高中数学三角函数背景应用题公开课教案

1、高中数学公开课教案【课题】【教学目标】三角函数应用题的探究.经历圆周运动等模型的建模过程，感受数学抽象的过程，培育数学建模素养；.通过对三角函数为背景的应用题的探究，学会选取合适的变量进行数学建模，促进分 析问题、解决问题能力的发展；.通过对两类实际问题的探究，提升思维品质，体会数学与实际生活的联系，感悟数学 学的应用价值.【教学重点、难点】重点：三角函数为背景的应用题的研究思路；难点：三角函数为背景的应用题的研究方法与技巧【教学过程】 一、引入设摩天轮的半径为 R ,起始时0Po与Ox的夹角 BOP0 (图中的 取负值).OP0 绕0按逆时针方向做匀速旋转运动， 其角速度为 (弧度/分).经

2、过t分钟后，0Po达到0P , 此时 POP0 t ,而 BOP t , P的纵坐标为y ,于是有y Rsin( t ).这一函数关系反映了点 P纵向的运动规律.二、典型例题分析例1.如图，摩天轮的半径为 40m,摩天轮的圆心 O点 距地面的高度为50m,摩天轮逆时针方向做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点 P的起始位置在最低点处.已知 在时刻t (min)时点P距离地面的高度为f(t) Asin( t ) h(-),试确定A、h,并求出2019min时点P距离 地面的高度.设计意图：经历从建模到解模的过程，认识该函数模型2一.所以2解：依题意A 40,h 50,T 3,则 ，且f (0

3、) 10 ,故32f(t) 40sin( -t -) 50(t 0).-2则 f(2019) 40sin(一 2019) 50 10.32跟进练习：右图表示一半径为10米的水轮.水轮的圆心离水面 5米.高中数学公开课教案已知水轮逆时针做匀速旋转，每分钟转4圈.设水轮上的点P到水面距离d (米)，时间为t (分钟).(1)如果P点从水中浮现时开始计算时间，写出 P点位于水面上方时，d(t)关于t的函数关系式.(2) P点第一次达到最高点大约要多长时间？ TOC o 1-5 h z 设计意图：巩固圆周运动的建模与解模，体会数学与实际生活的联系解：(1)由题意设 d asin( t ) b,其中 一

4、 一，则 a 10, a b 15, HYPERLINK l bookmark90 o Current Document 221 .2则 b 5,又 T -min ,则 一 8 ,4T1因此 d(t) 10sin(8 t ) 5,又 d(0) 0 ,故 sin ,且 一 一，则 HYPERLINK l bookmark49 o Current Document 2226一、一 k 3k 2故 d(t) 10sin(8 t -) 5.又 d(t) 0,因此一t (k N). HYPERLINK l bookmark65 o Current Document 6412(2)设P点在时间t达到最高点

5、时，d(t) 10sin(8 t -) 5 15 ,解得 6* 3k 1ZIt (k N),121._当k 0时，P点第一次达到最局点，此时 t min ,因此P点第一次达到最局点需要12 1min时间. 12例2 .在幻灯机的正前面墙上挂一块矩形屏幕，其上、下边缘分别在经过幻灯机头的水平面的上方a米，b米(a b).问幻灯机头距墙面多远时对于屏幕的上下视角 (影响图像清晰度的重要因素)最大？这个最大视角 是多少？设计意图：经历一般模型的建模过程，感受自变量的选取方法及解模过程中的函数性质的应用.解：如图，设幺3灯机头。距墙面距离OH x米，过H垂直于地面的直线与屏幕上下边BOH ,则幻灯(0

6、b 口 .一，且 a b x20,则缘的交点依次是 A与B,则AH a米，BH b米.设 AOH机头对屏幕的上下视角为由于 tan a,tan xtan tan(tan tan1 tan tana bx x a b( a b abxc ab 2、 abx高中数学公开课教案ab 其中当且仅当x 即x 、；ab时，等号成立 x一a b人tan max （0 一） .2、ab2max,/ a barctan()2% ab答：幻灯机头距墙面Jab米时对于屏幕的上下视角最大，最大视角为,/ a barctan( )2、ab解法2提不sin sin( ) sin cos(a b)xx4 (a2b2)x2a

7、2b2解法3提不cos sincos cos( ) cos cos2.x ab4 / 2 ,2. 22, 2x (a b )x a b解法4提示sin sin由于1 -OA OB sin2S AOB2ABsin(a b)x.(x2 a2)(x2 b2)又因为f（ ） tan在（o）内是增函数，则当x JOB米时, 2跟进练习:某景区欲建造两条圆形观景步道Mi、M2 （宽度忽略不计），如图所示，已知Mi与AB、AD分别相切于AB AC , AB AC AD 60 （单位：米），要求圆 点B、D,圆M2与AC、AD分别相切于点C、D.（1）若 BAD 60 ,求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1

8、米）；（2）若观景步道M1与M 2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆 Mi、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）设计意图：进一步体会一般模型中自变量选取的方法及解模过程中的函数性质的应用1解：(1)由题忌：BAD 60，因此 M1AD BAD 30 ,2高中数学公开课教案M1在 Rt DAM i中，DM i AD tan MiAD 60tan 3034.6 (米)；1.同理， DAC 30 ,因此 M2AD CAD 15 , 2在 Rt DAM 2 中，DM 2 AD tan M2AD 60tan1516.1 (米)(2)设 DAM 1 BA

9、M 1CAM 2 ，其中 (0,),44在 Rt DAM1中，DM 1AD tan M1AD 60 tan在 Rt DAM 2 中，DM 2AD tan M2 AD 60tan(一4),设总造价为y千元，则y 0.8 212 8 tan 9 tan()124令 t 1 tan , t (1,2),60 tan 0.9 260 tan(-)428 tan tan 91 tan TOC o 1-5 h z 22c8(t 1)2 (t 1) 9仆8t2 17t 18 仆c1812-12 12(8t17)ttt12 (2,8 18 17) 84当且仅当8t18t3 , 一，一时，等号成立2，-1 一此

10、时tan ,则M1D 30, M 2D 20,此时最低总造价为263.9千兀,2三、课堂小结试题归类:命题：源于课本解题：建模；解模；变式四、课后探究：.设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为JIx2 y2 1.已知时间t 0时，观光箱A的坐标为 J ），则当0 t 24时（单位：分）, 2动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递减区间为 .某游乐园的摩天轮半径为 40米，圆心。距地面的高度为43米，摩天轮做匀速转动， 每24分钟转一圈，摩天轮在转动的过程中，游客从摩天轮距地面最低处登上吊舱，若忽视吊舱的高度，小明在小强登上吊舱 4分钟后登上吊舱，则小明登上吊舱t（

11、0 t 24）分钟后,小强和小明距地面的高度差为高中数学公开课教案A.40cosjt -)B.40sin(t -) C.40cosjt -) D.40sin(t -)126126123123.某政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为 市民健身活动场所，其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形OAB 的半径为200m,圆心角 AOB 60，点Q在OA上，点M , N在OB上，点P在弧AB上, 设 POB .(1)若矩形MNPQ为正方形，求tan的值；(2)为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA,OB修建两条观赏通道 PS和PT(宽度不计)，使PS OA, PT OB,其中PT依PN而建，为让市民有更多的时间 观赏，希望PS PT最长，试问：此时点 P应在何处？说明你的理由.如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB,AC和以BC为直径的半圆弧组成,3km, BC 4km.现甲、乙两其中AC为200m , AC BC , A ,若在半圆弧BC , 3线段AC ,线段AB上各建一个观赏亭 D, E,F ,再修两条栈道DE, DF ,使DE平行于AB , DF平行于AC ,记CBD (-).(1)试用 表示BD的长；(2)试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.如图，A,B,C三地有直道相通， AB 5km, AC 警员同时从 A地