《信号与系统》课件2

1、第二章 连续信号与系统的时域分析线性时不变连续系统的分析方法概述2.1 冲激函数及其性质2.2 系统的冲激响应2.3 信号的时域分解和卷积积分2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定2.5 卷积积分的性质本章要点作业返回线性时不变连续系统的分析方法概述连续信号与系统的时域分析：信号和系统的整个分析过程都在连续时间域内进行时域分析法（直接法）：计算零输入响应（求解齐次微分方程）计算零状态响应直接法：求解非齐次微分方程间接法：首先把任意激励信号分解为连续出现的冲激信号之和；再求解单位冲激信号激励下的零状态响应；然后利用系统的线性和时不变性把每一个冲激信号引起的零状态响应叠加起来。卷积分析法变换域分析法

2、： 傅里叶变换分析法、拉普拉斯变换分析法返回2.1 冲激函数及其性质2.1.1 冲激函数的三种常用定义 1.工程定义：和2.单位冲激信号可以看成是某些普通函数的极限:3.严格的数学定义： 作为一个广义函数 ，单位冲激函数 作用于任意在 时连续的普通函数 的效果是对 （测试函数或赋值函数）赋于下面的值：广义函数的等价性或冲激函数的筛选性返回2.1.2 冲激函数的性质1.筛选特性：证明：例如：在积分区间（1，2）内，被积函数为0。注意：返回2.加权特性：证明： 两个广义函数对测试函数 有相同的赋值效果，故它们二者等价。 特别地，当 ，有例如：返回3.单位阶跃函数的导数是单位冲激函数:证明：此结论解

3、决了不连续函数在间断点处的求导问题返回例2-1-1 已知 的波形如图所示，试求 ，并画出其波形图。波形如下图:0t220t(2)124.单位冲激函数为偶函数:返回5.尺度变换:返回2.1.3 冲激函数的导数及其性质 单位冲激函数的一阶导数 称为单位二次冲激函数或冲激偶，图形符号如下：0t可以证明：1.筛选特性：2.加权特性：返回此外，还可以定义 的 n 阶导数2.2 系统的冲激响应2.2.1 冲激响应的定义 零状态系统在单位冲激信号作用下的响应。1.对于简单电路，直接列微分方程求解：2.2.2 冲激响应的求解 +-返回对上式从 到 取积分，得（电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到 )由三要素公

4、式得与RL电路相对偶，可得RC电路的冲激响应：RC+_2.冲激响应是阶跃响应的导数设线性时不变系统的激励为 ，其零状态响应为 ，+-例如：返回例：试求如图所示电路的冲激响应，已知 。+-解：先用三要素法求阶跃响应注意：阶跃响应中的后缀 不能不写，否则求导时会漏掉一项。3.从微分方程求解设描述n阶连续系统的微分方程为返回对微分方程两边取积分上式左边只有第一项不为零，其余各项都为零，即：因此得到在 t = 0+ 时的 n 个初始条件为： 代入初始条件，求解齐次微分方程，即可得到系统的冲激响应。例：已知系统的微分方程如下，试求其冲激响应。解：代入初始条件：解得：有：当微分方程右边含有 x( t )

5、的各阶导数项时（间接法）此时，系统的冲激响应所应当满足的微分方程为：为此，可假设一个新的系统，其冲激响应时的方程为：根据系统的线性和时不变性，有：以此与原系统冲激响应时的方程相对比，得：返回例2-2-5 已知描述某系统的微分方程如下，试求其冲激响应 解：设代入初始条件：有：解得：对于一般的微分方程也可以直接求解冲激响应（直接法）解：例： 若微分方程的特征根中有重根，则解的形式要作相应改变。 与直接法相比，间接法的优点是：求 时，只可能 ，不需要考虑其它情况，并且其 个初始条件是固定不变的，从而给计算带来了方便。 其它求解系统冲激响应的方法还有： 变换域的方法：傅立叶变换法、拉普拉斯变换法 实验

6、法：观察、记录系统在窄脉冲信号激励下的响应曲线或单位阶跃响应曲线。2.3 信号的时域分解和卷积积分2.3.1 信号的时域分解 如图所示，任意波形的信号都可以用沿横向等间隔的折线来近似，0tt0t00t其中在 时刻出现的矩形脉冲高度为 宽度为 。折线中的每一条横向线段都可以看作一个矩形脉冲。折线可以看作是矩形脉冲的叠加为讨论方便起见，此处 的定义与前面不同。返回解释： 任意波形的信号也可以近似表示为无穷多个阶跃信号之和（分解过程略）：t 任意波形的信号也可以分解为偶分量与奇分量之和： 利用后面将要介绍的卷积性质，可以很方便地证明这一结论。2.3.2 零状态响应卷积积分 对于线性时不变系统，设过程

7、：首先把任意信号分解为基本单元信号（这里是指冲激信号）； 然后研究系统对基本单元信号的零状态响应（这里是指冲激响应） ； 再根据线性时不变系统的根本规律，把这些基本单元信号单独作用于 系统时所引起的零状态响应迭加起来。解释：返回卷积积分限的确定返回+2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定 图形卷积能够直观地理解卷积积分的计算过程，有助于确定积分的上下限。归纳起来，卷积的图解过程有五个步骤：返回返回1 21011t0解： (1) 换元1101 21010 -2t10 -2t110 -2t11 -2t (2) 折叠 (3) 位移 (4)相乘、积分110 -2t110 -2t11 -2t本例采用确定卷

8、积积分限的公式计算较为简便:由于卷积运算像乘法运算一样满足分配定律,因此必须注意，在书写中以上各项的延迟阶跃函数不能丢失。 粗略看来上述结果似乎与例2-4-1的结果不一致，但若将上述结果改写成分段定义的函数，不难验证，结果是相同的。2.5 卷积积分的性质(1)交换律2.5.1 卷积代数返回返回(2)分配律证明：利用卷积的定义比较容易得到例如：两个子系统并联等效为：这里，两次卷积运算是一个二重积分，只要改变积分次序即可证明此定律。（证明过程略）(3)结合律例如：两个子系统级联等效为：2.5.2 卷积的微分与积分(1)卷积的微分性质(2)卷积的积分性质（证明略）返回(3)卷积的微积分性质证明：条件

9、：应用微积分性质时，被求导的函数在 处应为零值，或者被积分的函数在 区间的积分值（即函数波形的净面积）为零值。当 i 为正整数时，表示求导数的阶数，当 i 为负整数时，表示求重积分的次数。注意： 此例不满足卷积微积分性质的条件。2.5.3 含有冲激函数的卷积根据信号的时域分解以及卷积的定义，有或者利用卷积的交换律及冲激函数的筛选性质，有冲激函数的重现性质以及返回利用微积分性质还可以得到推广到一般情况，有2.5.4 卷积的时移若则同理(1)利用卷积的重现性质可以通过卷积运算产生周期信号：利用卷积的性质能大大简化卷积计算例2-5-3： 例2-5-4： 023-1-2At-221A0(1)(1)tt0解： 例2-5-5： 解： 12t020t11(2)t0(2)202t-4420-2t2134例：x(t)和h(t)分别如图所示，试求 x(t)*h(t) 。-2T0At02TAtTTaaA-TT(1)(1)00tttA2A02T-2T-2T0At02TAtTTaaA-TT(1)(1)00tttA2A02T-2T例2-5-6：计算下列卷积积分： 解 (1)应用卷积的重现性质，有 (2)应用卷积的重现性质和微分性质，有 +本章要点1.冲激函数的性质筛选性 加权性 是阶跃函数的导数 是偶函数 尺度变换冲激偶：筛选性 加权