高中数学一题多解

1、高中数学一题多解思维训练“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分 支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”里所说的横向联系， 主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既 可以开拓解题思路， 巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发 展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。善于发现解题规律， 从中发现在一题多解的训练中， 我们要密切注意每种解法的特点,最有意义的简捷解法。例1已知复数z的模为2 ,求的最大值。解法一（代数法）：设2=* + yi(x、y w R),贝Ux2

2、 + y2= 4. z -i=：；x2 (y -1)2=5 -2y.yM2,二当 y=2 时,z-imax=3.解法二（三角法）：设 z = 2(cos【i sin 二),= t4cos28+ (2sin8-1)2二：/5 - 4sin f .,当sin8 = T时，z -imax = 3.解法三（几何法）：= 2,，点z是圆x2 +y2 =4上的点,z -i表示z与i所对应的点之间的距离如图1所示，可知当z = -2i时,解法四（运用模的性质）z -imax =3. z-i| z +|-i =2 + 1 =3而当 Z = -2i 时，Z -i =3: |Z T max =3.解法五(运用模的

3、性质)：2丫 zi =(zi)(zi) = zZ+ (zZ)i+1= 5+2I(z),(I(z)表 z 的虚部).T|(z)|M2,二2max =9-max =3.只需证1 一(ax by) - 0,2 -2(ax by) , 0,因为2,2/22a b =1,x y =1.所以只需证(a2 b2 x2y2) - 2(ax by) . 0,(a -x)2 (b - y)2 . 0.因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）证法3 :22a x ,a

4、x -, by2,2222.by.a x_- .ax by -22b2y2-匚:1.2即 ax by -1.分析4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。证法4:2222- a +b =1，x +y =1，二可设a = sin ： , b = cos: . x = sin ：, y = cos :ax by = sin.3 sin :cos_3cos : = cos(:工F)三1,22分析5数形结合法：由于条件x y -1可看作是以原点为圆心,ax

5、 by ax by -22 .的单位圆，而Va +b 联系到点到直线距离公式，可得下面证法。半径为（如图2）因为直线l:ax+by=0经过22圆x y =1的圆心O,所以圆上任意一点M（x,y）到直线ax +by =0的距离都小于或等于圆半径1,d = | ax +by | =| ax + by 区 1 = ax + by 1.即a分析1要证x、y、z,必须有x y = yz成立才行。此条件应从已知条件中得出。故 此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。证法1:2(z -x) -4(x - y)(y -z) = 0, 22z -2xz x -4xy 4xz 4y -4yz =0, (x z)

6、2 -2 2y(x z) (2y)2 =0, _2_(x z-2y) =0, x z -2y =0,故 x-y=y-z,即 X、y、z成等差数列。分析2由于已知条件具有 x - y, y -Z,Z - x轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。证法2:设x_y =a,yz=b,则 x z=a+b.于是，已知条件可化为：(a b)2 -4ab = 0= (a -b)2 = 0= a=b= x - y = y - z.所以x、V、z成等差数列。 b2简评 五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法 4、证法5的方法有适应条件的限

7、制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中， 根据题目的变化的需要适当进行选择。、2例3如果(z-x) -4(x - y)(y-z) =0，求证：x、y、z成等差数列。分析3已知条件呈现二次方程判别式 = b2 -4ac的结构特点引人注目，提供了构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。证法3 :当xy=0时，由已知条件知z-x =0 x = y =z，即X、y、Z成等差数列。 2当 x_y#0 时，关于 1的一元二次方程：(x_y)t(z x)t + (y z) =0,2其判别式=(z-x) _4(x_y)(y_z) =0,故方程有等根，显然t =为方程的一个根, 从而方

8、程的两根均为 1, y - z ,t1 t2 = =1=, x - y = y - z.由韦达定理知x-y即x、y、z成等差数列。简评：证法1是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法 2简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法3引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感文和启发。42,2例4已知x.y=1,求x |y的最小值。分析1虽然所求函数的结构式具有两个字母x、y，但已知条件恰有x、y的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。解法i :x y = 1, y = 1 - x.设 z=x2 +y2,则 z = x2 +(1 -x)2 =2x2 -

9、2x+1.; 二次项系数为2 , Q故z有最小值。-21一2父2 一2时,z最小值4 2 1( 2)2 =4 2分析2已知的一次式x + y =1两边平方后与所求的二次式22X y有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。2x y =1,. (x y)=1,即,+y2 =1 -2xy.222222、2xy 三 x y ,.x y _ 1 _(xy ).221x y ,2当且仅当1x = y =2时取等号。1 2-y的最小值为2分析3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段,利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。解法3 :x y =1,221

10、21211z = x y -仆型(y 22-2.1x = y =当 2时,22x +y的最小值为2分析4因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点,解的启发。解法4 :),22如图3, x y =1表示直线l，x y表示原点到直线1上的点P（x，y）的距离的平方。显然其中以原点到直线的距离最短。此时,|0 0 -1 |1),/APO= a ,则/ APB= 2a , PA=PB= Jt 一1 ,tPA寓福|晶cos2j1PA=丽8驻Ktj畔尸/+1322层3t2等号当且仅当设/APO=匕贝U/apb= 2;，pa=pb= tan：PA混PAPB cos2: =_cos2: = tan

11、 二21 -sin :一 2 sin ;21(1 -2sin ：)=(- sin ;_2-1)(1-2sin二+2sin 2 1-3 ,2,2 -3sin a。当且仅当2sin sin2：=sin a，即2时等号成立例9解不等式3胃2x遍5法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当2x-30时，不等式可化为32x-35 ?3x4（2）当 2x-3 0时，不等式可化为 3-2x+35?-1x0综上：解集为43 x 4或-1 x 3H 2x-3 5? 3xc4或1 二 x : 0综上：解集为x3x4-1x0）法三：利用等价命题法原不等式等价于32x-35或-52x-3-3,即3V x 4或-

12、1 x 0解集为x3 x 4或-1 x 0 法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为5 。3解集为x3x 4或-1 x 0 2的距离大于2 ,且小于2 ,由图得,2,不等式的几何意义时数轴上的点22二匕=1例10椭圆25 16的焦点是F1、F2 ,椭圆上一点P满足PF1 - PF2 ,下面结论正确的(B) P点有四个(A) P点有两个P点不一定存在P点一定不存在以F1F2为直径构圆,法一: TOC o 1-5 h z 知：圆的半径 r=c=316,故选dtan： =- ： 1,=-,由题意知当p点在短轴端点处-FFB最大，设一 F1PF2 一 244此时,FlPF2为锐角，与题设矛盾。故选 D

13、设 P(5cone,4sin6)由 PFjPF?,知 PFi1PF2 PF1PF2=0而2227 PF1 *PF2 = (5con 1-3,4sini)(5con 1 3,4sini) = 25con r - 9 16s i 二旧0二 con l- 一 9无解，故选D法五：设“讦2=6假设pFpF2则IPFil |PF21 = 6c住一舔2s 口?32|乐.严2必=10)11 U即：10 W6J2,不可能。故选D法六:2222con : F1 PF2|PF1 |2IPF2 I2-36 _ (IPF1I2|PF2|2)-2|PF1|PF2|-36_ 64 - 2|PFJPF2|IPF1IIPF2

14、I-2|PF1|PF2|一 2|PF1|PF2|32”1 - -IPF1IIPF2I(32I PF1 | | PF2 I)2-1=32-125-025故 NFiPF2#90 丁 PFi .L PF2不可能。故选D 法七:|PF 尸a+e为=5+35P(x0, y)IPF1I2 - |PF2|2=|FiF2 I2X0,|PFd=a-e0 =5-3%, PF PFr5 TOC o 1-5 h z 32322- 182-2二(5 - X0)(5一-刈)=10 x =50= X05525x =一丝|廿”3而在椭圆中|X0| - 5而3 8,故不符合题意，故选法八:设圆方程为:22X 丫 =9椭圆方程为

15、:25 16二1两者联立解方程组得:16x2 25y2 25 16= 16x2 25(9 -x2) =25 16=2-9x2 =25 16-25 9 =25 722225 7x y ,x 二 - 22 c二 19不可能，故圆* +丫 =9与椭圆2516 无交点即PF1不可能垂直PF2故选D1f (x) = x+ (x 皆 0)例11 求函数x 的值域法一：判别式法1y=x+21_0设x ,则 x -yx + 1= 0,由2A= y _40? y 2当 y=2 时 x2. 2x + 1 = 0? x= 1,因此当x = 1时,.1f(x)= x+ (x - 0)x 有最小值2,即值域为2,+ 0

16、0)法二：单调性法先判断函数_1f (x) = x + (x - 0)x的单调性任取0 x1f (X ) - f (x2)=(x -x2)(xx2 -1)xx2当0 0 Yx2 2 时即 f(x1)f(x2),此时 f(x)在(0,1上时减函数当2 x1x2 时，f(x1)f (X2)f(x)在(2,+ 8)上是增函数由f(x)在(0,1上是减函数,f(x)在(1,+)上是增函数,知X= 1时，f(x)有最小值2,即值域为2,+ 00)法三：配方法11f (x)= x+ - = ( , xx21+ 2, x - = 0,当 Vx时,x= 1 ,此时,仁)有最小值2, 即值域为2,+ )法四：基

17、本不等式法 TOC o 1-5 h z 1 212 1f (x) = x+ = (vx) + (万=)2 x= 2xx, xf(x)有最小值2,即值域为2,+ )2 人x + 2x+ af (x) = , x 1,+ oo) TOC o 1-5 h z 例12 已知函数x_ 1(1)当 2时，求函数f(x)的最小值；-(2)若对于任意x C 1，+ 2, f (x) 0恒成立，j求实数a的取值范围，11、2a = - f (x)= x+ 2+ 2 + 2 0)f(-,+ oo)由x 性质可知，T(x)在2上是增函数f (1)=- xC 1，+oo),所以f(x)在1，+多是增函数，f(x)在区

18、间1，+oc)上的最小值为2(2)法一：f _ x2 + 2x + a 在区间上1,+ oc),() x恒成立？ x + 2x + a 0恒成立222设 y=x + 2x+ a - xC1,+ oo)y_x + 2x+ a = (x+ 1) + a-1 在1,+内上增所以x=1时，ymin = a+ 3,于是当且仅当ymin = a+ 3 时，函数f(X) 恒成立，故 a -3法二：af (X)= X+ + 2, X C 1,+ oo) X当2。时，函数f(X)的值恒为正；当a 时，函数f (x) 0恒成，故a -3法三：2-_ x + 2x + a 在区间1,+ oc)上，() x恒成立？

19、x2 + 2x+a恒成立? a -x2-2x恒成立，故a应大于u _ I-2x, x C 1,+ 8)时的最大值-3 ,所以a -3例13设二次函数f(x)满足f(x_2)_ f Lx2)，且函数图象y轴上的截距为1,被 x轴截的线段长为2d2,求f(x) 的解析式2分析：设二次函数的一般形式f(x)_ ax bx c(a ),然后根据条件求出待定系数a,b,c法一： 2设 f (x) _ ax + bx+ c(a 丰 )由 f (x 2)_ f( X 2)，得：4a b= 又;.x1 -X2|=卓=22 同22 . b 4ac= 8a由题意可知c= 1 解之得:1a =, b = 2, c=

20、 12f(x) =1-x+ 2x+ 12法二：f (x 2) = f ( x 2),故函数y=“刈的图象有对称轴x= 一22.可设 y=a(x+ 2) + k函数图象与y轴上的截距为1,则4a+ k= 1又；被x轴截的线段长为x1 x2 =整理得：2a+k=0解之得:f(x) =1x+ 2x+ 12法三:f (x 2)- f( x 2),故f-函数y f (x)的图象有对称轴x- -2,又x1 x2 2v2y (x)与x轴的交点为:(2 2拒,0), (2+242,0)故可设ya(x+2+2后)1 f (0) = 1,a=-f (x) =1-x+ 2x+ 12例 14 设 a+lga=10 ,

21、 b+10b = 10,求 a+b的值。法一(构造函数)设 f(x) = x+lgx,贝u f=10= b+10b = lg10b+10b= f(10b),由于 f(x)在 (0，+oo)上是单调递增函数，所以a= 10b,故a+ b= 10b + b= 10。法二(图象法)因为a是方程x+ lgx= 10的一个根，也就是方程1gx= 10-x的一个根xb是方程x+10 = 10的一个根，也就是方程10 =10-x的一个根x令g(x)= 1gx , h(x)= 10 ,(x)= 10-x，在同一坐标系中作出他们的图象，如图所示:a是方程g(x)=(x)的根，即图中OA= a b是方程 h(x)

22、=(x)的根，即图中OB= b 易得 OA+OB=10 ,所以 a+ b= 10法三：方程 x+lgx=10 x+10 x=10 的根为 a , b 由 x+10 x = 10,得 10 x=10 x= lg(10-x) x x+ 1g x= 10 . . lg(10-x) + Igx = 10即 x(10 -x) = 1010 即 x2 -10 x+ 1010 = 0 x1 + x2 = 10(虚根 0a n+1 an = n + 3 n + 2 (n + 2)(n + 3) - an+1 an法二：作商an 0n2an _ n + 2 _ n(n+ 3)_ n + 3nan+1n + 1(

23、n+ 2)( n + 1) n2 + 3n + 2n + 3an an+1方法三：(单调性)n n+ 2 -22an _ _ 1 -n+2 n+ 2n+2, an关于门单调递增, , an an+1方法四：（此法重理解，不适合数学解答）an =-浓度法 把 n+2看成是一杯溶液（糖）的浓度，随着n的增大（相当于向溶液中加糖）浓度 当然增大，易得an且b同1hr均为常数）的图像上.（1 ）求r的值;(11)当 b=2 时，记 bn=2(l0用+ 9 N+)证明：对任意的n三N ,不等式3淅bib2bn成立解：（1）因为对任意的n w N1点（n, S）x均在函数y=b r（b0且b,or均为常数

24、,一, 一 一 Sc =bn r 的图像上.所以得Sn b 当 n=1 时 a1=S1=b+r 当 n上 2时 an = Sn -Sn=bn + r -(bn+ r) = bn-b =（b-1）b，又因为卢为等比数列，所以r=-1，公比为b ,历n _1cn -1(2)当 b=2 时，an=(b1)b=2bn =2(logzan 1) = 2(log 22n _1 1) = 2nbn 1 2n 1b11b2 1= 则bn2n ，所以b1b2法一：数学归纳法bn 13 5 73 2n 1= _ thbn2 4 6 2n卜面用数学归纳法证明不等式b11b2 1b1b2bn7.2n 1-III . n 16 2n成立.3当n =1时，左边=2，右边=322，因为2，所以不等式成立假设当n = k时不等式成立，即b1b2bk2 4 6 2k成立.则b 1 b2 1 1当口 =卜