学二轮专题《立体几何》第11讲 非常规空间几何体为载体（解析版）

1、第11讲 非常规空间几何体为载体一选择题（共1小题） 1如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点，则二面角的大小的正弦值为ABCD【解答】解：如图，连接，过在平面上作于，连接，由三垂线定理，是二面角的平面角，所以在中，故选：二解答题（共19小题）2如图，是圆的直径，圆所在的平面，是圆上的点（）求证：平面平面；（）若，求二面角的大小【解答】（）证明：圆所在的平面，是圆的直径，且是圆上的点，又，平面，而平面，平面平面；（）由（）知，平面，为二面角的平面角，在中，3如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆0上异于，的点，（1）求证：平面；（2）设，分别为，的中点，问：对于线

2、段上的任一点，是否都有平面？并说明理由【解答】（1）证明：因为圆所在的平面，平面，所以可得，因为是圆上的点，是圆的直径，所以由直径对的圆周角等于，可得再由，利用直线和平面垂直的判定定理可得平面；（2）对于线段上的任一点，都有平面证明如下：连接，则因为，分别为，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为是的中位线，所以有，因为平面，平面，所以平面而和是平面内的两条相交直线，故平面平面又平面，所以平面4如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且，（）若为线段的中点，求证：平面；（）求三棱锥体积的最大值；（）若，点在线段上，求的最小值【解答】解：（）在中，因为，为的中点，所以，又

3、垂直于圆所在的平面，所以，因为，所以平面（）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为1，又，所以面积的最大值为，又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为：（）在中，所以，同理，所以，在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示，当，共线时，取得最小值，又因为，所以垂直平分，即为中点从而亦即的最小值为：5如图所示，是圆的直径，点是圆上异于、的点，垂直于圆所在平面，且（1）为线段的中点，求证：平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求异面直线与所成的角【解答】（1）证明：在中，为的中点，又垂直于圆所在的平面，平面；（2）解：点在圆上，当时，到的距离最大，此时的面积最大，则三棱锥的体积

4、最大，以为原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，则，0，1，0，与的夹角为，则异面直线与所成的角为6如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且为线段的中点，（）求证：平面平面；（）若点在线段上，且，求三棱锥体积的最大值【解答】（）证明：在中，因为，为的中点，所以，又垂直于圆所在的平面，所以；又，所以平面；又平面，所以平面平面；（）由，则，所以；又点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为6；又，所以面积的最大值为；又三棱锥的高为，所以三棱锥体积的最大值为；综上知，三棱锥体积的最大值为7如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的

5、，是弧的四等分点，且靠近 （1）设是上的一点，且，求的大小；（2）当，时，求二面角的余弦值的大小【解答】解：（1），平面，平面，（2）以为坐标原点，过点作，与交于点，分别以、所在的直线为，轴，建立空间直角坐标系，由题意得，0，0，1，0，1，设，是平面的一个法向量，则，取，得，设，是平面的一个法向量，则，取，得，二面角的余弦值为8如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的， （1）设是上一点，且，若中点为，求证：平面平面；（2）若，为上的一点，且，求二面角的余弦值【解答】证明：（1）由矩形知，由，及，平面，面，由平面，知，由，知，由，知是等边三角形，由为中

6、点，得，由平面，知，由，平面，得平面，由平面，得平面平面解：（2）二面角可以分割为二面角和二面角，二面角的平面角为，过作的垂线交于，过作的垂线交于，则二面角的平面角为，设，则，二面角的余弦值为9如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值【解答】证明：（）取的中点，连结，为的中点，在四边形中，为中点，平面平面，平面，平面解：（）连结，过作于，连结，推导出四边形为矩形，平面，又，平面，设，由，得，又平面，平面，即点到平面的距离为，到平面的距离应该和平行且相等，为，为中点，到平面的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，到平面的距离为，在，由余

7、弦定理得，设直线与平面所成角为，则10如图，在平行六面体中，平面，且，（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值【解答】解：在平面内，过作，平面，、平面，以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，0，1，2，0，（1）异面直线与所成角的余弦值为；（2）设平面的一个法向量为，由，得，取，得；取平面的一个法向量为二面角的余弦值为，则二面角的正弦值为11在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆直径，是圆台的一条母线（1）已知，分别为，的中点，求证：面；（2）已知，求二面角的余弦值【解答】（1）证明：设的中点为，由三角形中位线定理可得，面面，则面；（2）解：连接，则

8、平面，又，且是圆的直径，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系方向为轴，方向为轴，方向为轴，如图，由题意得：，2，0，过点作于点，故，1，故，设是平面的一个法向量，则，取，则，又平面的一个法向量，故，二面角的余弦值为12如图，已知圆柱内有一个三棱锥，为圆柱的一条母线，为下底面圆的直径，（）在圆柱的上底面圆内是否存在一点，使得平面？证明你的结论（）设点为棱的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【解答】解：（）当点为上底面圆的圆心时，平面证明如下：如图，取上底面圆的圆心为，连接，则，所以四边形为平行四边形，所以，所以又，所以四边形为平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面故点为上底面圆的圆心

9、时，平面（）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系于是可得，0，0，2，0，1，所以，设平面的一个法向量为，由，得令，则可取取平面的一个法向量为设平面与平面所成的锐二面角为，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为13如图，已知圆柱内有一个三棱锥，为圆柱的一条母线，为下底面圆的直径，（）在圆柱的上底面圆内是否存在一点，使得平面？证明你的结论（）设点为棱的中点，求四棱锥体积的最大值【解答】解：（）当点为上底面圆的圆心时，平面证明如下：如图，取上底面圆的圆心为，连接，则，所以四边形为平行四边形，所以，所以又，所以四边形为平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面故点为上底面圆的圆心时，平面（）在底面圆

10、中，由得，当且仅当时等号成立，所以四棱锥体积的最大值为14如图，在三棱台中，分别为，的中点（）求证：平面；（）若平面，求平面与平面所成的角（锐角）的大小【解答】解：（）证明：根据已知条件，；，又，四边形为平行四边形；，平面，平面；平面；同样，因为为中位线，；又；平面，；平面平面，平面；平面；（）连接，则；平面；平面，并且；，三直线两两垂直，分别以这三直线为，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则：，0，1，0，0，；连接，根据已知条件，为中点；又平面，平面；，；平面；向量为平面的法向量；设平面的法向量为，则：，取，则：；设平面和平面所成的锐二面角为，则：；平面与平面所成的角为15如图，在四棱柱

11、中，侧棱底面，且点和分别为和的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长【解答】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，0，1，0，0，1，0，又因为，分别为和的中点，得，可得，0，为平面的法向量，由此可得，又因为直线平面，所以平面（2）解：，0，设，为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，1，设，为平面的法向量，又，1，则，得，不妨设，可得，因此有，即平面与平面的夹角的余弦值为（3）解：依题意，可设，其中，则，从而，又，0，为平面的法向量，由已知直线和平面的夹角的正弦值为，得，整理得，又因为，解得，所以

12、，线段的长为16如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点（）求证：；（）求二面角的余弦值；（）若直线与平面所成的角的正弦值为，求实数的值【解答】证明：（）为等边三角形，为的中点，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，（）取的中点，连接，则，以为原点，分别以、为坐标轴建立空间直角坐标系，则，0，0，0，设平面的一个法向量，则，令，得，1，平面的一个法向量为，由二面角为钝二面角，二面角的余弦值为（），解得17如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点（）求证：（）求二面角的余弦值；（）若平面，求的值【解答】证明：（）为等边三角形，为的中点，平面平面，平面，平面（）取的中点，连

13、接，是等腰梯形，由（）知平面，平面，建立如图的空间坐标系，则，则，0，0，0，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，平面的法向量为，则即二面角的余弦值为；（）若平面，则，即，解得18如图，在四棱锥中，平面平面，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）设，是否存在实数使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由【解答】（1）证明：平面平面，且平面平面，且，平面，平面，平面，又，且，平面（2）解：取中点为，连接，又，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则，0，1，0，则，1，0，设，为平面的法向量，则，取，得，设与平面的夹角为，则直线与平面所成角的正弦值为：（3）解：设，假设存

14、在实数使得平面，由（2）知，1，0，1，由，可得，平面，为平面的法向量，解得综上，存在实数，使得平面19如图，四边形是平行四边形，平面平面，为的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求点到平面的距离【解答】证明：（1）取的中点，连接，在中，因为是的中点，所以且，（1分）因为，所以且，（2分）所以四边形是平行四边形，所以，（3分）又平面，平面，所以平面（4分）（2）在中，由余弦定理得，（5分）因为，所以（6分）因为平面平面，平面，平面平面，所以平面（7分）解：（3）解法1：由（1）平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，（8分）设点到平面的距离为，过作，交的延长线于，则平面，所以是三棱锥的高（9分）由余弦定理可得，所以，（10分），因为，（11分）即，解得所以点到平面的距离为（12分）解法2：因为，且，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的，（8分）由（2）平面因为平面，所以平面平面过点作于点，又因为平面平面，故平面所以为点到平面的距离（9分）在中，由余弦定理可得所以，（10分）因此，（11分）所以点到平面的距离为（12分）20已知：平行四边形中，平面平面，为等边三