三角形培优训练100题集锦学生用

1、-. z三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用三线合一的性质解题，思维模式是全等变换中的对折。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的旋转。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的*一点向角的两边作垂线，利

2、用的思维模式是三角形全等变换中的对折，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上*一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的平移或翻转折叠。5、截长法与补短法，具体做法是在*条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将*条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。*线段的垂直平分线，则可以在垂直平分线上的*点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把*点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。ECABD1、，如图中

3、，求中线AD的取值围。分析：此题的关键是如何把AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中。解:延长AD到E，使，连接BE又，(三角形三边关系定理)即2、如图，中，E、F分别在AB、AC上，D是中点，试比拟与EF的大小。证明：延长FD到点G，使，连接BG、EG，GFECABD在中，3、如图，中，E是DC的中点，求证：AD平分.证明方法一：利用相似论证。证明：ECABDE是DC中点，即AD平分MECABD证明方法二：利用全等论证。证明：延长AE到M，使，连结DM易证，又，又，即AD平分4、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点。探究：AM与D

4、E的位置关系及数量关系。1如图1当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；2将图1中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转后，如图2所示，1问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。图 1MNCABDNECABDM图 2解：1，；证明：延长AM到G，使，连BG，则ABGC是平行四边形GCHABDMNE，又再证：，延长MN交DE于H2结论仍然成立证明：如图，延长CA至F，使，FA交DE于点P，并连接BF，FCPABDMNE在和中SAS，又，且，5、如图，中，AD平分，且，求证：证明：过D作，垂足为MMCABD又，AD平分在和中，即:6、如图，EA，EB分别平分，CD过点E

5、，求证：证明：在AB上截取，连接EF在和中FEDABC即在和中ASA7、如图，在，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：证明：延长AB到D，使，连接PD则AP，BQ分别是，的角平分线，45232DQPCAB1又在与中，AAS即8、如图，在四边形ABCD中，BD平分.求证：解：过点D作于E，过点D作交BA的延长线于FBD平分EFDCAB，在和中HL9、如图，在中，P为AD上任意一点。求证：EDAPCB证明：如图，在AB上截取AE，使，连接PE在和中SAS在中，即10、在四边形ABCD中，点E是AB上一个动点，假设，且，判断与的关系并证明你的结论。分析：此题连接AC，把

6、梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。DEACB解：有连接AC，过E作并AC于F点则可证为等边三角形即，DEACBF又，又在与中，点评：此题的解法比拟新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。FNMDEACB11、如图D为的角平分线，直线于A.E为MN上一点，周长记为，周长记为.求证：.证明：延长BA到F，使,连接EFAD为的角平分线，BC+BE+CEAB+AC+BC的周长小于的周长，即12、：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM

7、1如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，则BM、DM的数量关系与位置关系是； 2将图1中的ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断1中的结论是否仍然成立，并说明理由解：1BM=DM且BMDM 2分2成立 3分 理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，联结CF、BF、BD9 易证EMDCMF4分ED=CF，DEM=1AB=BC，AD=DE，且ADE=ABC=90，2=3=45, 4=5=45BAD=2+4+6=90+68=360-5-7-1，7=180-6-9，8=360-45-180-6-9-3+9=360-45-180+6+9- 45-9=90+6 8=BAD 又AD=CFABDCBFBD=

8、BF，ABD=CBFDBF=ABC=90MF=MD， BM=DM且BMDM13、如图，在中，的角平分线AD，CE相交于点O.求证：FODEACB证明：在AC上取点F，使，连接OFAD是的平分线，CE是的平分线，即：14、如图，中，AD平分，且平分BC，于E，于F. 1说明的理由；2如果，求AE、BE的长。1证明:连接DB，DCGFDEACB且平分BC，AD平分2解:，即，15、如图，OP是的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：1如图，在中，是直角，AD、CE分别是、的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD

9、之间的数量关系；2如图，在中，如果不是直角，而1中的其它条件不变，请问，你在1中所得结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。OPAMNEBCDFACEFBD图图图解：1FE与FD之间的数量关系为2答：1中的结论仍然成立。证法一：如图1，在AC上截取，连结FG ，AF为公共边，FBEACD图 12143G，AD、CE分别是、的平分线及FC为公共边证法二：如图2，过点F分别作于点G，于点H FBEACD图 22143HG，AD、CE分别是、的平分线可得，F是的心，又可证16、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，求的度数。GFDEACB解：将绕点A顺时针旋转，至

10、又，又17、D为等腰斜边AB的中点，DM，DN分别交BC，CA于点E，F。1当绕点D转动时，求证：；2假设，求四边形DECF的面积。分析：1连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分，则，由得，根据等角的余角相等得到，根据全等三角形的判定易得，即可得到结论；2由，则，于是四边形DECF的面积，由而可得，根据三角形的面积公式易求得，从而得到四边形DECF的面积。解：1连CD，如图，D为等腰斜边AB的中点CD平分，NMFDEACB在和中2四边形DECF的面积而四边形DECF的面积点评：此题考察了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也

11、考察了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质。18、如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长。解：是等腰三角形，且MANMDCB是边长为3的等边三角形顺时针旋转使DB与DC重合在和中的周长为619、四边形ABCD中，绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC或它们的延长线于E、F1当绕B点旋转到时如图1，易证图 1ABCDEFMNABCDEFMN图 2FEANMDCB图 32当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系

12、？请写出你的猜测，不需证明。解：1，SAS；，为等边三角形，2图2成立，图3不成立。证明图2，延长DC至点K，使，连接BKKABCDEFMN图 2则，即图3不成立，AE、CF、EF的关系是20、:，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧。1如图，当时，求AB及PD的长；2当变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应的大小。分析：1作辅助线，过点A作于点E，在中，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将绕点A顺时针旋转得到，可得，求PD长即为求的长，在中，可将的值求出，

13、在中，根据勾股定理可将的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根据勾股定理可将PD的值求出；2将绕点A顺时针旋转，得到，PD的最大值即为的最大值，故当、P、B三点共线时，取得最大值，根据可求的最大值，此时EPADCB解：1如图，作于点E中，在中，PPACBDE解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将绕点A顺时针旋转得到，可得，；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于GGFPACBDE在中，可得，在中，可得，在中，可得2如下图，将绕点A顺时针旋

14、转,得到，PD的最大值，即为的最大值中，且P、D两点落在直线AB的两侧当、P、B三点共线时，取得最大值如图PPACBDPPACBD此时，即的最大值为6此时21、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系。图 1NMADCB图 2NMADCB图 3NMADCB1如图1，当点M、N边AB、AC上，且时，BM、NC、MN之间的数量关系是； 此时； 2如图2，点M、N边AB、AC上，且当时，猜测1问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证明； 3如图3，当M、N分别在边A

15、B、CA的延长线上时，假设，则用、L表示分析：1如果，因为，则，也就有，直角三角形MBD、NCD中，因为，根据HL定理，两三角形全等。则，三角形NCD中，在三角形DNM中，因此三角形DMN是个等边三角形，因此，三角形AMN的周长，三角形ABC的周长，因此2如果，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E，使，连接DE1中我们已经得出，则三角形MBD和ECD中，有了一组直角，因此两三角形全等，则，三角形MDN和EDN中，有，有一条公共边，因此两三角形全等，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为，因此Q与L的关系的求法同1，得出的结果是一样的。3我们可通过构建全等三角形来

16、实现线段的转换，思路同2过D作，三角形BDM和CDH中，由1中已经得出的，我们做的角，因此两三角形全等ASA则，三角形MDN和NDH中，的条件有，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道，因为，因此，因为，则，因此，这样就构成了两三角形全等的条件三角形MDN和DNH就全等了则，三角形AMN的周长因为，因此三角形AMN的周长解：1如图1，BM、NC、MN之间的数量关系：；此时图 1NMADCB2猜测：结论仍然成立证明：如图2，延长AC至E，使，连接DE，且E图 2NMADCB又是等边三角形在与中H图 3NMADCBSAS，在与中SAS故的周长而等边的周长3如图3，当M、N分别在AB、CA的

17、延长线上时，假设，则用*、L表示点评：此题考察了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于和所求条件相关的全等三角形。22、如图2-7-1，ABC和DCE均是等边三角形，B、C、E三点共线，AE交CD于G，BD交AC于F。求证： AE=BD; CF=CG.思路 证明ACEBCD。证明 ABC和DCE都是等边三角形， CB=CA， CD=CE，BCA=ECD=， BCD=ACE=， BCDACE， AE=BD。思路 证明FCDGCE。证明 由BCDDCE都是等边三角形可知 CD=CE，BCA=ECD= AC

18、D=-BCA-ECD= FCDGCE， CF=CG说明证明两条线段相等的重要方法之一就是证明它们所在的两个三角形全等。23、如图2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MNMD，BN平分CBE。求证：MD=MN。思路：取AD的中点P，连结PM，证明DMPMNB。证明：取AD的中点P，连结PM，则有DP=MB。 DMMN， DMA+BMN=，又由正方形ABCD 知A=， DMA+MDA=， BMN=MDA又BN平分CBE， MBN=又由P、M分别为AD、AB的中点，ABCD是正方形，得PAM是等腰直角三角形，故DPM=。DPM=MBN， DPMMBN， DM=MN。说明：此题中DM和MN

19、所在的三角形不全等，这时就要考虑作出它们所在的新三角形，证明这两个新三角形全等。24、如图2-7-3，ABC中，ABC=2C，BAC的平分线交BC于D。求证：AB+BD=AC思路1：延长AB到E，使BD，证明AEDACD。证法1：延长AB到E，使BE=BD，连结ED，则E=BDE。ABD=E+BDE=2CE又 ABC=2C， C=E AD平分BAC，1=2，又 AD=AD， ADEADC， AC=AE。即 AC=AB+BE=AB+BD。思路2：在AC上取一点E，使AE=AB，证明AEDABD。证法2：在AC上取点E，使AE=AB，连结CD。由AD平分BAC 得1=2又 AD=AD，ADBADE

20、， AED=ABC，DE=DB，又ABC=2C， AED=2C又 AED=EDC+C， EDC=C， ED=EC， EC=BD， AB+BD=AE+EC+AC。说明：要证明AB+BD=AC，一般来说有两种方法，一种方法是作出一条线段，使其长度为AB+BD，如证法1就采用此法；另一种方法是把AC分成两局部，使其分别等于AB、BD，如证法2就采用此法。25、如图2-7-4，ABC中，ACAB，AD平分BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。求证：PC-PBAC-AB。思路：通过构造全等三角形，把PC、PB、AC、AB集中在同一三角形中，利用三角形两边之差小于第三边这一性质来证明此题结论。证明：在

21、AC上取点E，使AE=AB，连结PE，由AD平分ABC得1=2。又 AE=AB， AP=AP，APEAPB， PE=PB，在EPC中，PC-PEEC， 即PC-PBAC-AE。 PC-PBAC-AB。说明：当要证明式子的线段比拟分散时，常通过构造全等三角形，把相关线段集中起来，这样便于利用三角形的三边不等关系。26、如图2-7-5，从等腰RtABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE。求证：CDF=ADE。思路1：作BCA的平分线交BD于G，证明CDGADE。证法1：作BCA的平分线交BD于G， BC=AC，BCG=A=，CBG=-CDF=ACE， BCGCAE， C

22、E=AE，CDG和ADE中， CD=AD，DCE=A=，CE=AE， CDGADE，CDF=ADE，思路2：过A作ANAC，交CE延长线于N，证明 ADEANE。证法2：过A作ANAC，交CE延长线于N。A=CBD，AC=CB， RtARtCBD， CDF=ANE，CD=AN=AD，又CAE=EAN=，AE=AE， ADEANE， ADE=ANE，CDF=ADE。27、在ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.1当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ADCCEB；DEADBE；2当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DEADBE；3当直线MN绕

23、点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。分析：1ADMN BEMN ADCCEB90DACDCA90又ACB90DCAECB90DACECBACBC ADCCEB DCBE ADCE DEDCCE BEAD2与1同理ADCCEB CDBE ADCEDECECD ADBE3当直线MN绕点C旋转到图3位置时与12同理可知 CEAD，BECD DECDCE BEAD28、：ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60角的顶点E在BC上滑动，点E不与点B、C重合，斜边和ACM的平分线CF交于点F1如图1当点E在

24、BC边得中点位置时6分 1) 猜测AE与EF满足的数量关系是。分 2) 连结点E与边得中点，猜测和满足的数量关系是分3) 请证明你的上述猜测分如图当点在边得任意位置时：分此时和有怎样的数量关系，并说明你的理由？E29、AC平分MAN，MAN=120，1在图1中，假设ABC=ADC=90，求证：AB+AD=AC 。(4分)2在图2中，假设MAN=120，ABC+ADC=180，则1中的结论还成立吗？假设成立请你给出证明，假设不成立请说明理由？4分30、如图1，在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，假设点在直线的异侧，直线于点，直线于点，连接1延长交于点如图2，求证：；求证：；2假设直线绕点旋转到图3

25、的位置时，点在直线的同侧，其它条件不变.此时还成立吗？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由；3假设直线绕点旋转到与边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断还成立吗？不必说明理由.题图1题图2题图3分析1证明：如图2.直线于点，直线于点，又为边中点，又在中，2成立.如图3. 证明：延长与的延长线相交于点.直线于点，直线于点，又为中点， 又则在中，3成立. 31、如图1，正方形的边在正方形的边上，连接1试猜测与有怎样的位置关系，并证明你的结论.2将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和你认为1中的结论是否还成立？假设成立，给出证明；假设不成立，请说明理由.解：1答：1分证

26、明：延长交于点在正方形与正方形中，3分5分2答：成立.6分证明：延长和相交于点在正方形与正方形中，8分又又10分99、，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点不与A，B重合，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点1如图1，当点P与点Q重合时，试判断AE与BF的位置关系，QE与QF的数量关系；2如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；3如图3，当点P在线段BA或AB的延长线上时，此时2中的结论是否成立？请画出图形并给予证明考点：全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线分析：1证BFQAEQ即可；2证FBQDAQ，推出QF

27、=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；3证AEQBDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可解答：解：1AEBF，QE=QF，理由是：如图1，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，BFQ=AEQ，在BFQ和AEQ中BFQAEQAAS，QE=QF，故答案为：AEBF，QE=QF2QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，AEBF，QAD=FBQ，在FBQ和DAQ中FBQDAQASA，QF=QD，AECP，EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，QE=QF=QD，即QE=QF32中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，AEBF，1=D，在AQ

28、E和BQD中，AQEBQDAAS，QE=QD，BFCP，FQ是斜边DE上的中线，QE=QF100、 (1) 如图(1)，：在ABC中，BAC90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m, CE直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有BDA=AEC=BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立如成立,请你给出证明;假设不成立,请说明理由.(3)拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点D、A、E三点互不重合,点F为BAC平分线上的一点,且AB

29、F和ACF均为等边三角形，连接BD、CE,假设BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状.ABCEDm图1图2图3mABCDEADEBFCm分析：1因为DE=DA+AE，故通过证，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE.2成立，仍然通过证明，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD.3由得BD=AE，与均等边三角形，得，FB=FA，所以，即，所以，所以FD=FE，再根据，得，即，故是等边三角形.ABCEDm图1证明：(1)BD直线m,CE直线mBDACEA=90BAC90BAD+CAE=90BAD+ABD=90CAE=ABD又AB=ACADBCEAAE=BD，

30、AD=CEDE=AE+AD= BD+CE3分图2mABCDE(2)BDA =BAC=，DBA+BAD=BAD +CAE=180DBA=CAEBDA=AEC=，AB=ACADBCEAAE=BD，AD=CEADEBFCOm图3DE=AE+AD=BD+CE6分3由2知，ADBCEA， BD=AE，DBA =CAEABF和ACF均为等边三角形ABF=CAF=60DBA+ABF=CAE+CAFDBF=FAEBF=AFDBFEAFDF=EF，BFD=AFEDFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60DEF为等边三角形.点拨：利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.三角形培优训练专题【三角

31、形辅助线作法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用三线合一的性质解题，思维模式是全等变换中的对折。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的旋转。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的*一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的

32、对折，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的*点作边线，构造一对全等三角形。4、过图形上*一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的平移或翻转折叠。5、截长法与补短法，具体做法是在*条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将*条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。*线段的垂直平分线，则可以在垂直平分线上的*点向该线段的两个端点

33、作连线，出现一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把*点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的角相等，构造二个角之间的边相等1、，如图ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值围.2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比拟BE+CF与EF的大小.3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.4、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系1如图当

34、为直角三角形时，探究：AM与DE的位置关系和数量关系；2将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AB，AD平分BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。求证：PC-PBAC-AB。26、如图2-7-5，从等腰RtABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE。求证：CDF=ADE。27、在ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.1当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ADCCEB；DEADBE；2当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DEADBE；3当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关

35、系？请写出这个等量关系，并加以证明。28、：ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60角的顶点E在BC上滑动，点E不与B、C重合，斜边和ACM的平分线CF交于点F1如图1当点E在BC边中点位置时 1) 猜测AE与EF满足的数量关系是。 2) 连结点E与边得中点，猜测和满足的数量关系是3) 请证明你的上述猜测如图当点在边得任意位置时：此时和有怎样的数量关系，并说明你的理由？E29、AC平分MAN，MAN=120，1在图1中，假设ABC=ADC=90，求证：AB+AD=AC 。2在图2中，假设MAN=120，ABC+ADC=180，则1中的结论还成立吗？假设成

36、立请你给出证明，假设不成立请说明理由？30、如图1，在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，假设点在直线的异侧，直线于点，直线于点，连接1延长交于点如图2，求证：；求证：；2假设直线绕点旋转到图3的位置时，点在直线的同侧，其它条件不变.此时还成立吗？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由；3假设直线绕点旋转到与边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断还成立吗？不必说明理由.题图1题图2题图331、如图1，正方形的边在正方形的边上，连接1试猜测与有怎样的位置关系，并证明你的结论.2将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和你认为1中的结论是否还成立？假设成立，给出证明；假设不成立

37、，请说明理由.32、等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，ABC的高为h。 假设点P在一边BC上如图1，此时h3=0,可得结论h1+h2+h3h请直接应用上述信息解决以下问题：AEDCAMPBMAFEDPCBPDMCBFE当点P在ABC如图2、点P在ABC外如图3这两种情况时，上述结论是否还成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜测，不需证33、在RtABC中，A90，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FGBC交AB于G，求证：AEBGABCDEFG34、如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为

38、边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC1求AEB的大小；CBODAEBAODCE2假设OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转OAB和OCD不能重叠，求AEB的大小.35、如图，图1等腰与等腰共点于，且，连结、，假设、求证：；假设将等腰绕点旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，与还相等吗？为什么 请你用图2加以证明36、如图1，中，点、是线段上两动点，且，于，交于点，直线交直线于.判断的形状，并说明理由.如图2，假设点、是直线上两动点，其他条件不变，判断的形状，并说明理由.37、如图1，在等腰直角中，为的中点，为上

39、一动点，在上，且满足，于. 求证： 如图2，点在的延长线上，其他条件不变，中的结论是否成立？ 在图3中画出当点在延长线上的情况，并给出相应的证明； 还有什么样的情况？在图4中画出图形，给出证明.38、，如以下图，BACBCA,BDCD,CEAB,求证：AE2AD。39、如图，ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，使得CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：CMN是等边三角形。40、如图，在ABC中，点D、E在边BC上，CAEB，E是CD的中点，且AD平分BAE.ABCDE当BAC=90时，求证：BD=AC.当BAC90时，是否还有BDAC成立

40、？假设成立，请说明理由；假设不能，也说明理由。41、：如图，中，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点1求证：；2求证：；3与的大小关系如何？试证明你的结论42、如图1，一等腰直角三角尺的两条直角边与正方形的两条边分别重合在一起现正方形保持不动，将三角尺绕斜边的中点点也是中点按顺时针方向旋转1如图2，当与相交于点与相交于点时，通过观察或测量，的长度，猜测，满足的数量关系，并证明你的猜测；2假设三角尺旋转到如图3所示的位置时，线段的延长线与的延长线相交于点，线段的延长线与的延长线相交于点，此时，1中的猜测还成立吗？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由图1图2图343、如图1，的

41、顶点在的边上不与、重合，且，点为的中点，直线交直线于点.1 猜测与的关系，并加以证明；2 当绕点旋转，其他条件不变，中的结论是否始终成立？假设成立，请你写出真命题；假设不成立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的结论不需要证明44、如左图，中，一个直角三角板的直角顶点放在的中点处，绕点旋转，两直角边分别交于，交于.求证：，如右图，将三角板继续旋转，两直角边分别交延长线于，交延长线于.中的结论是否正确？说明理由.45、如图，线段，点在的下方，假设，在的上方作，且，作，且，连接，取的中点，连接，试判断的形状并证明。假设与不相等，其他条件不变，1中的结论还成立吗？给出证明。46、如图1，等腰直角与

42、等腰直角有公共顶点，点、在同一条直线上，判断与的关系并加以证明.如图2，等腰直角与等腰直角有公共顶点，点、不在同一条直线上.判断与的关系并加以证明.47、如图，与中，.与交于点.判断与的数量关系并加以证明.猜测与的关系并加以证明.48、如图，在中，是边上的中线，平分交于，于，分别交、于、。猜测与的数量关系并证明.49、如图1，锐角中，为边上一点，为直线上一点，连接、，使得.猜测线段与的数量关系并证明；如图2，假设将锐角改为钝角，其他条件不变，中的结论是否正确？假设正确，请你给出证明；假设不正确，请你说明理由.50、如图，中，为边上一点，为射线上一点，且满足。请你在图中找出满足条件的点，并探究与

43、的关系.51、如下图，D在AC上，ABC、ADE是等腰直角三角形，M是EC中点。1探究：线段MD、MB的关系，并加以证明；2把ADE绕点A逆时针旋转135，其他条件不变，画出相应的图形，上述结论是否成立？3将ADE绕点A逆时针旋转任意角度后，其他条件不变，线段MD、MB的关系，并加以证明。52、如图1，正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG1连接GD，求证：ADGABE；2连接FC，观察并猜测F的度数，并说明理由；图2MBEACDFGNNMBEACDFG图13如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b

44、a、b为常数，E是线段BC上一动点不含端点B、C，以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上判断当点E由B向C运动时，F的大小是否总保持变在ABC中，B=60，AD，CE分别是BAC，BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你判别并写出FE与FD之间的数量关系；并证明你的结论54、如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点点G与B、C不重合，AEDG于E，CFAE交DG于F请你经过观察、猜测线段FC、AE、EF之间是否存在一定的数量关系？假设存在，证明你的结论；假设不存在，请说明理由55、如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂

45、线，垂足分别为E、F点过C点作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明56、线段AC上有一动点B，分别以AB、BC为边向线段的同一侧作等边三角形ABD和BCE连接AE、CD如图，假设MN分别为AE、CD的中点1求证：AM=；2求MBN的大小；57、在ABC中，BC=2AB, B=2C，求证：A=9058、如图，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求证：AC=BF。59、如图，ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，求证EF=2AD。60、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD+BC，M是

46、CD的中点，求证：AM、BM分别平分DAB和CBA。61、如图，在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点，DE与CF交与M点，连接AM,求证：AM=AD。62、1如图，B、C、E三点共线，且ABC与DCE是等边三角形，连接BD、AE分别交AC、DC于M、N点，且AE、BD交于P点，求APB的度数。2如果1题中的B、C、E三点不共线，其他条件不变，如上右图所示，求APB的度数。3如果1题中ABC与DCE都是等腰直角三角形时，其他条件不变，如以下图所示，求APB的度数。4如果ACB与DCE都是以为顶角度数的等腰三角形时，其他条件不变，如上右图所示，求直线AE与直线BD夹角的度数。63、在

47、ABC中，AB AC，点D是直线BC上一点不与B、C重合，以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD AE，DAE BAC，连接CE1如图1，当点D在线段BC上，如果BAC 90，则BCE 度；2设BAC ，BCE 如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论64、正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CFBE，垂足为F，连接OF，求OF的长65、1如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所

48、在直线翻折得到AMN，连接AC，求AC长度的最小值。2如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45，求BD的长66、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，ABO和CDO均为等腰直角三角形,AOB=COD =90假设BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积 ADCOBEBOCDA 图1 图2小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想方法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证OBEOAD, 从而得到的BCE即是以AD、BC

49、、OC+OD的长度为三边长的三角形如图2IHGFABCDE请你答复：图2中BCE的面积等于请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决以下问题：如图3，ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID1在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长 度为三边长的一个三角形保存画图痕迹；2假设ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于图367、：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CHAB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足EDA=A，直线DE交直线CH于点F (1) 求证：BFAC； (2) 假设

50、AC边的中点为M，求证：； (3) 当AB=BC时如图2，在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论68、在中，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。 1 假设且点与点重合如图1，线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数； 2 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜测的大小用含的代数式表示，并加以证明； 3 对于适当大小的，当点在线段上运动到*一位置不与点，重合时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的围。69、：如图，ABC中，AB=AC，CDAB于D。求证：BAC=2DCB 70、如图，在等边三角形AB

51、C中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=CD，DMBC，垂足为M。求证：M是BE的中点。71、：如图，ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE。求证：CE=DE.72、如图，ABC为等边三角形，且四边形ADFE的面积和BFC的面积相等，求DFB的度数。73、如图，在ABC中，ACB=90，ADAB，且AD=AB，BEDC，AFAC，BE、AF交于点F。求证：CF是ACB的角平分线。74、如图，在中，、分别为边、的高，为的中点，于求证：75、如图，点C在线段AB上，ADEB，AC=BE，AD=BC，CF平分DCE试探索CF与DE的位置关系，并说明理

52、由76、1：P为正方形ABCD一点，且PA=1，PB=2，PC=3，求APB的度数。2：P为等边ABC一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度数。3如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，求BEQ周长的最小值。4如图，矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，假设ABE是等边三角形，求的值。77、如图，ABC中，AB=AC，D、E、F分别为AB，BC，CA上的点，BD=CE，DEF=B1求证：BDECEF；2假设A=40，求EDF的度数78、如图，四边形ABCD是正方形，E是正方形一点，以BC为斜边作直角

53、三角形BCE，又以BE为直角边作等腰直角三角形EBF，且EBF=90，连结AF。ADCEBF1求证：AF=CE；2求证：AFEB；3假设AB=，求点E到BC的距离。79、1：如图，在AOB和COD中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=60，求证：AC=BD；APB=60度；2如图，在AOB和COD中，假设OA=OB，OC=OD，AOB=COD=，则AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为_；3如图，在AOB和COD中，假设OA=kOB，OC=kODk1，AOB=COD=，则AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为80、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，B、C、G三点在一条直线上，且边长分别为2和3，在BG上截取GP2，连结AP、PF.1观察猜测AP与PF之间的大小关系，并说明理由.2图中是否存在通过旋转、平移、反射等变换能够互相重合的两个三角形？假设存在，请说明变换过程；假设不存在，请说明理由.3假设把这个图形沿着PA、PF剪成三块，请你把它们拼成一个大正方形，在原图上画出示意图，并请求出这个大正方形的面积.81、如图，ABC与ADE都是等边三角形，连结BD、CE交点记为点F1BD与CE相等吗？请说明理由2你能求出BD与CE的夹角BFC的度数吗？3假设将条件