数的整除特征

1、数的整除特征学问概要数的整除特征具有较强的实际意义，常用的数的整除特征如下：1、能被2整除数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的数能被2整除。2、能被5整除的数的特征：个位数字是0和5的数能被5整除。3、能被3 （或9）整除的数的特征：各位数字和能被3 （或9）整除。这个数能被3 （或9） 整除。4、能被4 （或25）整除的数的特征：末两位数能被4 （或25）整除。5、能被8 （或125）整除的数的特征：末三位数能被8 （或125）整除。6、能被7 （或11或13）整除的数的特征：末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大 减小）能被7 （或11或13）整除八7、能被11整除的数的特征：奇

2、数位数字和与偶数位数字和的差（大减小）能被11整除。例题解评例1、假如六位数12x40y能被72整除，试求此六位数。思路点拨：由于六位数12x40y是72的倍数，且72=9x8 ,所以12x40y既是8的倍数又是 9的倍数。据能被8整除的数的特征，知40y是8的倍数。（1）当y=O 口寸，依据1+2 + x+4是9的倍数，且gxg9可得x=2（2）当y=8时，依据l+2 + x+4+8是9的倍数，且gxS9可得x=3 所以所求的六位数是122400或123408。例2、一个四位数，减去它的各位数字之和，其差还是一个四位数603A，试求出A。思路点拨：设这个四位数为abed ,那么abcd=10

3、00 xa+100 xb+10 xc + d,它的各位数字之和为 a+b+c+d。于是有：abed- （a+b+c+d）= 1000 xa+ 100 xb+ lOxcxd （a+b+c+d）=999xa+99xb + 9xc=9x （lllxa+llxb+c）.这说明“一个自然数减去它的各位数字之和后，所得之差肯定是9的倍数，”由这个差等 于603A ,由此就可求出A来。即：一个自然数减去它的各位数字之和后，所得之差肯定是9的倍数，所以是9的倍数。依据能 被9整除的数的特征，6+0+3 + A=9 + A应是9的倍数，可见。可取。或9。例3、假如六位数（）5993（）能被33整除，这个六位数是

4、和。思路点拨：由于33=3x11,所以这个六位数能被3整除，有能被11整除。一个数各位各位数字之和能被3整除，这个数能被3整除；一个数奇数位上数字之和与 偶数位上数字之和的差能被II整除，这个数就能被11整除。综合考虑上面两条，可知这个 六位数是：154935, 454938答：这个六位数是154935、454938 o例4、 假如六位数1992能被105整除，那么，它的最终两位数是几？思路点拨：我们可以换一个思维方式，由于该数介于99200199299之间。设该数位199299, 而199299X05=18989,所以199299-9=199290能被1。5整除，可见最终两位数是90。例5、

5、在口内填上合适的数，使六位数口1998能被56整除。思路点拨：由于56可以分解成7与8的成果，所以，要使能被56整除，就应让它能分别被 7和8整除。先考虑它怎样才能被8整除：一个数的末三位数能被8整除。这个数就能被8因此，四位数ACD是986或4689。. 一个六位数的各位数字都不相同，最左边一个数字是3,且此六位数能被11整除。这 样的六位数中的最小的数是多少？解答：依题意，设所求的六位数为30124a,由于六位数30124a能被11整除，所以(a+2) - (4+1+3)=a-6应是11的倍数。故a=6。因此，所求的最小六位数是301246。.五位数abcde能被6整除，那么2x(a+b+

6、c+d)e也能被6整除。请说明道理。解答：由于abcde能被6整除，所以它能分别被2和3整除，故e为2的倍数,a+b+c+d+e 是 3 的倍数。由于 2x (a+b+c+d) e=2x (a+b+c+d+e) 3e,而 2x (a+b+c+d+e)、3e 者B 能被6整除，所以2x (a+b+c+d) e能被6整除。.某数乘以7后，乘积的最终三位数是173,那么这样的整数中最小的是多少？解答：设这个数为N,乘积为A173,依据题意Nx7=A173,现要求N最小，即使A173 为最小，A应是多少呢？可以从最小的数试起。假设A=l, 1173不能被7整除，舍去；同理当A=2, 3, 4时，A17

7、3都不能被7整除，舍去。当A=5时，5173被7整除,所以N最小数为5173:7=739。设这个数为N,由题设7xN=A173,即7 I A173,由(6)可知所求最小的A满意7 I 173-A,或7I5-A,明显当A=5时即7xN=5173时N最小,最小值为739。答：这样的整数中最小者为739。.从1到9这九个数字中排出8个数字，组成能被12整除的八位数，这样的八位数中， 最大和最小的各是多少？解答：能被12整除的数必能被3和4整除，能被3整除的数，其数字之和必能被3整 除，由于1+2+3+.+8+9=45能被3整除，因此去掉3、6、9中的任一个所剩下的8个数组 成的八位数肯定是3的倍数，

8、要使八位数最大，应去掉数字3,并使高位的数尽可能大，兼 顾末两位数被4整除的条件。最大八位数为98765412；不难知道最小的八位数为12345768。答：所求的最大数为98765412,最小数为12345768。.下面这二百零一位数111口222 (其中1和2各有100个)能被13整除，那么中间 方格内应填什么数？解答被13整除，而100=6x16+4,故原来被13整除的算式即变为13 I 1111d2222； 再依据(6)还可变为13 I 333-1口2,经试算即可知方格应填1。答：方格内应填上1。.试求出全部满意下述条件的两位数，当它们分别乘以数字2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9、 9时 其积的数字之和均不变。解答：由于所求的两位数乘以9后数字之和不变，可知其数字之和是9的倍数，这样的 数字只有10个：18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99；对每一个数字进行检验，结 果只有18, 45, 90和99满意题目要求。答：数字18, 45, 90, 99满意题设要求。.传奇从前有个巧匠叫布克，该国的国王久闻其名。有一次，国王想考一考布克，看看他 是否真的很聪明。于是他把布克叫到宫中，出了这样一道难题考他：“你给我锯一根长方体 木料，这根木料的相邻两个面的面积是108平方分米和32平方分米，长、宽、高都是整分 米数且长度均不为1分米，假如把

10、它锯成假设干个小木块，那么锯得的小方块必需能拚成一个 大正方体。请你回答我要你锯的这根木料的长、宽、高各是多少？这根木料最少能锯成几个 大小相同的小方块？要锯几次？这些小木块拼成的大正方体棱长是多少？ ”布克不愧为一个 巧匠，面对国王连珠炮般的提问，他镇静镇静地作了正确的回答，国王兴犹未尽，连续问到: “假如我现在有一批这样的长方体木料，要堆成一个正方体的实心木垛，这样的木料至少有 儿根？有多高？”布克又圆满地回答了国王的提问，这位贤明的国王对布克大为赞扬，重重 地奖赏了他。小读者，如你是布克，你能正确回答吗？解答：由于相邻两个面有一条公共边，所以这条公共边的长是108、32的公约数，这个 公

11、约数是1、2或4； 1不合题意，不考虑，当公共边为2分米时，长方体的长、宽、高中另 两条是54分米，16分米；当公共边长4分米时，另两条是27分米，8分米。由于把这个长方体锯开后要拼成一个大正方体，所以长方体体积等于正方体体积。尝试 两种状况：54x16x2 = 2x3x3x3x2x2x2x2x2= （2x2x3） x （2x2x3） x （2x2x3） =12327x8x4 = 3x3x3x2x2x2x2x2=2x3x2x3x2x3x2x2由于正方体的体积是棱长的立方，所以把它的体积分解质因数必可得到三组相同的质因 数，第一种状况满意这一条件。其次种状况无法满意。所以长方体的长、宽、高分别是

12、54分米、16分米，2分米。拼得的正方体棱长为12 分米，锯成的小正方体的棱长应是54、16、2的公约数，要求块数最少那么小正方体棱长最大, 最大公约数为2分米，那么长方体的长分27块，宽8块，高不必锯，共锯的次数为（271） + （8-1） =33 （次）。要堆成实心的正方体木垛，这个正方体的棱长应是长、宽、高的公倍数，块数最少那么正 方体棱长最小，最小公倍数为432分米，堆一垛至少要432x432x432： （54x16x2） =46656 （块）,高为43.2米。这道题综合了最大公约数，分解质因数，立方数的特征，最小公倍数的学问，在解题中 要正确选择毕竟应用何种学问解决问题。.父亲给小明

13、出了这样一道题：“在一间屋子里，有一百盏电灯排成一行，按从左到右的 挨次，编上号码1, 2, 3, 4, 5,.，99, 100o每盏电灯上有一个拉线开关，开头时，全 部的灯都关着，有100个同学在外排队，第1个同学进来，把是1倍数的灯都拉了一下（即 把全部的灯拉亮了）。第2个同学进来，把编号是2倍数的灯又拉了一下（即把第2, 4, 6, 8,98, 100盏灯又拉灭了）。第3个同学进来，把是3倍数的灯又拉了一下，,第100个人进来，把第100号灯拉了一下，想一想，第100个人拉了以后，还有多少盏灯是亮 着的？ ”这下可把小明忙坏了，他在一张大大的纸上，画出全部的电灯，又是打又是画 好久没能解

14、出来，莫非就没有更好的方法了吗？小明犯了难。小读者，你有好方法教 小明吗？解答：到最终一个为止，拉了奇数次的灯是亮着的，拉了偶数次的灯是熄灭的。拉了奇数次 的灯的号码应当有奇数个约数，拉了偶数次的灯的号码应当有偶数个约数。哪些数有奇数个 约数呢？ 1的约数只有1, 4的约数有1, 2, 4, 4 = 2x2=22, 9的约数是1, 3, 9, 9=3x3 = 32, 16的约数有1, 2, 4, 8, 16, 16=2x2x2x2 = 24,我们看到完全平方数的约 数有奇数个约数。由于完全平方数有一个约数为n, n2=N, n没有与它配对的约数（大些或 小些的），其余的约数也成对消失，所以偶数

15、+1=奇数，完全平方数有奇数个约数，而非完 全平方数那么约数个数为偶数。亮着的灯编号为：b 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100共盾盏。这道题综合了奇偶分析和完全平方数特征方面的内容。.在海族馆工作的父亲要出差了，你能依据他给小强留下的条子推断出小强父亲远行回来的日期和行程吗？小强：海族馆的章鱼打架断了一条腕足，只剩下十七条腕足了，我要和馆里的叔叔们一起到大 海去捕一条大章鱼来。假如你把章鱼剩下的腕足条数分成两个自然数的和，得到一些成对的 自然数，其中乘积最大的一对组成一个日期，这个日期是我回来的大致日期。假如把章鱼剩 下的腕足条数分成假设干个自然数的和，得到很多

16、组和为17的自然数，其中乘积最大的一组 数的积是我这次远出的行程。父亲1992年8月18日解答：先把17分拆成两个自然数的和，拆得自然数的积有八种：1x16=16, 2x15=30, 3x14=42, 4x13=52, 5x12=60, 6x11=66, 7x10=70, 8x9=72。可见 8x9 的积最大，这个日 期有8, 9两个数字组成，或是8月9日，或是9月8日，由于父亲在写条子的日期已是8 月18日，所以回来日期应是9月8日。认真观看一下可以觉察，把自然数拆成两个小自然数的和，要使其积最大，必需两个小 自然数相差最小。 把17分成假设干个自然数的和，使这些自然数的积最大，毕竟是分得多

17、好还是分得少 好呢？看来分的个数多一点好，由于多一个数，可以多乘一次，乘积就大些，当然这些数中 不应有1(想一想，为什么？)，个数多的拆法是：17=2 + 2+2+2 + 2+2 + 2+3,但2x2x2=8, 把3个2改成2个3,积为3x3=9,所以要尽可能少消失2,多消失3, 17=3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2,小的自然数积为3x3x3x3x3x2=486 (千米)，假设再削减自然数的个数有3x3x3x3x5 = 405, 3x3x6x5 = 270, 9x8=72,这些分析中以五个3和一个2的分拆积最大。总结此题的把一个数分成假设干个自然数和，使这些自然数积最大的阅历有：拆

18、分中不 应有1,只应有3或2；拆分中尽量增加3的个数，削减2的个数。解答：一个自然数除以9的余数，等于这个自然数各个数位上数字和除以9的余数。这 一来上面求多位数除以9的余数问题,便转化为求1至1997这1997个自然数中全部数字之 和是多少的问题。这个问题的求法有很多，下面分别加以介绍。由于1至9这9个数字之和为45,所以10至19, 20至29, 30至39,，80至89, 90至99这些十个数各数位上数字和分别为:45+10, 45+20, 45+30, 45+40,45+80,45+90.这一来，1至99这99个自然数各数位数字和为：45+55+65+.+125+135=900。由于1

19、至99这99个自然数各数位上数字和为900,所以100至199, 200至299, ， 800至899,900至999这些100个数各数位上数字和分别为900+100,900+200,., 900+800, 900+900 o这一来，1至999这999个自然数各数位上数字和为： 900+1000+.+1700+1800= 13 500 。由于1至999这999个自然数各数上数字和为13500,所以1000至1999这1000个自 然数各数位数字和为：13500+1000=14500,这一来1至1999这1999个自然数各数位数字 和为：13500+14500=28000。1998、1999这两

20、个数各数位上数字和为：27、28。28000-27-28=27945, 9能整除27945,故多位数除以9余0。此外还有一个较为省事的求和方法,将0至1999这2000个自然数一头一尾搭配分成如 下的1000组：(0, 1999), (1, 1998), (2, 1997), (3, 1996)(4, 1995), (5, 1994), (6, 1993), (7, 1992) (996, 1003), (997, 1002), (998, 1001), (999, 1000)以上每一组两数之和都是1999,并且每一组两数相加时都不进位，这样1至1999这1999 个自然数的全部数字之和等于：

21、(1+9+9+9) x 1000=28000其余的与上面提到的相同，故从略。此题还有此外一种解法.由于依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数，肯定能 被 9 整除。而从 1 至 1997 一共有 1997 个数，1997-9=2218,1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997 这 8 个数全部数位上数字和为 19+20+21+22+23+24+25+26=360, 360能被9整除，所以多位数除以9余0,与前面的结果相同。为什么依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数肯定能被9整除呢？这是由于任 意连续的9个自然数各数位上的数字和除以9的余数，必定是

22、0, 1, 2,7, 8这九个数,而这九个数的和为36, 36能被9整除，所以任意依次写出的9个连续自然数组成的多位数 也肯定能被9整除。.将1, 2, 3,，30从左到右依次排列成一个51位数1234562930,试求这个51位 数除以11的余数。解答：被11整除的特征是：这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除 从这个特征的导出过程中我们还可以看出：一个数奇数位上数字和与偶数位上数字和的差除 以11的余数，与原数除以11的余数是相等的。采用这一性质便可求出问题的结果来。由于51位数123456282930的奇数位上的数字分别是0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2,

23、 1, 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 9, 7, 5, 3, 1,这些数字之和为：1+3+5+7+9+ (1+2+3+4+5+6+7+8+9) x2=115这个数的偶数位上的数字分别是3, 2, 2, 2, 2,2, 1, 1,1, 8, 6, 4, 2,这些数字之和为：2x10+1x10+3+8+6+4+2=53115-53=62, 62+11=57所以这个51位数除以11的余数是7。上述18位数奇数位上的数字和为(9+8+7+6+5+4+3+2+1=) 45,偶数位上的数字和为 (9x9=) 81 .现在是偶数位上的数字和大于奇数位上的数字和,81-45

24、=36, 36+11=33。应 当怎么计算呢？请同学们动脑筋想一想，告知你们答案为8,即上述那个18位数除以11余 8o.将1至9这九个数字，按图1所示的次序排成一个圆圈。请你在某两个数字之间剪开, 分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在1和7之间剪开，得到两个九位数是 193426857和758624391)。假如要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪 开处左右两个数字的乘积是几？解答：396=4x9x11,而4、9、11两两互质，依据前面提到的有关整除的性质，考虑被 396整除，只要分别考虑被4、9、11整除就行了。7 1 96 2前面提到假如一个数的各个数位上的

25、数字和是9的倍数，那么这个数肯定能被9整除。 现在无论从哪两个数字之间剪开，按顺时针或逆时针次序所得到的两个九位数，其各个数位 上的数字和，都是1至9九个数字之和45, 45能被9整除，因此两个九位数肯定能被9整除，那么这两个九位数之差当然也能被9整除。再考虑除以11的状况.考虑一个数能否被11整除，只要考虑这个数奇数位上数字和与 偶数位上数字和之差除以11的余数。现在无论从哪两个数字之间剪开后所得到的两个九位 数，它们数字的挨次恰好是相互颠倒的，因此这两个九位数的奇数位上数字和与偶数位数字 和之差是完全一样的，换句话说，这两个九位数除以11的余数相同，从而它俩的差肯定能 被11整除。最终考虑

26、所得两个九位数之差能否被4整除。从一个数能被4整除的特征可以知道，只 要这两个九位数的末两位数字组成的两位数之差能被4整除，那么这两个九位数的差肯定能 被4整除。因此只需考虑：剪开处左面两个数字组成的两位数与右面两个数字颠倒挨次后组 成的两位数之差能否被4整除。只要这个差能被4整除，所得两个九位数之差就能被396整除，否那么就不能被396整除。在1与9之间剪开: 在9与3之间剪开: 在3与4之间剪开: 在4与2之间剪开: 在2与6之间剪开: 在6与8之间剪开:71-39=32, 43-19=24, 93-24=69, 62-34=28, 86-42=44, 58-26=32,32能被4整除。2

27、4能被4整除。69不能被4整除。28能被4整除。44能被4整除。32能被4整除。在8与5之间剪开：75-68=7, 7不能被4整除。在5与7之间剪开：85-17=68, 68能被4整除。在7与1之间剪开：91-57=34, 34不能被4整除。因此此题共有下面六个答案:1x9=9, 9x3=27, 4x2=8,2x6=12, 6x8=48, 5x7=35。26.下面是某校购买72张课桌和77把课椅的发票。由于不留神浸水，烘干后发票上的一些 数字都模糊不清了，每一个模糊不清的数字用表示，请恢复发票中注有的数字。品名数量单位单价（元）总价（元）课更72张 7.7 课椅77把3OD.DD合计金额（元）

28、 3 D.55解答：为便利起见，以分为单位，设课桌的单位与总价分别为两瓦分和劭分, 课椅的单价和总价分别为由为了1分和刎科2/2g分，合计金额为对3z55分。由于72=8x9,8,9互质，所以三位数77M能被8整除，由止匕可知c2=6。又由于以血 776 + 3d*j2g = xy3z55 ,所以 g=% ff x=2,a2”又由于9能整除的所以6+7+7+b? + a2应是9的倍数，即a?+b2 +2是9的倍数。那么有 a2+b2 =7, a2+b2 =l6o 又因由 a27,所以当 a2+b2 =7 时，有 a2=7, b2 =0；当 a2 +ba =16 时，有 V =7、8、9, ba

29、 =9、8、7。这一来课桌的总价可以是70776分，79776分，88776分，97776分。由于g=9, f2=7,所以77把课椅的总价为刎分。由于7x7=49,所以fl=7。由于 77x7=539, 3d2，a79-539= 3d40。这个等式告知我们：去掉课椅单价由的7中最终的那个7,会有当。京77=亚，所以e 1=2。这一来，课椅单价为由27分。由于327x77=25179d + 6. 9xa+6=13K+ll,即9乂口一5应是13的倍数，故口只能是2。即六位数为219934。 (4)当原数个位数为6时，936 = 72x13,所以口19也应被13整除。由于口19= (7乂口+1) x

30、l3 + 9xn + 6A9xn+6=13K, 9xn-7+13 = 13K,故9乂口一7应是13的倍数，只能是8。即六位 数为 819936c(5)当原数个位数为8时、 938 = 72x13 + 2,故口19也应被13除余2。由于口19= (7、口+1) xl3 + 9xn + 6A9xn+6=13K+2,即9义口+4应是13的倍数，只能是1。即六位数为119938。 综合以上状况，满意条件的六位数有：319930, 919932, 219934, 819936, 119938,共五个。 下面是一些关于数的整除的一些技巧学问，依据这些技巧，我们能很快推断一个数能不能被以下数整除。 关于2：

31、 一个整数的末位是偶数，那么这个数能被2整除。关于3： 一个整数的数字和能被3整除，那么这个整数能被3整除。关于4： 一个整数的末尾两位数能被4整除，那么这个数能被4整除。关于5： 一个整数的末位是0或5,那么这个数能被5整除。关于6： 一个整数能被2和3整除，那么这个数能被6整除。关于7： 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，假如差是7的倍数，那么原数能被7整除。由于一个两位数N可以表示成N=10 x+y=10 x (x-2y) +21y,假如x-2y能被7整除，那么数N能被7整除。多于两位数的连续此操作。关于8： 一个整数的未尾三位数能被8整除，这个数能被8整除。关于

32、9： 一个整数的数字和能被9整除，那么这个整数能被9整除。关于11 ： 一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。由于一个两位数N可以表示成N=10 x+y=10 x (x-y) +11y,假如x-y能被11整除，那么数N能被11整除。关于13： 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，假如差是13的倍数，那么原数能被13整除。由于一个两位数N可以表示成N=10 x+y=10 x (x+4y) -39y,假如x+4y能被13整除，那么数N能被13整除。关于17： 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，假如差是17的倍数，

33、那么原数能被17整除。由于一个两位数N可以表示成N=10 x+y=10 x (x-5y) +51y,假如x-5y能被17整除，那么数N能被7整除。关于19： 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，假如差是19的倍数，那么原数能被19整除。由于一个两位数N可以表示成N=10 x+y=10 x (x+2y) -19y,假如x+2y能被19整除，那么数N能被19整除。(3)关于除数为7、11、13的1001法推断较大一个的6位数能否被7、11、13整除，还有一个快捷的“1001”法。由于1001=7x11x13, 1001能被7、11、13整除。一个数能被7、11、13整除的数减

34、去1001及其倍数 也能被7、11、13整除。aba的1001倍等于把abc再写一遍放在后边，abcx1001=abcabc例如，897654能否被7整除，可以先计算897654-896896,看得数能否被7整除。习题：1.45 1 xl993y。求全部满意条件的六位数xl993y。解答：745=5x9,.5 xl993y ,9 | xl993y y可取0或。当尸0时，依据9 1 x”93y及数的整除特征可知46,当y=5时，依据9 1 x”93y及数的整除特征可知x=9。满意条件的六位数是519930或919935o2.李老师为学校一共买了 28支价格相同的钢笔，共付人民币9口.2元.处数字

35、相同， 请问每支钢笔多少元？解答：.9口.2口元=9口2口分28=4x7,，4和7均能整除9口2口。4 I 2可知处能填0或4或8。779020, 7*9424,所以处不能填。和4；V7 I 9828,所叫处应当填8。又 9828 分=98.28 元98.2828 = 3.51 (元)答：每支钢笔3.51元。.整数1软2软%4a5a能被n整除求全部满意这个条件的整数。解答：VH | la2a3a4a5a，依据能被H整除的数的特征可知：1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数，即 11 I (155a),或 11 I (5a15)。但是 155a=5 (3a), 5a15=5 (a3),又

36、(5, 11) =1,因此 11 I (3a)或 11 I(a3) o又Ta是数位上的数字。只能取09。所以只有a=3才能满意11 I (3a)或111 (a3),即当a=3时，11 I 155ao 符合题意的整数只有1323334353。3ab3ab3ab .把三位数接连重复地写下去，共写1993个3ab,所得的数1993个3ab 恰是91的倍数,试求3册二？解答：791=7X13,且(7, 13) =lo3ab3ab3ab3ab3ab3abV1V1：7 |1993个3ab ,13 I1993个3ab依据一个数能被7或13整除的特征可知：3ab 3abV1原数1993组 能被7以及13整除，

37、3ab3ak - 3ab当且仅当1992组能被7以及13整除，3ab3abOOO7也就是 1991组 能被7以及13整除。gb 3ab00?Iab 3ab00?，797P由于(7, 10) =1, (13, 10) =1,所以 71991 组 ，131991 组也就是|3ab|3ab71991组，躇 1991组，因此，用一次性质(特征)，就去掉了两组3ab；反复使用性质996次，最终转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当3ab能被7以及13整除。XV91的倍数中小于1000的只有91x4=364的百位数字是3,.3ab =364.在口里填上适当的数字，使七位数口1992口口能同时被9、25、

38、8整除。解答：要求七位数口1992能同时被9、25、8整除，先考虑能被25整除这个条件。当七位 数口1992能被25整除时，它的十位和个位数字组成的数只能是00, 25, 50, 75。再考虑 其次个条件，口1992能被8整除，当口1992口能被8整除时，它的末三位上数字组成的数 必需是8的倍数，但200, 225, 250, 275这四个数中，只有200这个数是8的倍数，所以 七位数的十位与个位口内只能填0。最终考虑第三个条件，被9整除.口1992回吻要被9整除, 其各个数位上的数字和必需是9的倍数，而1+9+9+2+0+0=21,所以七位数百万位口内只能 填6,这样便找到了问题的解答。首先

39、由于200既是25的倍数，又是8的倍数，所以口1992口口的十位与个位内只能填0。 由于1+9+9+2+0+0=21,而21+6=27, 27是9的倍数，所以口1992口口的百万位口内只能 填6。E11992回回能同时被9、25、8整除。.求能被26整除的六位数x”91y。解答：726=2x13, xl 99 8能分别被2和被整除。V2 I xl991y, ，y 可能取 0、2、4、5、6、8。又13 |幻99.13能整除xl9与91y的差。当y=0时，由于131910,而13又要整除幻9与91y的差，.13 | xl9。又 xl 9 = 100 x+l 9=(7x 13+9)x+ 19=7x

40、13x+9x+13 + 6,J依据整除“性质1”,有13 I 9x+6,经试验可知只有当x=8时，13 I 9x + 6,.当y=0时，符合题意的六位数是819910。当y=2时，由于13 I幻9912,所以13整除玄19与910 + 2之差，也即13整除幻9与 2的差；与前相仿,xl9=7xl3x+13+9x+6,所以13整除9x + 62,即13 I 9x+4。经试验可 知只有当x=l时，13 I 9x+4o，当y = 2时，符合题意的六位数是119912。同理，当y=4时，13 I 9x+6-4,即13 I 9x+2,经试验可知当x = 7时，13 I 9x+20.当y=4时，符合题意的

41、六位数是719914。同理，当y = 6时丁 13 I 9x+66。即13 I 9x.经试验可知x无解(由于、”如丫是的最 高位数码,x#0)o当y=6时，找不到符合题意的六位数。同理，当y = 8时，13 I 9x+6-8,即13 I 9x-2。经试验只有当x = 6时，13 I 9x-2。:.当y=8时,符合题意的六位数是619918c答：满意此题条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。7. 一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。解答：一个以5为首位的六位数5xxxxx,要想使它最小，只可能是501234 （各位数字 均不

42、相同）。但是501234的数字和为5 + 0+1+2 + 3+4=15,并不是9的倍数，故只能将末位数字 改为7。这时，5+0+1+2 + 3+7=18是9的倍数，故501237是9的倍数。即501237是以 5为首位，且是9的倍数的最小的六位数。解答：由于要求恰好第一次能被72整除，因此，应以从前往后的挨次去查找。假如先考虑被8整除，那么末位应为偶数，且末三位数字组成的三位数应是8的倍数。因而依次看三位数：234, 456, 678, 810, 112, 314, 516, 718, 192, 920, 202, 212, 122, 222, 232, 324, 242, 252, 526, 262, 272, 728, 282, 930, 132, 334, 536, 738, 394中哪些是8的倍数。像这