2020届高考数学试题预测数列

1、1.已知函数f(x)设 a11 , an 1an(2)2009届高考数学压轴题预测专题二数列f(an)fj求，的值；证明：对任意的正整数记 bnIn an( n= 1ana,是方程f(x)=0的两个根(n=1, 2,)n,都有% a；2,),求数列bn的前n项和f (x)是f (X)的导数;解析：(1) . f(x),是方程f (x) =0的两个根(1 -.52(2) f(x)2x2an an2an 1一an (2 an1) (2 an241)2an1=(2an41)2ana11,有基本不等式可知a2时取等号),an 1an52(an0同，样a3)(an)2 anan(n=1, 2,)，an(

2、an)22an 12an2an，同理an 1(an)22an 1,bn12bn又b11 ln13 .51n53521n2n2(2八35Dln22.已知数列 an的首项a12),数列bn的首项b2a1 (a,bn是常数，且a 12an n (n 2)。),an2an21 n 4n 2(1)证明：bn从第2项起是以2为公比的等比数列；(2)设Sn为数列bn的前n项和，且 Sn是等比数列，求实数(3)当a0时，求数列 an的最小项。a的值;分析：第(1)问用定义证明，进一步第( 类讨论。2)问也可以求出，第(3)问由a的不同而要分解：(1) bn an bnan 12an(n 2n2由a12a 1

3、得 a21 ,b22_1)2an (n2bn(n 2)4a, b2 a22_21)4(n 1) 2 (n 1)即 bn从第2项起是以2为公比的等比数列。 Sn a )(2n1 1) 3a 4 (2a 22当 22 时殳 3 2)2n 3a 423a 4Sn 1(2a 2)2n 1 3a 4 (a 1)2n1 3aSn是等比数列，&(n2)是常数，Sn 1rr43a+4=0,即 a - o3(3)由(1)知当 n 2时，bn (4a 4)2n 2 (a 1)2n ,所以an2a 1 (n 1)(a 1)2n n2(n 2)所以数列 an 为 2a+1, 4a, 8a-1 , 16a, 32a+7

4、,显然最小项是前三项中的一项。_ 1. 一 .当a (0,)时，取小项为8a-1 ；4、“1 .一 ,一.当a 时，取小项为 4a或8a-1 ；41 1、 一当a (一，一)时，取小项为 4a；4 21 .一,一,.当a 时，取小项为 4a或2a+1 ；21. 一 .当a (一，)时，最小项为 2a+1。2点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。 考点二：求数列的通项与求和3.已知数列an中各项为:12 、 1122、 111222、1142 41 242 42nn TOC o 1-5 h z (1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积(2)求这个数列前n

5、项之和Sn .分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。 HYPERLINK l bookmark72 o Current Document 12n解：(1) an (10n 1) 10n (10n 1)9913n c、/10n 1、/10n 1 .、-(101) (102) () ( 1)933记：A =坦3则A=34243为整数an = A (A+1)得证(2) Q an1102n 110n -9991242n 12n 2Sn(102 104102n)(10 10210n) - n HYPERLINK l bookmark33 o Current Docum

6、ent 9991(102n 2 11 10n 1 198n 210)891点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。两个相邻正数的积，解4.已知数列an满足 a11 , an nan-41 an 1-(n 2,n2N).(I )求数列(n)设 bnan12 an的通项公式an；,求数列bn的前n项和Sn ；(m)设 cn(2n1) 幼小an sin ,数列Cn的前n项和为Tn.求证：对任意的n N ,2Tn分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等 式的证明通常是放缩通项以利于求和。解：(I)(1)n ,工

7、(1)n ( 2) ( 1)，a na n 1 ana n 1一 11又一(1) 3, 数列一a1an(1)n 3( 2)n 1，即 an an(n) bn(3 2n 1 1)2 9 4n 11 n是首项为3,公比为(1)n12n 1 16 2n 1 1Sn1 (1 4n)(m)1 4.(2n 1) sin2(1)n12的等比数歹U.3( 2)n3时，则Tn1)n13123 22(1 2n)1 21)n1,13 2n 113 2 1113 4n123 22 13 233 2n 12813 2n 11在1G)n21 2112861 5211 128 647844884TiT2T3 ，对任意的nT

8、n7点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列an的通项an,第三问不等式的证明要用到放缩的办法，这将到下一考点要重点讲到。 考点三：数列与不等式的联系5. 已知 为锐角，目tan1,函数f(x)x2 tan2xSin(2 7数列an的首项1a11，an 12f(an).求函数f (x)的表达式;求证:an1 an ；求证:1 a11 a21 an(n 2, n分析：本题是借助函数给出递推关系，第(2)问的不等式利用了函数的性质，第(3)问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。解：tan22tan2( . 2 1)tan21 (21)2为锐角sin(2

9、f(x)ana2an a1a2,a3,an都大于2an一 an 1an 11anan(1an)anan11 anana1a2ana1a2a2a3anan 1a1an 1, a21(2), , an 1a31a33 2(4)2 an1 a11a21 an点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想, 的证明更具有一般性。本题中的第（3）问不等式6.已知数列an满足a11,an 1 2an 1 n N（i）求数列 an的通项公式；（n）若数列 bn 满足 4bl 14b2 14b3 14bn1(an 1)bn,证明:bn是等差数列;、r 1112(m)证明：L 2 n Na2 a3an 1

10、 3分析：本例(1)通过把递推关系式转化成等比型的数列；2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。解：（1）an 1 2an 1 , an 1 1 2（an 1）故数列an 1是首项为2,公比为2的等比数列。an(2)12n4bl 14b2an14b32n 12(b12(b1b2b2一得2bnbn)bn214bn 1 (an2n nbn bn 1) 2(n 1)(n 1)bn 11)bn(n4(b1 b2bn n)2nbn(n 1)bn 1一得2nbnnbn 2 nbnnbn 1,即 2bn 11)bn nbn12 (n1)bnbnbn 1所以数列bn是等差数列 an、几c1

11、设Sa2S -_12n 11a31a2an 1_1n 1121一,1an1an 121an 1a2a3an a2而且不容易把握，对于这样的题点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了, 要多探索，多角度的思考问题。7.已知函数f(x) x ln 1 x ,数列an满足0 a1 1, r11*an 1 f an ;数列 bn 满足 h 2,bn 1 2(n 1)bn, n N .求证:(i) 0 an 1 an 1; 2(n) an1a;2(ni)右 a1 ，则当 n2 时，bn an n!.2分析：第(1)问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第( 函数的单调性；第(3)问进行放

12、缩。解：(I)先用数学归纳法证明 0 an 1, n(1)当n=1时，由已知得结论成立；1.则当n=k+1时,0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.(2)假设当n=k时，结论成立，即0 ak1 x因为 0Vx1 时，f (x) 1 x 1 x 1又 f(x)在 0,1 上连续，所以 f(0)f(ak)f(1),即 0ak 11 in 2 1.故当n=k+1时，结论也成立.即0an 1对于一切正整数都成立.又由0 an综上可知01 ,得 an 1an 1an1.ananln 1 ananln(1an)0,从而 an1an.(n)构造函数g(x)=2 x . -f(x)=22 x 一 ln(1

13、x)2x, 0Vxg(0)=0.因为0 an1,所以g an2八an0,即-n-fan0,从而a2an2(m)因为bi所以bnbnbn 12mbn 1 bn 221 小 )n 12(n小bl1)bn,所以 bn0.be由(n) aan2，知:an 1an因为a1、21,n22, 0所以an2 2由两式可知：an 12bn12nan2an 1ana1所以包=曳视La1仇 a2na122 时,Sn 1(2n1).分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：（1） an 15 2an16 8an因为ai 1,所以7a2 , a38（2）因为an0,an 1an 12an

14、0,所以1648(an 4)8an3 an因为因为4 16 8an32(2 an)0,054anan2.aian0,所以ana25与4540,5 c0,50,即 an(3)当 n2 时，bnanan 1an 1)an 1bn 1所以bn15542bn1 2bn12 , bn 12bn2n 12n 3所以Snb1b2bnid2n)12n 1)4点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。.在平面直角坐标系中，已知三个点列An, Bn, Cn,其中An（n, an）, Bn （n,bn）Cn（n 1,0）,满足向量An An 1与向量BnC：共线，且点（B, n）在方向向量为（1, 6） 的线上 a1a, b1a.（1）试用a与n表示an（n 2）；（2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求 a的取值范围。分析：第（1）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最小值的方式来 解决。解：（1）AnAn1(1, an 1%),BnCn(1, bn), AnAn1 与 BnCn 共线，Hn1 %又Bn在方向向量为(1, 6)的直线上，bn 1bn6,即bn1 bn 6n 1 nbn a 6(n 1) TOC o 1-5 h z ana1(a2a