热传导第一章

1、热 传 导 教师(jiosh) 王迅共一百零二页参考文献Conduction of Heat in SolidsH.S.Carslou and J.C.Jaeger,Oxford Univ. Press, 1959热传导张洪济，高等教育出版社热传导M.N.奥齐西克，高等教育出版社热传导理论与方法林瑞泰编著(binzh)，天津大学出版社数学物理方法梁昆淼编，高等教育出版社共一百零二页成绩：平时成绩试卷成绩平时成绩：报告(bogo)（课上讲的+查相关资料）作业课堂表现共一百零二页第一章 导热的理论(lln)基础热传导1、定义：指温度不同的物体各部分或温度不同的两物体间直接接触时，依靠分子、原子及自

2、由电子等微观粒子热运动而进行的热量传递现象。2、物质属性(shxng)：可以在固体、液体、气体中发生。共一百零二页3、导热的特点： (a) 必须有温差； (b) 物体直接接触(jich)，不发生宏观的相对位移； (c) 依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动而传递热量。纯导热只发生(fshng)在固体中共一百零二页一、温度场与热流场 温度场：某一瞬间，空间（或物体）所有温度点分布的总称。 温度是一种无方向的量，即标量。 温度场是空间坐标(zubio)和时间的函数。在直角坐标(zh jio zu bio)系中可表示为 t=f(x, y, z, t)第一节 傅立叶定律共一百零二页温度场分类（以直

3、角坐标系为例）：（1）按时间划分稳态温度(wnd)场：物体各点温度(wnd)不随时间改变。非稳态温度场：温度分布随时间改变。（2）随空间变化 一维、二维和三维稳态温度场。如共一百零二页 热流场：热流在某一瞬间的空间中的分布(fnb)。 热流或热流密度是一种既有方向又有大小的矢量。 在直角坐标(zh jio zu bio)中共一百零二页二、等温面和温度梯度等温面：物体内同一瞬间温度相同的点的集合所构成的面称为等温面。等温线：在二维情况下，等温面为一等温线。 特点(tdin)：（1）温度不同的等温面或等温线彼此不能相交；（2）在连续的温度场中，等温面或等温线不会中止，它们或者是物体中完全封闭的曲面

4、（曲线），或者就终止与物体的边界上。共一百零二页（3）物体中等温线较密的的地方(dfng)说明温度的变化率大，导热热流也较大。温度(wnd)变化率与温度(wnd)梯度 ： 温度变化率：在物体内某一点处，沿空间某一方向s的温度的变化率，或称为温度场沿该方向的方向导数。共一百零二页温度沿某一方向s的变化率在数学上可以用该方向上温度对坐标的偏导数(do sh)来表示，即温度梯度：对于确定的空间点，在空间各方向上最大温度变化率称为(chn wi)该点的梯度。系统中某一点所在的等温面的法线方向是最大温度变化方向。该方向的温度变化率即为温度梯度，记为gradt。共一百零二页温度梯度是用以反映温度场在空间的

5、变化(binhu)特征的物理量。等温面和热流(rli)方向示意图温度梯度在直角坐标系中的表示注：温度梯度是向量；正方向朝着温度增加的方向。共一百零二页三、傅立叶定律 它是一种(y zhn)实验定律。1822年法国数学家Joseph Fourier提出的。 物理意义：（1）物体某处的温度梯度是引起物体内部(nib)及物体之间热量传递的根本原因。（2）热流密度q是矢量。热流方向总是与等温面（线）垂直，并指向温度降低的方向。共一百零二页适用(shyng)条件：（1）傅立叶定律适用于有、无内热源，常物性或物性随温度变化，任何几何形状，（非）稳态，各种物态（固、液、气）。（2）适用于特定的时间、特定的地

6、点的局部值。（3）适用于各向同性( xin tn xn)的介质。（4）不适用于非傅立叶导热的情形。在直角坐标系中，投射表达式为共一百零二页四、傅立叶定律(dngl)的局限性傅立叶定律的假定导热研究中的连续性假定。只要所要研究物体的几何尺寸远大于分子间的平均自由(zyu)行程这种连续性假定总成立。如一个大气压、室温的空气分子的平均自由行程约为0.07mm.傅立叶定律适用的前提是热扰动传播速度是无限大 。 对一般工程问题，非稳态导热的热流密度不很高，过程作用的时间足够长、过程发生的尺寸范围足够大，傅立叶导热定律完全适用。共一百零二页傅立叶定律不适用的情况：导热物体的温度接近绝对零度时（温度效应）。

7、如在1.4K的液氮中，热传播速度c仅为19m/s。当过程的作用时间与材料的固有时间尺度相接近时（时间效应）。热传播速度无限大假设不成立。当过程发生的空间尺度(chd)极小，与微观粒子的平均行程相接近时（空间效应）。连续性假定不成立。共一百零二页所谓(suwi)微机电系统是指几何尺寸在1mm到1mm之间的期间所组成的系统。新技术对传统傅立叶导热提出(t ch)挑战时间空间共一百零二页 其中：a导温系数，c热传播速度。to称为驰豫时间，它反映导热系统趋近新的平衡状态的速度，其数量级与分子(fnz)二次碰撞的时间间隔相同。它是材料本身固有的时间尺度。 对一般金属其值在10121013 s左右傅立叶定

8、律(dngl)的修正式：共一百零二页 讨论：（1）对于稳态导热，热流密度矢量不随时间变化，传播相（左边第一项）的影响消失，傅立叶定律(dngl)精确成立。（2）在通常情况下，热扩散率比热传播速度的平方约小10个数量级 ，传播项的影响可忽略不计，此时傅立叶定律仍然适用。共一百零二页（3）在一些超常情况下，如深冷（c很小）、急速加热或冷却、超高热负荷等（ 很大），才必须考虑热传播项的影响(yngxing)。 例如在1.4K的液氮中，热传播速度c仅为19m/s，传播项的影响不可忽略不计。共一百零二页第二节 导热(dor)系数一、导热系数 导热系数的定义由傅立叶定律给出： 导热系数在数值上等于单位温度

9、降度（即1/m）下，在垂直于热流(rli)密度的单位面积上所传导的热流(rli)量。导热系数是表征物质导热能力大小的宏观物理量。共一百零二页1、物态的影响 一般(ybn)地，固体的导热系数最大，液体次之，气体最低。这一特性也适用于同一物质的不同集态。导热系数(xsh)的特点：物质导热系数气体氢氦甲烷空气二氧化碳0.1810.1530.0340.0260.017液体水银水氨乙二醇甲醇润滑油8.520.6100.4790.2580.2080.086固体(純金属)银铜金铝镁镍铁白金铅钛42739831523715690.580.371.435.221.9固体(合金)黄铜（Cu-40Zn）焊锡碳素钢（

10、S35C）不锈钢(SUS304)钛合金(Ti-6Al-4V)12346.543.016.07.60固体(非金属)蓝宝石冰（273K）冰石英玻璃钠玻璃丙烯酸（类）树脂46.02.201.381.030.21可由理论精确地预测导热系数的情况很少，通常使用的导热系数是由实验得出。 共一百零二页2、固体 固体中的热量传递是自由电子的迁移和晶格振动相叠加两种作用的结果.（1） 金属的热导率 纯金属的导热系数：依靠(yko)自由电子的迁移和晶格的振动，主要依靠(yko)前者。金属的导热系数与其导电率呈正比（除了铁等几种金属以外）。 在纯金属中掺入杂质(zzh)后，合金的导热系数明显降 低，合金的导热系数不

11、一定与掺入比例呈反比。 晶格振动的加强干扰自由电子运动。共一百零二页金属的导热系数一般随温度的升高而降低，而其它(qt)材料的导热系数则升高。（2）非金属的热导率非金属的导热：依靠晶格的振动传递(chund)热量；比较小。共一百零二页温度升高、晶格振动加强、导热(dor)增强保温材料：国家标准规定，温度低于350度以下(yxi)热导率小于 0.12W/(mK) 的材料（绝热材料）。大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构。多孔材料的热导率与密度和湿度有关。共一百零二页3、气体(qt) 气体的导热可以理解为依靠(yko)分子间碰撞产生了分子的回转、平行运动动能的交换，分子动能从高的地方向低的地

12、方传递。根据分子运动理论，单原子理想气体的导热系数可以表示为下式：气体分子运动的均方根速度：气体分子在两次碰撞间平均自由行程：气体的密度；：气体的定容比热共一百零二页气体的压力升高时，气体的密度增大(zn d)、平均自由行程减小、而两者的乘积保持不变。除非压力很低或很高，在2.6710-3MPa 2.0103MPa范围内，气体的热导率基本不随压力变化。 气体的温度升高时，气体分子运动速度和定容比热随T升高而增大(zn d)，导致气体的热导率随温度升高而增大(zn d)。共一百零二页氢和氦氢和氦的导热系数(xsh)比其他气体高得多。共一百零二页4、液体 与气体相比,液体的分子间距变小，分子间相互

13、作用变大。由于这个原因，液体能量传递主要依靠分子的振动（声子）。但是(dnsh)，液体不如晶体分子排列有规律性而且分子在液体内运动，因此它的导热机理比固体和气体更复杂。 随着温度升高，液体的导热(dor)系数一般降低。共一百零二页 水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度(wnd)而变化。在不同温度(wnd)下，导热系数随温度(wnd)的变化规律不一样。 液体的导热系数随压力(yl)p的升高而增大。共一百零二页5、导热(dor)系数的影响因素物质的导热系数会因状态参数的不同而改变，是一个物性(w xn)参数，与材料种类和温度有关。导热系数的影响因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密

14、度等。共一百零二页导热系数与温度(wnd)一般把导热系数仅仅视为温度的函数，而且在一定温度范围内可以用一种线形关系来描述：共一百零二页6、各向异性材料的导热(dor)系数各个方向上导热系数都相同的均匀物质(wzh)，称为各向同性介质。不同方向上导热系数不相同的物质，称为各向异性介质。例如木材、石墨、晶体等。导热系数的方向性使得各向异性材料的导热规律变得复杂。共一百零二页导热系数用矩阵(j zhn)可表示为一般地，导热系数具有如下特性(txng) 对称性 存在导热系数主轴共一百零二页当坐标系按导热(dor)系数主轴选取时，各向异性材料的导热(dor)系数可表示为l1、l2和l3称为主导热系数。主

15、导热系数不会随坐标系的变动而变化。各种各向异性材料的导热系数都可以(ky)转换成主导热系数的形式。共一百零二页（2）均匀、各向异性。木材(mci)、石墨和变压器铁心等（图b）。（3）不均匀，各向同性。空心砖（图c）。（4）不均匀、各向异性。不同材料压制的多层板。飞行器燃烧室的层板结构（图d）。7、工程导热材料的一般分类工程技术中采用到导热材料与结构可以分为四类：（1）最广泛使用(shyng)的是均匀、各向同性的导热材料（图a）。共一百零二页第三节 各向异性( xin y xn)介质中的导热问题：各向异性材料导热(dor)与各向同性材料导热(dor)相比有何不同？选取直角坐标系（x, y, z）

16、，材料固有导热系数主轴为（ x1, y2, z3）。共一百零二页在各向异性介质中，温度场、等温面和温度梯度和热流向量的概念仍然适用。各异性主轴的导热系数为常数，在此方向上与一般各向同性介质无异，可应用(yngyng)傅立叶定律。即共一百零二页不同坐标系下热流密度的转换(zhunhun)li，mi，ni是x1，y1，z1与x、y和z的夹角余弦（或方向余弦）i=1，2和3。共一百零二页两坐标系之间温度梯度的转换(zhunhun)提示：（x, y, z）(x1,y1,z1)转换(zhunhun)矩阵为CT。（x1,y1,z1) （x, y, z）转换矩阵为C。共一百零二页 坐标系（x, y, z）中

17、 热流(rli)密度与温度梯度之间的关系即共一百零二页讨论： 1、各向异性材料沿各方向的导热系数不相同，此时(c sh)导热系数不再是标量，而是张量。热流密度的方向不仅与温度变化率有关，而且还与导热系数的方向有关。于是，此时热流密度一般不再保持与等温面相垂直。 2、在各向异性材料中，不仅与该方向的温度变化率有关，而且还受其它方向上的温度变化率的影响，但不同方向上的温度变化率对热流密度的影响不同。共一百零二页2维各向导(xingdo)热异性问题共一百零二页讨论：当b=0时，（x, y）与（x, h）两坐标系重合若lh lx，温度梯度的负方向与热流(rli)密度方向不一致。若lh=lx，温度梯度的

18、负方向与热流密度方向一致。共一百零二页第四节 热传导方程(fngchng)一、问题的提出 傅立叶定律是否能完全描述导热现象？为什么？ 傅立叶定律只揭示了连续温度场内每一点温度梯度与热流密度之间的关系，如果知道了温度分布就能得到(d do)相应的热流分布。共一百零二页傅立叶定律没有说明(shumng)某点的温度与它相邻点温度的关系，也没有回答该点温度如何随时间变化。导热微分方程就是(jish)要揭示连续温度场随空间坐标和时间变化的内在联系。共一百零二页热传导方程的推导(tudo)基于：(1)热力学第一定律(2)傅立叶定律二、热传导方程(fngchng) (不依赖于坐标系）共一百零二页1、一般导热

19、(dor)积分方程热力学第一定律：导入控制(kngzh)体的净热量控制体内热源的发热量控制体中物质热力学能的变化量注：dA的方向（n）是向外法线方向，负号表示热流指向控制体内部，此式是导热能量方程的积分式。共一百零二页 2、导热微分方程的导出 由散度定理(dngl) div表示散度，表示纳布拉算子 于是积分方程变为此式是导热(dor)能量方程的微分形式。共一百零二页导热微分方程(wi fn fn chn)和导热积分方程的一般形式。若将e=ct代入，得提示：该导热微分方程不依赖坐标系，并且只是应用了热力学第一定律。可在此基础上导出适合各向同性或各向异性( xin y xn)的导热方程。共一百零二

20、页3、各向同性材料的导热(dor)方程 将q=-lt代入上述关系式，得 得到了导热积分方程(fngchng)和导热微分方程。条件：满足傅立叶定律的适用条件。共一百零二页圆柱(yunzh)坐标系直角坐标(zh jio zu bio)系球坐标系共一百零二页几种特殊的导热微分方程： （1）对于常物性材料(cilio)，l、c、r都是常量。方程变为傅立叶毕渥方程。 2拉普拉斯算子，a为导温系数。 对于直角坐标共一百零二页柱坐标系球坐标系共一百零二页（2）条件(tiojin)同（1），无内热源时qv=0，有（3）对于稳态导热(dor)，常物性称为泊桑（Possion）方程（4）进一步简化，无内热源： 该

21、方程称为拉普拉斯方程。热扩散方程。共一百零二页a =l/(rc)为导温系数（热扩散率）。它反映了导热过程中材料的导热能力（l）与沿途物质储热能力（rc）之间的关系。a值大，即l值大或rc值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散。它表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋于均匀一致的能力，所以(suy)a反映了导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量。 共一百零二页第五节 单值性条件(tiojin) 一个(y )具体的温度场，不仅依赖于导热方程，而且还取决于过程进行的特定条件。 使一个具体过程服从同一导热方程的所有各种导热过程中单值地确定下来的必需具备的条件，称为单

22、值性条件。单值性条件包括： （1）几何条件；（2）物性条件； （3）时间条件；（4）边界条件。共一百零二页一、几何条件 说明物体的形状与大小，若是各向异性材料还应给出导热系数的主轴方向(fngxing)。 根据需要将物体简化成半无限大物体、无限大物体和组合平板等。二、物理条件 给定各种有关物性量的值。一般包括：（1）物性是常物性。共一百零二页（2）物性(w xn)是变物性(w xn)。 （a）随温度变化， （b）与材料取向有关，即随空间变化。（3）有无内热源，以及内热源分布。几何条件和物理条件通常体现(txin)在导热微分方程的简化和坐标系的选取中。共一百零二页四、边界条件边界条件是描述在区域

23、边界上过程进行的特点。边界条件建立基础：（1）连续性（2）能量守恒1、第一类边界条件规定了边界上温度分布及其随时间(shjin)的分布。 此类条件又称为狄利克莱（Dirichlet）条件。共一百零二页2、第二类边界条件纽曼(Neumann)条件给出了边界(binji)表面上各点的热流密度值。特例(tl)：恒热流：绝热条件：共一百零二页3、第三类边界条件给定(i dn)边界表面上各点与周围流体之间的对流换热系数及周围流体温度。能量守恒定律：对流换热量(rling)物体边界面S的导热量(rling)导热量：对流换热量：第三类边界条件表示为共一百零二页第三类边界条件又可称为罗宾(Robin)条件。以

24、上三种(sn zhn)边界条件的物性参数若为常数，则边界条件是线性边界条件。应注意(zh y)式中的已知条件是tf和h。未知条件是和更一般地共一百零二页第三类边界条件的转换(zhunhun)：h时，因tw=tf，转化(zhunhu)为第一类边界条件。h=0时，转化为第二类边界条件。若 已知，这就是给定的第一类边界条件。若 知道，则是第二类边界条件。共一百零二页4、内部边界条件(tiojin)（接触条件(tiojin)，第四边界条件(tiojin)）（1）完全接触（理想情况）（2）不完全接触（实际情况）共一百零二页边界条件建立(jinl)的基础（1）连续性，（2）能量守恒。对完全接触（理想(lx

25、ing)情况）：对不完全接触：温度不连续（接触热阻）热流量连续（能量守恒）共一百零二页设接触(jich)热阻为边界条件为式中负号表示温度梯度的方向是外法线，两接触物体(wt)外法线方向相反。5、辐射边界条件即使系数均为常数，该边界条件也是非线性条件。共一百零二页6、若辐射与对流(duli)并存导热微分方程和所给定的单值性条件提供了导热过程的共性和个性、内因和外因(wiyn)的完整的数学模型，可以运用数学方法求解，计算出不同时刻和不同位置上的温度和热流密度及其方向。共一百零二页第六节 无量纲的导热(dor)方程导热微分方程在一定单值性条件(tiojin)下，可以得到温度场的解，一般为引入无量纲变

26、量，可以减少变量数目，得出无量纲参数。以一维大平板为例加以说明。设平板内物性为常数，均匀内热源，板厚为L。共一百零二页其数学(shxu)描述为：方程(fngchng)初始条件边界条件有量纲方程得到的温度场的解为共一百零二页无量(wling)纲热源毕渥数傅立叶数定义(dngy)无量纲变量为无量纲温度无量纲坐标共一百零二页无量(wling)纲方程及边界条件为无量纲方程(fngchng)得到的温度场的解为显然变量数目大为减少，得出无量纲量 Fo，Bi。共一百零二页毕渥数与傅立叶数无量(wling)纲热阻无量(wling)纲时间Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点地温度就越接近周

27、围介质的温度。共一百零二页导热(dor)正问题和导热(dor)反（逆）问题导热问题的分类：（1）已知导热微分方程及单值性条件，求解物体内部的温度场，并根据温度场进而(jn r)求得热流密度和导热量，这类问题通常称为导热的正问题。（2）已知导热微分方程及部分单值性条件，用已知温度场的某些信息，求解另一部分未知的单值性条件，这类问题称为导热的反问题。共一百零二页导热微分方程(wi fn fn chn)+单值性条件稳定唯一解（适定）导热(dor)微分方程 +导热反问题不适定性求解困难导热反问题的复杂性还在于：抛物线形反问题，其不适定性更强；导热过程是一种耗散机制的物理现象共一百零二页反问题常见的类型

28、：（1）已知物体的几何条件和导热系数，根据测得的物体某处的温度估算( sun)通过物体表面的热流密度或物体的表面温度；（最常见）共一百零二页（2）当边界条件为第三类边界条件时，根据测得的物体某处或某几处温度随时间的变化估算物体的热物性，在某些情况下，还可以(ky)估算对流换热系数随时间的变化；（3）对伴有化学反应热、电加热、摩擦生热等内热源的导热问题，当内热源为未知项时，亦可能利用已知的边界条件，估算内热源项。共一百零二页例：常物性、无内热源大平板(pngbn)板厚为L，初始条件为均匀温度ti，平板左壁面绝热，已知平板内某处b的温度变化规律，欲求右边界处壁面温度及热流密度。（该问题就是导热反问

29、题）该问题的数学(shxu)描述为这里是用平板内b处的温度信息，推算x=L边界处的温度和热流密度。共一百零二页 可以看出，若为导热正问题，在x=L处的条件应该是给定的，待求的是物体内各点的温度(wnd)随时间的变化；而导热反问题，待定的是已知一个或几个物体内点处的测点得到的温度(wnd)值，反求x=L处的温度或热流密度。 此外，还有 （1）反求物理条件求和a等（卫星探测，地球表面温度，求土壤物性；激光导热仪，测材料表面温度）。 （2）反求几何(j h)条件探伤。共一百零二页第七节 热传导问题(wnt)的求解方法一、研究导热问题的方法：一般分为(fn wi)三类:解析法、数值解法和实验解法。 1

30、、解析法解析法是以数学分析为基础求解导热问题的方法，其所得解析函数形式的解，常称作分析解或理论解，由于分析杰在求解的整个区域内都能精确的满足导热微分方程和单值性条件，因此又称为精确解。共一百零二页分析解的优点： 1、解的形式为函数形式，便于分析； 2、认识基本传热问题的主要特征； 3、校验数值解的可靠性 总之，分析解法的物理概念明确、逻辑推理清晰、求解(qi ji)过程严密。分析解的局限性： （1） 对于非线性导热问题、几何形作复杂的导热问题，分析解法常常无能为力； （2）解的形式常常是无穷级数，不便于工程应用。共一百零二页 2、近似解近似分析解法得到的解和分析解一样仍然具有解析函数的形式，但

31、它满足的主要定界条件，因此只能近似地反映物体内部温度分布。 特点：近似分析解即具有分析解的特征，又具有近似解的特征，与单纯的数值解相比近似分析解提供的结果既能清楚地揭示各种参数对问题的影响，又便于进一步分析计算。 3、数值解法： 对于非线性强，几何形状复杂，分析解和近似分析解通常(tngchng)无法求解。数值解法共一百零二页数值解法的指导思想是用时间和空间(kngjin)区域内有限个离散点（又称节点）上的温度近似值代替物体内实际的连续的温度分布，然后根据导热方程和边界条件推导出各节点间的相互关系，由此得到一组代数方程组（离散方程），求解该代数方程组可得到各节点上的温度值，即为物体内温度场的数

32、值解。节点多数值解精度高计算时间长。实验方法本课程只介绍分析解法（含近似解法）。共一百零二页分析导热问题的步骤：1、简化实际的导热问题2、建立(jinl)导热微分方程3、确定边界条件4、求解导热微分方程+单值性条件(tiojin)+求解方法温度场求解方法： 积分法、杜哈美尔法、格林函数法（热源法）、拉普拉斯变换法、分离变量法、积分变换法等。共一百零二页分离变量法 分离变量法是解线形(xin xn)偏微分方程的一种常用方法，特别是对于求解区域是矩形、柱体和球体的情形使用更为普遍。这种方法处理齐次问题或只有一个边界条件为非齐次情形非常方便。 分离变量法是将分离变量形式的试探解代入偏微分方程中，将求

33、解偏微分方程的问题转化为求解常微分方程组的问题，二、本课程(kchng)介绍的求解方法共一百零二页具有n个自变量的热传导方程分离成n个常微分方程，并在分离过程(guchng)中引入n-1个分离常数，然后求解此n个常微分方程，得到n个解满足边界条件的分离解。然后(rnhu)利用线性叠加原理，用全部分离解构成原导热问题的完全解。求分离解时常归结为求某些常微分方程边值问题的特征值、特征函数和范数。共一百零二页适用范围 主要用于求解线性、齐次问题。对于多维不含内热源的稳态问题，若只有一个边界是非齐次，仍可使用分离法。分离变量法也是其它求解方法的基础，如分离变量法导出的积分变换，为积分变换法求解微分方程

34、提供了理论(lln)基础。分离变量法为求解非齐次方程构造格林函数（热源法）提供了依据。共一百零二页积分变换傅氏变换法 该变换将偏微分方程(wi fn fn chn)中温度对空间坐标量的2阶偏导数暂时去掉，使问题转化成只含时间t一个自变量的常微分方程，或将n维转化成n-1维非稳态偏微分方程问题。拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换是几分变换的一种，通过变换去掉对时间变量的t的偏导数，使其转化为变换后函数的稳态问题。特别地，在一维非稳态导热情形下，通过拉氏变换得到一个只含一个空间变量的常微分方程。共一百零二页 拉式变换为齐次和非齐次线性导热问题的求解提供了一个系统而简便(jinbin)的方法，对于非齐次项

35、是时间的复杂函数时特别有效。 应用拉式变换求解的主要困难是变换后函数的解进行逆变换。共一百零二页热源法和格林函数法 物体中温度随时间的变化是由于内热源、边界热作用以及初始温度分布作用的结果(ji gu)。这些作用都可以看成是广义上的热源。因此物体中的温度场可以认为是某种热源造成的。这种热源可以是实际存在的，也可以是虚拟的。 一定类型的热源在无限大介质中所产生的温度场称为热源函数，或称为无限区域的格林函数。共一百零二页根据热源函数与温度场之间的关系，以基本类型的热源函数为基础求解导热问题(wnt)的方法称为热源法。它们可以适用于含内热源即非齐次的导热问题，而且在求解无内热源的非线性导热问题也有效

36、。热源法适用于求解无限大与半无限大物体的导热问题。格林函数法的适用范围则可扩展到有限物体。格林方法的关键在于构造一个合适的热源函数和格林函数。热源法和格林法实质也是一个分离变量法。共一百零二页近似积分解法精确分析解法只适合求解几何形状和边界条件都比较简单的线性导热问题。利用积分方程近似求解导热问题。比较复杂的可用近似解法。它的解仍然是解析函数的形式。它在整个求解区域(qy)的总体上满足系统的能量平衡，但对于给定的导热问题只是近似地满足。共一百零二页三、数值解法（自学） 数值解法的理论基础是离散数学，其基本思想是：用空间和时间区域内的有限个离散点（称为节点）上温度的近似值，近似代替物体内实际(shj)的连续温度分布，从而将要求解的导热问题的数学模型转化成由这些节点上的温度近似值按一定方式所组成的代数方程组（离散方程）。求解此代数方程组，