人教数学旋转的专项培优练习题(含答案)及详细答案

1、-旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)在平而直角坐标系中，四边形AoBC是矩形，点O (0, 0),点4 (5, 0),点3 (0, 3).以点&为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADFF,点O, B, C的对应点分別 为 D, & F.如图，当点D落在3C边上时，求点D的坐标：如图，当点D落在线段3E上时，加与BC交于点H.求证 ADB里 AOBt求点H的坐标.记K为矩形AoBC对角线的交点，S为AKDF的而积，求S的取值范围(直接写出结 果即可)图图【答案】(I) D (1, 3) ；(2)详见解析：H (, 3) ；(3)30-334 30 + 3344 _4【解析】【分析】如图

2、，在Rt ACD中求出CD即可解决问题：根据HL证明即可：，设 AH=BH=m.则 HC=BC-BH=5-m,在 Rt AHC 中，根据 AH2=HC2+AC2,构建方程求出 m即可解决问题；如图中，当点D在线段BK上时，ADEK的而积最小，当点D在BA的延长线上 时，ADEK的面积最大，求出而积的最小值以及最大值即可解决问题：【详解】如图中，图. A (5, O) , B (0, 3),.0A=5, OS=3,.四边形&08C是矩形，：.AC=OB=39 OA=BC=59 Z OBC=Z C=90otT矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，：.AD=AO=S9在 Rt ADC 中，CD= J

3、aD2-AC2 =4 BD=BC-CD=ItD (1, 3)如图中，图由四边形ADEF是矩形，得到ZqDQ90。，.点D在线段BF上，/. Z D=90%由(1)可知，AD=AO.又 AB=AB. ZqoB=90,. Rf ADB R仏 AOB (HL )如图中，由AADB旻 40B,得到Z BAD=A BAO. 又在矩形AOBC中，OAW BC, Z CBA=A OAB,：.Z BAD=A CBA,：.BH=AHf 设 AH=BH=m.则 He=BCBH=5-m,在 RtA AHC 中,. AH2=HC2AC29. m2=32+ (5-n?) 217ZT)=,17.,.BH=,5（3）如图中

4、，当点D在线段BK上时，ZEK的而积最小，最小值=iDfD=3（S 34 -30-334当点D在弘的延长线上时， D9E1K的而积最大，最大而积=-D,E,KD - 32 2(S+34 = 30 +3阿4综上所述，3-3345 OM=4- X,. OM2+BN2=MN2.(42 - )2+2 = (2x)2,解得 = - 2J +2 或-2 返-26 (舍弃) MN= 2+46 【点睛】本题属于几何变换综合题，考査了等腰直角三角形的性质和判沱，全等三角形的判左和性 质，勾般定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问 题，属于中考压轴题.如图2,点O是正方形A3CD两

5、对角线的交点.分别延长OD到点G, OC到点E,使 0G=20D. OQ20C,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG, DE.求证：DEAG:正方形ABCD固总 将正方形OEFG绕点O逆时针旋转G角(0。V 9y OG = OE在 40G和 DOE中，OA = ODZ10G = ZDOE = 90OG = OE AOGc2 DOE, AG0 = LDEO-AG0 + GA0 = 90o9Z.G/10 +乙 DEo = 90。.Zi4HE = 90o即 DE LAG.(2)如图2.在旋转过程中，OAGtf为直角有两种情况:Q由。增大到90。过程中，当0AGt = 90o时,1 1OA

6、 = OD=oG = OGt9OA 1 在乩 OAG中，SinZ AGO=OGV 0/1 丄 OD OALAGt* 0DAGD0Gt = AGt0 = 3Qo9即 Q = 30。：(II)Q由9增大到180过程中，当0G,=9O。时, 同理可求乙BOG= 30。，. = 180-30 =150综上所述，当4G = 90。时， = 30。或150。.当旋转到0、F在一条直线上时，力F的长最大，Y正方形ABCD的边长为1,2OA = OD = OC=OB = *-OG = 20D9oG = OG =込 OF = 2 AFI = AOOF = + 22fVZCOE, = 459此时 cr15点睛：考

7、查了正方形的性质，全等三角形的判左与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性 质的综合应用，有一泄的综合性，注意分类讨论的思想.（12分）如图2,在等边AABC中，点D, E分别在边AB, AC上，AD=AE,连接BE,CD,点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点.（1）观察猜想：图1中， PMN的形状是:（2）探究证明：把AADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位宜， PM N的形状是否发生 改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把AADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=I, AB=3,请直接写出APMN 的周长的最大值.AABPC图1【答案】（1）等边三角形:（2） PMN的形状不发生改变，仍然为等边

8、三角形,理由见解析;（3）6【解析】 分析：（1）如图1,先根据等边三角形的性质得到AB=AC. ZABC=Z ACB=60。，则BD=CE.再根据三角形中位线性质得PMIl CE. PM=丄CE, PNW AD. PN=L BD,从而得到2 2PM=PN. Z MPN=60从而可判断 PMAZ为等边三角形；（2）连接CE、BD,如图2,先利用旋转的泄义，把AABD绕点A逆时针旋转60。可得到 CAE.贝IJ BD=CE9 Z 48D=Z ACE.与（2一样可得 PM=PN. ZBPM=乙 BCEZCPN=Z CBD,则汁算岀Z 3PM+Z CP二:L20。，从而得到ZMPA/二60。，于是可

9、判断 PM/V为 等边三角形.（3）利用AB - ADBDAB+AD （当且仅当点8、久D共线时取等号）得到8D的最大值 为4,则PN的最大值为2,然后可确 PMN的周长的最大值.详解：（1）如图1. ABC为等边三角形，AB=AC9 Z ABC=Z ACB=60o AD=AE9BD=CE点M、N、P分别是BE、CD、8C的中点，11/. PMW CEf PM=-CEt PNW AD. PN=-BD,22 PM=PN9 Z BPM=A BCA=60 Z CPV=Z CaA=60,Z MPN=60。， PMN为等边三角形；故答案为等边三角形；（2） APMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形.理

10、由如下: 连接CG BD9如图2. AB=AC, AE=AD. Z BAC=A DAE=60.把厶ABD绕点A逆时针旋转60。可得到 CAE,：.BD=CE. Z ABD=A ACE,与（1） 一样可得 PMll CE9 PM=-CE9 PNW ADt PN=-BD92 2：.PM=PN, Z BPM=Z BCE, Z CPV=Z CBD,：.Z BPM+Z CPN=乙 CBD+Z CBD=A ABC - Z ABD+Z &CB+Z C=60o+60o=120Z MPN=60 ：. PMN为等边三角形(3).PM= -BD9 A当BD的值最大时，PN的值最大2AB - ADBDABAD (当且

11、仅当点氏 久D共线时取等号)BD的最大值为1+3=4, /. PN的最大值为2, PMN的周长的最大值为6.ri点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线 段的夹角等于旋转角：旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判左与性质和三角 形中位线性质.如图2,在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC, CD上，且BE=DF,点P是AF的中 点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ, PD.求证：AC垂直平分EF；试判断APDQ的形状，并加以i正明；如图2,若将ACEF绕着点C旋转180。，貝余条件不变，则(2)中的结论还成立 吗？若成立，请加以证明；若不成立，

12、请说明理由.【答案】(1)证明见解析：(2) PDQ是等腰直角三角形；理由见解析(3)成立：理 由见解析.【解析】试题分析：(1)由正方形的性质得出AB二BC=CD二AD, Z B=Z ADF=90o,ZBCA二ZDCA=45。，由BE=DF,得出CE=CF, CEF是等腰直角三角形，即可得出结论：(2)由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=2AF, PQ=2AF1得岀PD二PQ,再证明ZDPQ=90。，即可得出结论;(3由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=2AF, PQ=2AF,得岀PD=PQ,再证明点 A、F、Q、P四点共圆，由圆周角立理得出Z DPQ=2Z DAQ=900,即可得出

13、结论. 试题解析：(1)证明：T四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD. Z B=Z ADF=90o, Z BCA=Z DCA二45, BE=DF, CE=CF,AC垂直平分EF：解：APDQ是等腰直角三角形；理由如下：点P是AF的中点,Z ADF=90o,1. pd=2AF=PAf Z DAP=Z ADP, AC垂直平分EF, Z AQF=90,1PQ辽AF=PA, Z PAQ=Z AQPt PD=PQtT Z DPF=Z PAD+Z ADP, Z QPF=Z PAQ+Z AQP, Z DPQ=2Z PAD+2Z PAQ=2 (Z PAD+Z PAQ) =245o=90PDQ是等腰

14、宜角三角形：成立：理由如下：点P是AF的中点,Z ADF=90o,1. pd=2AF=PAfTBE=DF, BC=CD, ZFCQ=ZACD二45, ZECQ=ZACB=45, CE=CF Z FCQ=Z ECQ,.CQ丄 EF, ZAQF二901 PQ=JAF=AP=PF,. PD=PQ=AP=PF,点A、F、Q、P四点共圆， Z DPQ=2Z DAQ=90o,PDQ是等腰直角三角形.考点：四边形综合题.在AAOB中，C, D分别是OA, OB边上的点，将 OCD绕点O顺时针旋转到AOCD.(1)如图1,若Z AOB=90 OA二OB, C, D分别为OA, OB的中点，证明：AcJBDL

15、AU丄BDL（2）如图2,若ZkAOB为任意三角形且ZA0B=, CDIl AB, AU与BD咬于点E,猜想 Z AEB=是否成立？请说明理由.B【答案】（1）证明见解析：（2）成立，理由见解析【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得岀0C=OC, OD=OD, Z AOC=Z BOD证出OooM 由SAS证明 AOC竺 BOD得出对应边相等即可;由全等三角形的性质得岀Z OACf=Z OBD又由对顶角相等和三角形内角和左理得出Z BEA=90o,即可得出结论:（2）由旋转的性质得出OC=OC, OD=ODS ZAOU=ZBOD餐由平行线得出比例式纟二奧，得出咯二纟证明aaocjabodj得出Z

16、 OAe=Z OBDW由对顶角相 OA OB ODI OB等和三角形内角和立理即可得出Z AEB=.试题解析：（1）证明： OCD旋转到 0CD, OOOU, OD=OD Z AOe=Z BODS. OA=OB, C、D 为 OA、OB 的中点，OC=ODtOOODSOA = OB乙AoC 二 bod0C, = OD1在厶 AOe BOD中，UL =UU , AOC竺 BODr ( SAS), ACjBDL延长AU交BD于E,交Bo于F,如图1所示：. AOC竺 BODS Z OAe=Z OBD,又Z AFO=Z BFE Z OAC+Z AFO=90 Z OBDz+Z BFE=90% Z BE

17、A=90o,AU丄BDI(2)解：ZAEB%成立，理由如下：如图2所示: OCD旋转到 OUDS OC=OCS OD=ODz, Z AOc=Z BOD食 CDIl AB,OCODOAOBOCt0DOAOBOC_ OAOD OB Z AEB=Z AOB=.图1考点：相似三角形的判左与性质：全等三角形的判泄与性质：旋转的性质.又Z AOCZ=Z B0D AoCJ BOD Z OACz=Z OBD 又Z AFO=Z BFE,在平而直角坐标系中，四边形40BC是矩形，点O GO),点4(5,0),点B(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF ,点0, B, C的对应点分别为(

18、I)如图，当点D落在BC边上时，求点Z)的坐标：()如图，当点D落在线段施上时，AD与BC交于点H.求证AADB今AAOB ；求点H的坐标.(In)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为AKDE的而积，求S的取值范围(直接 写出结果即可).【答案】(I)点D的坐标为(1,3). ()i正明见解析；点H的坐标为3).(In) 30-3辰加三30 + 3辰4_ _4【解析】分析：(I)根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x,在直角三角形ACD中运用勾股泄理可CD的值，从而可确定D点坐标；()根据直角三角形全等的判左方法进行判定即可；由知ABAD = ZBAO，再根据矩形的性质得ZCBA = ZO

19、AB .从而ZBAD = ZCBA ,故BH=AH,在Rt ACH中，运用勾股泄理可求得AH的值，进而求得 答案：(In) 30-3屈 vs3O + 3 辰.44详解:(I) .点 A(5,0),点 B (0,3),. OA = 5, 0B = 3.T四边形AOBC是矩形，. AC = OB = 3, BC = OA = 5, ZOBC = ZC = 90.V矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的，. AD = AO = 5.在 RlbADC 中，有 AD2 =AC2+DC2DC = AD-ACI =52 - 32 = 4-. BD = BC-DC = L点D的坐标为(1,3).()由四边形A

20、DEF是矩形，得ZADE = 90. 又点D在线段BE上，得ZADB = 90。.由(I)知，AD = AO,又AB = AB, ZAoB = 90。，. RADBRtAOB.由 ADBAOB,得曲AD = ZBAO. 又在矩形AOBC中，OAUBC,. ZCBA = ZOAB.:. ZBAD = ZCBA.:. BH = AH 设BH=I,则AH = /, HC = BC-BH=5-1. 在用d4HC 中，有 AH2 =AC2+HC2=5 :180r2=32+(5-r)2.解得 = BH=-.（In） 30-3两 vs 7）、3 （5, 5） . C （7, 5）、D （5,2）（1）将线段

21、绕点B逆时针旋转，得到对应线段BF当BE与CD第一次平行时，画岀 点&运动的路径，并直接写出点力运动的路径长：C【解析】（2）线段A3与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以 得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标.（2）旋转中心P的坐标为（3, 3）或（6, 6）【分析】（1）依据旋转的方向、旋转角和旋转中心即可得到点A运动的路径为弧线，再运用弧长 计算公式即可解答：（2）连接两对对应点，分别作岀它们连线的垂直平分线，其交点即为所求.【详解】解:（I）点&运动的路径如图所示，岀点A运动的路径长为9 X穴X 4 + AA（2）如图所示，旋转中心P的坐标为（3, 3

22、）或（6, 6）C【点睛】本题主要考査了利用旋转变换及其作图，掌握旋转的性质、旋转角以及确左旋转中心的方法是解答本题的关键9正方形&3CD和正方形AEFG的边长分别为2和22 点B在边AG 点D在线段EA 的延长线上，连接8E.（1）如图1,求证：DG丄BE；（2）如图2,将正方形ABCD绕点力按逆时针方向旋转，当点8恰好落在线段DG h时， 求线段BE的长.【答案】（1）答案见解析：（2） y2+y6【解析】【分析】（1）由题意可证 AADG 竺可得 AAGD=A AEB,由 ZADG+Z AGD=90。，可得Z &DG+Z AFB = 90,即 DG丄 BG（2）过点A作AM丄3D,垂足为M,根据勾股定理可求MG的长度，即可求DG的长度, 由题意可证 DAG A BAE.可得BE=DG.【详