工程电磁场第八章导行电磁波

1、第八章 导行电磁波（一）王 栋 刘 兴 制作(zhzu)共九十一页第八章 导行电磁波8-1 导波场的一般(ybn)分析方法8-2 矩形波导 8-3 圆柱型波导 8-4 谐振腔 共九十一页8-1 导波场的一般(ybn)分析方法一般概念： 导行电磁波：电磁波沿波导装置传输。导行装置：双线传输线、双轴线、金属波导管以及 介质波导等。 直行的均匀导波装置：导波装置不弯折、无分支.均匀是指在任何垂直于电磁波传播方向的横截平面上，导波装置具有相同的截面形式(xngsh)、截面面积以及填充的介质。共九十一页对由均匀填充介质的金属(jnsh)波导管建立如图所示的坐标系 设z轴与波导的轴线相重(xin zhn)

2、 合，横截面为xoy平面， 同时做以下假设：（1）波导的横截面形状和媒质特性沿轴线 z 不变 化。有轴向均匀性。（2）波导内填充均匀、线性、各向同性的理想介质。（3）波导内没有激励源存在即： 和 。（4）电磁波沿z轴传播，且场随时间正弦变化。导波原理共九十一页方程(fngchng)推导由麦克斯韦(mi k s wi)方程:其中, 都是复矢量函数,原有场量与它的关系是:共九十一页将(8-1)取旋度,得:利用(lyng)矢量恒等式得:再将 代入得:再将(8-1)式代入得:同理得:用复矢量(shling)表示（8-10）（8-11）:共九十一页令 得，这就是传输系统中场量应满足(mnz)的齐次波动方

3、程.在广义(gungy)坐标系中：横向分量纵向横向纵向将上式代入场量的齐次波动方程得：共九十一页二维拉氏算子(sun z) 也分解成两部分：与横向(hn xin)坐标有关与纵向坐标有关其中 中的xy可为xoy平面（x，y） 也可为圆柱坐标（ ）得广义坐标：共九十一页同理令 （截止(jizh)波数）当 , 时，对于(duy)无耗损线：波不沿z方向传播，故截止。故波动方程化为：共九十一页四个横向(hn xin)场分量式可先求纵向场分量的波动(bdng)方程，得到再依基本方程组求得所有四个横向分量：所以，纵向场分量 和 满足标量波动方程：共九十一页由上述求得 和 后，即可从电磁场基本方程组中的两个旋

4、度方程得四个横向(hn xin)分量共九十一页1，在规则波导(b do)中场的纵向分量满足标量齐次波动方程,结合相应的边界条件即可求得纵向分量 和 ,而场的横向分量即可由纵向分量求得.2，既满足上述方程又满足边界条件的解有许多,每一个解对应一个波型也称之为模式,不同的模式具有不同的传输(chun sh)特性.3， 是微分方程在特定边界条件下的特征值,它是一个与导波系统横截面形状,尺寸及传输模式有关的参量.由于当相移常数 时,意味着波在导系统不再传播,亦称为截止,此时 ,故将 称为截止波数. 所以，依 和 分量存在情况，将导行电磁波分为TEM、TE、TM三种模式。结论共九十一页横电磁波（TEM波

5、） 对TEM波，因在传播方向上不存在电场和磁场量， ， 故由四个横向(hn xin)分量式可知：， ， ， 存在(cnzi)的条件是： 。即有：在无耗损媒质中， 故 因此对TEM波， ，故相速、波长及波阻抗和无界空间均匀媒质中相同。 而且由于截止波数 ，因此理论上任意频率均能在此类传输线上传输。 此时不能用纵向场分析法，而可用二维静态场分析法或后述传输线方程进行分析。共九十一页对于(duy)TEM波（ ） 这正是拉氏方程，表明：导波系统中TEM波在横截面上的场分量(fn ling)满足拉氏方程。因此其分布应该与静态场中相同边界条件下的场分布相同。由此断定：凡能维持二维静态场的导波系统，都能传输

6、TEM波。 例如二线传输线（如图）、同轴线等，也即为了传输TEM波必须要有二个以上的导体。由于TEM波在横截面上的电场具有与二维的静电场同样的性质，它必定起始于一个导体而终止于另一个导体。 空心金属波导管内（如图），由于不能维持二维静态场，故不能传输TEM波。这是波导管中电磁波显著的特点之一。共九十一页横电波（TE波） 对于TE波，因在传播方向不存在电场(din chng)分量，即故： 对于TE波，需要研究(ynji)确定 的方法， 满足波动方程：共九十一页且在金属(jnsh)导体内壁的边界条件为：理想导体(dot)法向磁场为零式中，S波导周界，n为边界法向单位矢量。 这表明对于TE波来说，归

7、结为在第二类齐次边界条件下求解二维齐次波动方程： 对于该方程，只有在kc取某些特定的离散值时才有解，使解存在的kc值称为本征值。针对不同截面形状及尺寸的波导，这些本征值是不同的，后面讨论矩形波导时，将用分离变量法求出它的本征值kc共九十一页 因在传播方向上不存在磁场(cchng)分量,即：故由四个横向分量式得：横磁波（TM波）共九十一页 对于TM波来说，需要研究确定 的方法， 满足波动方程： 且在金属导体(理想(lxing)导体，切向电场为零)内壁的边界条件为：式中S波导(b do)周界 这表明对于TM波来说，归结为在第一类齐次边界条件下求解二维齐次波动方程的本征值kc的解。 以上是根据在波导

8、传输的电磁波是否有电场或磁场的纵向分量而将其划分为三类波型，其中，TE和TM波还可细分为很多种不同的波型（理论上讲有无穷多个）它们都是一定边界条件下波动方程的解。除上述三类波型外，在有的波导系统中，也有 和 都不零的波型，一般称之为混合波型（混合模）。共九十一页传播(chunb)特性（相位常数(chngsh) ，截止波数 ，相速 ，波导波长 波阻抗 ，传输功率等。）(1)相移常数 和截止波数 波数 与电磁波的频率成正比。 三者的关系为：(2)相速 与波导波长电磁波在波导中传播，其等相位面移动速率称为相速。导行波的波长称为波导波长 共九十一页(3)波阻抗 定义某个波型的横向电场(din chng

9、)和横向磁场之比为波阻抗，即：(4)传输(chun sh)功率 由玻印亭定理，波导中某个波型的传输功率为：式中，Z为该波型的波阻抗。共九十一页1，TEM波传输(chun sh)特性 (仅与媒质参数有关，与导波装置几何(j h)形状无关)波阻抗 是电磁波在无界介质( )中的波阻抗(媒质的本征阻抗)所以，TEM波的波阻抗与媒质的本征阻抗相同。=工作波长共九十一页2，对TE波、对TM波而 ，因此(ync)：共九十一页 由 可知(k zh)， 当kkc时，波沿z方向(fngxing)传播，这种模式叫传播模式。当kfc（或工作波长c时） 电磁波才可以在波导内传播(chunb)，为传播(chunb)模式。

10、 2，当fc时） 为非传播模式。 这和传播TEM波的波导系统不同，TEM波传播模式是没有截止频率和截止波长的，因此，在双导线传输线中即可传播高频电磁波，也可传播低频电磁波以至稳恒电流。共九十一页（1）当ffc（或kkc时 相位(xingwi)常数 这是一个相位(xingwi)常数为 的传播模式，且有：共九十一页 波长(bchng) 式中 是频率(pnl)为f的平面电磁波在无限大理想介质中的波长。 上式表明波长 大于无限大媒质中的波长。共九十一页 相速度(sd) 式中 为无限大媒质(mizh)中波的相速度。 可见，波导内波的相速度 亦大于无限大媒质中波的相速度，也说明了波在波导中的真实传播方向并

11、不是z轴方向，而是曲折前进，这一点不同于TEM波。 上式还表明 是频率的函数，TE、TM波是色散波，此色散不同于前面的因导电媒质引起的色散，它是由波导的边界条件引起的，因此，称它为几何色散。共九十一页（2）当ffc（或kb）：共九十一页 TE10模和TM11模分别是TE波和TM波中具有最长截止波长的模式(msh)，称为最低模式(msh)。而TE10模的c比TM11模的c还长，它具有最长的截止波长。因此，TE10模亦称为主模，其它模式为高次模。 由 式可知(k zh)：当m=1、n=0时，得TE10的本征值四，主模TE10波共九十一页由上式可见(kjin)，TE10模只有三个非零的场分量即： ，

12、它们的电磁场分布图如下。所以(suy)，TE10场分量为：共九十一页 下面三个图画出了TE10模电磁波在t=0时的电场、磁场(cchng)分布，首先看TE10波的电场分布：（a）BB/横截面（b）AA/纵截面(jimin)（c）CC/纵截面共九十一页TE10波的磁场(cchng)分布：（a）EE/横截面（b）DD/纵截面(jimin)共九十一页TE10波的立体(lt)电磁场分布：共九十一页由此可见：（1）TE10模只有(zhyu)三个非零的场分量，即：（2）由理想导体表面的边界条件可知，在波导壁上的电流线密度(md) ，它与磁场强度有关，且有：壁面的外法线方向单位矢量。壁上的磁场强度。（3）各

13、场分量均与y无关，即在y方向为均匀分布，在z方向为正弦行波；在x方向上为驻波。共九十一页（4）多模区与单模区 由于TE10模的截止波长c（=2a）是矩形波导中能出现最长的截止波长，因此： a，当工作波长=2a时，电磁波就不能在波导中传播，所以=2a的区域称为截止(jizh)区。 b，当a，则至少会出现两种以上的波型，这个区叫多模区。 c，当aa的范围内只可能传输TE10 共九十一页c，当b/a1/2时，则可能传输(chun sh)的单模范围变窄。d，当b/aa的范围内只可能传输 TE10 模。但由于导体损耗所引起的衰减随b越大而 变得越小，所以： b/a=1/2的尺寸比较好，市场上 的矩形波导

14、管。采用这种尺寸比，一般取 a=0.7，b=(0.40.5)a=(0.30.35) 采用主模TE10传输，具有截止频率低、损耗小、波型稳定和波导尺寸小等优点。 总之，各种空心柱行长直波导的基本特性是相同的，只要理解了矩形波导的特性也就是为理解其它类型波导的特性提供(tgng)了基础。共九十一页例1，空心(kng xn)填充的矩形波导的截面尺寸为a=7cm，b=3cm，（1）计算TE10、TE20 、 TE01等若干个模的截止波长，并指出简并波型；（2）如果电磁波的工作波长为 ，这时波导中存在哪些模式的波；（3）若要求波导中只传播TE10波，波导的尺寸应如何改变？解：（1）依截止波长的计算公式：

15、计算(j sun)可得：模 14 7 6 5.51 4.67 4.56 3.68 3.5共九十一页简并波型为：（TE11，TM11）（TE21，TM21） （TE31，TM31）（2）波长 从表中可以看出(kn ch)它小于 及 五个模式的截止波长。即这5个模式的波可以在波导中传播。（3）若只允许存在TE10型波，应使小于TE10的c而 大于TE20、TE01的c 由于所以：可以选a=3.5cm，b=1.5cm，还可以有其它(qt)的选择。共九十一页 圆柱形波导管也是应用较广泛的一种波导管，它可以用于天线馈线和多路通信中，可以构成微波谐振腔、旋转式移相器和衰减器，还可以构成微波管的输出腔，以及

16、其它方面(fngmin)的应用。本节所讲的圆柱形波导管，是指横截面为圆形的空心金属波导管（普通圆波导管）8-3 圆柱形波导(b do)共九十一页四个场分量(fn ling) 求圆柱形波导内场量分布的方法与矩形波导内场量分部(fn b)的方法完全一样，但以采用下图所示，圆柱坐标较为方便。如果用两个纵向场分量Ez和Hz来表示其它场分量。则四个横向分量表达式（8-22）式表示成圆柱坐标：共九十一页 另一方面，由波动方程 按圆柱坐标系把 分成(fn chn)纵向和横向分量：故可得圆柱(yunzh)导波装置中的电场微分方程：共九十一页TM波仍先求Ez分量，得标量波动(bdng)方程。由 算子(sun z

17、)，得：用分离变量法求解上式，令：式中的R表示只含变量r的函数， 表示只含变量 的函数。因子 均被省略。将 代入 式中,可得:共九十一页上式可以(ky)改写为:此式等号左边只含与r有关的项,右边只含与有关的项.欲使此式对一切的r, 值均成立,等式两边应分别等于同一(tngy)常数m2 .即有:共九十一页式 的通解(tngji)为:式 可写成:这是贝塞尔方程(fngchng),它的解为:式中Jm是m阶第一类柱贝塞尔函数,Nm是m 阶第二类贝塞尔函数.由于r的变化范围可由0变到圆柱行波导的半径a,为了使Ez在r=0处不改变为无限大,应取第一类柱贝塞尔函数,即令C=0,式 此时可写成:共九十一页可设

18、 (常数(chngsh),则:将先前 所求EZ代到TM波的纵横场关系式得四个分量.并考虑(kol)到 =j=jkz,TM波的Hz=0.可得到圆柱形波导中TMmn波的场量为:式中E0为常数-由激励源决定.共九十一页同样(tngyng)的方法,可得圆柱形波导中TE波的各场量表达式为:式中H0常数(chngsh)-由激励源决定.TE波共九十一页三个常用(chn yn)模1，主模TE11模TE11模，m=1，n=1则： 最小。截止频率fc最低：故c最长，是圆柱(yunzh)波导中的最低次模，也是主模。2，圆对称TM01模 m=0，n=1则：具有最低fc，故TM01是圆柱波导的第一个高次模。共九十一页3

19、，低损耗的TE01模 它是圆柱波导(b do)的高次模式，与TM11模是简并模，下图表示(biosh)圆柱形波导中 的分布： 截止区域TM02TE12TM21TE01、TM11TE21TM01TE11共九十一页 广义而言,凡能够限定电磁能量在一定(ydng)体积内振荡的结构可构成电磁振荡器.1,在低频无线电技术中采用(ciyng)LC回路(谐振)产生电磁振荡.大约在300MHz以下,谐振器是用集总的电容器C和电感器L做成.LC并联振荡回路8-4 谐振腔一般概念共九十一页 当激励信号频率f与LC回路固有(谐振)频率f0相等时,即发生并联谐振. 此时磁场(cchng)能量WL集中在电感线圈中,电场

20、能量 WC集中在电容器内,并且电场能量最大时,磁场能量为零;WL最大,WC=0,电能与磁能随时间不停地相互转换,转换的过程即谐振过程.用来描述谐振性能的参量有谐振频率(f0唯一),品质因素Q及R,L,C等.2,当f增高(高于300MHz)时,即在微波波段,为何不用(byng)LC谐振回路?原因有以下:(1),fL,C元件尺寸-结构加工困难机械强度使用困难 不能正常工作共九十一页(2), (L,C元件几何尺寸与 可相比似时) -欧姆损耗(snho),介质损耗(snho),辐射损耗(snho) -回路Q-降低了回路的谐振质量.3,由此可见,在微波范围内,必须研制新型的谐振(xizhn)器(谐振(x

21、izhn) 回路) 微波谐振器(腔)可以用作振荡器或调谐放大器的振荡回路,微波滤波器,倍频器频率预选器,回波箱等;另外,谐振腔还在微波管和加速器中得到了某些应用. 下面以同轴谐振器为例分析谐振腔中电场能和磁场能的相互转换: 共九十一页如右图所示的同轴谐振器(腔)电路.在此谐振器内,电场能量最大时,磁场能量为零;磁场能量最大时,电场能量为零,电能与磁能随时间不停地相互转换,其能量转换关系与LC谐振器一致.所不同的是电能和磁能分布在整个结构中,不能截然分开(fn ki),这主要是由于传输线上分布参数作用的结果.因此在微波波段,一段两端短路(或开路)的传输线所起的作用与LC串并联谐振电路所起的作用完

22、全一样,故称这样的结构为微波传输线型谐振器,若是由波导或同轴传输线构成,也称其为谐振腔.共九十一页微波谐振器的分类 微波谐振器的种类(zhngli)很多,按其结构型成可分为传输线型谐振器和非传输线型谐振器两类.1,传输线型谐振器-是一段由两端短路或开路的前述三类微波导行系统构成的.大多数实用微波谐振器属于(shy)此类,如矩形波导空腔谐振器,圆波导空腔谐振器,同轴线谐振器,微波线谐振器,介质谐振器.2,非传输线型谐振器(或称复杂形状谐振器)-不是由简单的传输线或波导段构成的,而是一些形状特殊的谐振器.这种谐振器通常在坐标的一个或两个方向上存在不均匀性,如环形谐振器,混合同轴线型谐振器等.本章只

23、研究传输线型微波谐振器共九十一页微波谐振器与LC谐振回路的异同点:1,相同点: 它们的本质均为电磁振荡,即电磁能量的相互转换,电场能量与磁场能量的最大值相等.2,不同点: LC回路是集总参数电路,而微波谐振器是分布(fnb)参数的概念. LC回路只能有一个谐振频率f0,但尺寸一定的微波谐振器有无穷多个谐振频率,即微波谐振器具有多谐性.共九十一页1,谐振波长0(或频率f0) 谐振波长0是微波谐振器最主要的参数,它表征微波谐振器的振荡规律,即表示微波谐振器内振荡存在的条件. 当电场(din chng)和磁场沿x,y,z三个方向都形成驻波时,即达到谐振条件,依波动方程:如果在矩形谐振腔中,场量所满足

24、的波动(bdng)方程简化成:谐振器的基本参数 用来描述微波谐振器的基本参数则是谐振波长0(或谐振频率f0),品质因数Q0,和等效电导G0,下面分别讨论这三个参数及其一般表达式.共九十一页 代入谐振腔中任一场(y chn)分量于上式 上式即为谐振腔中能够存在电磁振荡时,角频率(pnl) 所必须满足的条件.由它可得到谐振频率(pnl) (当m,n,p取不同值时),故写成:由 得:共九十一页其对应(duyng)的谐振波长为: 这表明,当腔尺寸a,b和L(长度)给定时,随着m,n和L取一系列不同的整数,即得出腔内的一系列不连续的f0.f0的不连续性是封闭的金属空腔中电磁场的一个重要特性.这是由于边界

25、条件的要求,腔内电磁场的频率只能取一系列特定的,不连续的数值,这是约束在空间有限范围内的波的普遍性.这一点又与无限空间中的电磁波不同,无限空间中波的频率由激发它的源的频率决定(judng),因而可连续变化. 在这里把具有相同f0的不同模式叫做简并模式. 对于给定的谐振腔尺寸,谐振频率最低的模式称为主模. 共九十一页 当腔的尺寸abL时,最低频率(pnl)的谐振模式为(1,1,0),其谐振f0为: 此波长与谐振腔的几何尺寸同数量级.在微波技术(jsh)中通常用谐振腔的最低模式来产生特定频率的电磁振荡.共九十一页2,品质因素Q0 谐振腔可以储存电场和磁场能量,在实际的谐振腔中,由于腔壁的电导率是有

26、限值,这样将导致能量的损耗.和其它(qt)振荡回路一样,谐振腔的品质因素Q0定义为:其中:W-腔内储能,WT-为一周期内腔中损耗能量,改PL为谐振腔内的时间平均功率损耗,则一个周期 内腔损耗的能量 故有: 确定谐振腔在谐振f0的Q值时,通常是假设损耗足够少,以致可以应用无损耗时的场分布.共九十一页3,等效(dn xio)电导G0 等效(dn xio)电导G0表示谐振腔损耗的参量 微波谐振器的等效电路定义为:共九十一页 式中Um为广义传输线模式电压,由于模式电压不唯一,所以G0也不是单值量,因此严格讲,一般情况下,微波谐振器的G0值是难以确定的,尽管如此,我们还是可以设法在谐振器内表面选择两个固

27、定点a和b,并在固定时刻沿所选择路径进行电场的线积分,并以此积分值作为等效电压Um的值,据此得到:则:显然,G0与所选择的点a和b有关,这有别于Q0,Q0对每个给定(i dn)尺寸的谐振器来说是固定不变的.( -电场(din chng)强度矢量的幅值)共九十一页矩形(jxng)腔由前节所述，低频无线电技术中采用回路产生电磁振荡当频率很高时（例如微波范围），这种振荡回路有强烈的辐射损耗和焦耳损耗，不能有效的产生高频振荡因此，必须用另一种振荡器-谐振腔来激发高频电磁振荡谐振腔是一种适用于高频的谐振元件，它是用理想导体围成的任意形状(xngzhun)的空腔，凡是用理想导体围成的任意形状(xngzhu

28、n)的空腔都有共振现象具有回路的性质，称为谐振腔谐振腔可以将电磁振荡全部约束在空腔内，电磁场没有辐射，也没有介质损耗，金属导体的焦耳损耗很小，因此具有较高的品质因数它在微波频段中广泛用于波长计，滤波器等器件，这一节将以矩形谐振腔为例，讨论谐振腔的性质共九十一页一，谐振腔中的场结构(jigu)一段长为的矩形波导，两端用金属板将它封闭起来(q li)就构成了矩形谐振腔，如下图所示：由于这两个导体端面对电磁导波的反射作用，波将在其间来回反射，而形成驻波驻波不能传输电磁能量，它只能产生电磁能的相互转换，在能量转换过程中表现出了振荡现象所以封闭的导体空腔可用来作电磁振荡的谐振器共九十一页对于矩形谐振腔，

29、可不按普遍方法来解，而是从矩形波导管的解出发，利用波的反射定律来讨论，这里要简单的多现在选择(xunz)z轴为参考的“传播方向”，按相对于Z轴的模，模来分别讨论二，振荡(zhndng)模式此时，由前面讨论可知，无线长矩形波导中的电磁波沿x，y方向都是驻波，沿z方向为行波但在谐振腔内，由于位于 处的导体端面的反射，出现沿（z）方向的反射波因此，由矩形波导的解：不难得矩形谐振腔内振荡模式的的表达式为：共九十一页 式中和分别为正子和负子方向传播的波的振幅(zhnf)常数在z处，由于(yuy)有：所以（8-89）式写为：在处，由于则有：必须取 即：于是，得振荡模式的场分量的表达式为：共九十一页根据电磁

30、场基本(jbn)方程组，振荡模式的其它场分量可以由求得如下：共九十一页式中的即：式 说明：谐振腔中存在着无穷多个振荡模式对于(duy)不同的（m，n，p）值，有不同的场分布因此，为表示谐振腔内的振荡模式，需要用三个下标（m，n，p），并以mnp表示这两个表示式还说明，矩形(jxng)谐振腔中的电磁波沿x，y和z方向都是驻波，表现出振荡现象共九十一页三，振荡(zhndng)模式 此时, 类似地,可以(ky)求得到TM振荡模式的各个场分量为:共九十一页式中的 由 给出,谐振腔中也存在着无穷多个(du )TM振荡模式,并以TMmnp表示.四,举例(j l)例2, 有一填充空气的矩形谐振腔,其沿x,y,z方向的尺寸分别为 (1)试确定相应的主模和谐振频率.(2)写出该主模的场分量表达式解: 选择z轴作为参考方向的”传播方向”. 首先,对TMmnp模式,m和n均不可为零,而p为零.共九十一页 其次,对于TEmnp模式，m或n均可为零(但不能同时为零),因此,最低阶的模式为: TM110,TE011,TE101(1)当 时,最低谐振(xizhn)频率为:于是(ysh)得TE101为主模(2)因为主模是TE101，所以有m=1,n=0,p=1,故可求出TE101的场分量表达式：共九十一页共九十一页 圆形波导谐振腔简称圆柱形腔,是一段长度为 两端短路(dunl)的圆波导构成的,如图