2025届高中数学一轮复习：空间向量与立体几何

空间向量与立体几何-2025届高中数学一轮复习专题训练

一、选择题

1.已知点P是点4(1,2,-1)在坐标平面Oxy内的射影，则|而卜()

A.百B.75C.2D，76

2.已知点1,-2百)，空间内一平面C过原点。，且垂直于向量

«=(-3,2,-73),则点〃到平面。的距离为()

A.lB.lC.-D.1

4568

3.如图，在正方体4片£。1中，E为棱AA|上的一个动点，歹为棱4G上的一

个动点，则平面EFB与底面ABCD所成角的余弦值的取值范围是()

4.在三棱锥A-BCD中,E是棱的中点，且丽=|诙，则市?=()

133、__.33

A.-AB+-AC——ADB.AB+-AC——AD

24444

-C1_11

C-5AB+3AC+3AD^.-AB+-AC+-AD

5.在空间直角坐标系中，已知4(1,-1,0)，5(4,3,0),C(5,4,-1)则A到5C的距离为

()

A.3B.叵C.亚D.叵

333

6.在长方体ABC。-44GR中，下列向量与而是相等向量的是()

A-ABBBACAXDDC

7.下列可使构成空间的一个基底的条件是（）

A.q，B，C两两垂直^-b=Ac

—►—►T~X—►—*—*—►

Ja=mb+ncu・〃+Z?+c=O

8.已知方=（2,0,-1）,B=（3,-2,5）,则向量石在向量乙上的投影向量是（）

A.1（3,-2,5）B.［（3,—2,5）C.1（2,0,-l）D$（2,0,—1）

□Jo3Jo

9.如图所示，在平行六面体ABCD-4耳£“中，〃为AC与42的交点.若通=a,

AD=b,旃=。，则•=（）

A.—ci—b+cB.—aH—bcC.—u—b+cD.—uH—bc

22222222

10.已知｛£,£m为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（）

A-a+B，B+c，a-ca+2ba+c

^•■2a+b^b+2ca+b+ca+c^b+2a^b~2c

二、填空题

11.某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷.将一块边长为6m的正方

形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中

AA'=BB'=CC'=DD'=2m^,然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的

帐篷（如图②）.该四棱锥底面ABCD是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是

底面的中心，则直线以与平面P3C所成角的正弦值为.

图①图②

12.已知直三棱柱AB。—4及£,ABLAC,人吕=AC=叫=4,点p为此直三棱柱

表面上一动点，且归用=4,当归。取最小值时，瓦再配的值为.

13.已知空间直角坐标系中的三点4(2,0,2)、3(0,0,1)、C(2,2,2),则点A到直线

BC的距离为_________..

14.已知方=(2,—1,3),万=(―1,4,-2),c=(7,7,4,若°,以°共面，则实数2=.

三、解答题

15.如图,四棱锥p—ABCD的底面为正方形,pp_L底面A3CD.设平面与平面

P3C的交线为/.

P

(1)证明：平面PDC；

(2)已知尸D=AD=I，。为/上的点，求P3与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

参考答案

1.答案：B

解析：因为点P是点4(1,2,-1)在坐标平面。孙内的射影，则P(l,2,0),则

丽=。,2,0),

因止匕|op|=712+22+02=7?

故选：B.

2.答案：A

解析：由题意可得：®=(1,-1,-273),平面e的法向量为力=卜3,2,-6),

所以点M到平面a的距离为:"T=L

向4

故选：A.

3.答案：A

设平面EEB与底面ABCD所成的二面角的平面角为。，由图可得。不为钝角.

以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则。(0,0,0),4(1,0,0),5(1,1,0)，C(0,l,0),2(0,0/)，E(l,0,m),F(n,l,l),

所以诙=(0,-1,加)，丽=(”—1,0,1)，

设平面EFB的法向量为n=(x,y,z),

2°,BPJ-y+mx-Q

则9

n•BF=0(n-l)x+z=0

令x二—l，贝！=m(〃-1),2二〃一1,故〃二(一1,冽(〃一1),〃一1),

又底面ABCD的—个法向量为肩=（0,0,1），

|n-m|PM

所以cos0-|cos(n,m^|二］『，因为根,〃《［（）,1卜

同同J1+苏n-1)2+(〃

1-n

则cos0=

1+m2"-if+(〃

当〃=1时,cos6=0,

1

cosS=

当〃W1时,1+疗+1，当〃目0,1）,加且0,1］,

2

则(1—“『qo』，m2G[0,1]，则(J)2e[l,+⑹,

则当〃=o，爪=0时，分母取到最小值④，此时（COS，）

丫V/max2

L+加+/0，此时cos，：。,

当〃.1，〃>0时,则

n—1）1

综上COS。£0,^-,

2

故选：A.

4.答案：D

解析：因为E是棱C£）的中点，昉=2而，

3

所以/=须+赤=须+-而=荏+—（通-溯=—检+—通

33、'33

=1（AC+AD）+-AB=-AB+-AC+-AD.

3、>3333

故选：D.

A

解析：因为A。,—1,0),5(4,3,0),C(5,4,-l),

所以丽=(一3,—4,0),BC=(1,1,-1),|BA|=5,|BC|=A/3,

7G

所以cos（丽，豆⑦BABC

HR~L5~

所以sin

所以A到BC的距离为d=|丽|•sin（丽,g;粤

故选：D.

6.答案：B

解析：如图所示的长方体ABC。-A4G2中，

A：向量瓦g与西方向相反，所以这两个向量不相等,因此本选项不正确；

B：向量丽与诙大小相等，方向相同,所以这两个向量相等，因此本选项正确；

c：向量4瓦与加方向相反，所以这两个向量不相等,因此本选项不正确；

D：显然向量而与向量比方向相反，所以这两个向量不相等,因此本选项不正确,

故选：B.

7.答案：A

解析：由空间任意三个不共面的向量都可以组成空间的一个基底可得A正确;

若5=万，则B与2共线，此时B与d忑必然共面，所以无法构成空间基底,B错误;

a=mb+nc与a+b+c=0都表示a,b,c共面,C,D错1天・

故选：A

8.答案：C

解析：因为4=（2,0,—1）,3=（3,-2,5）,

则向量B在向量力上的投影为胃=2x3+0［：）］+（-1）*5=1,

^-x-^-=^-x-^=a=—a=—(2,0,-l\-

所以向量B在向量力上的投影向量是

5同5百55、，

故选:C.

9.答案：D

解析：

府=瓯+刎=瓯+3（.—加）=丽+；由_通）=c+^（b-a）=-^a+^b+c.

故选D.

10.答案：B

解析：对于A项，因为£+入仅+"）+伍-斗则£+B，B+Z，Z—£共面,不能作为基底，故A

不符合题干.

对于选项B,假设3+共面，则存在4〃eR，使£+2区="+〃伍-斗所以

pi=1

<2=2无解，所以a+2B，0a-［不共面，可以作为空间的一组基底.

—ju=0

对于C项，因为£+石+々=3（23+石）+3仅+24，贝|12%+人3+2"，£+3+2共面，不能作为

基底，故C不符合题干.

对于D项,£+1=；e+2q-；修-2小则£+",石+2£，石—2"共面,不能作为基底,故D不

符合题干.

故选：B.

11.答案：手

解析：设AC与3。的交点为点。，以。为原点，。4所在直线为x轴，所在直线

为y轴，。尸所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

由题意可知，AB=2s/2,AO=2,.-.B4=712+32=V10,PO=^P^-AO2=46,

故A(2,0,0),3(0,2,0),C(—2,0,0),P(0,0,«),PA=(2,0,-76).

设平面P3C的法向量为〃=(x,y,z),又丽=(0,2,-娓),PC=(-2,0-46),则有

PBn=0,\2y-46z=Q,

s___即s

PCn=0,—2x—y[6z=0,

令z=C，可得平面PBC的一个法向量为〃=(-3,3,&).设PA与平面PBC的法向量n

的夹角为e,贝U।cose|=""=I,——r6zL_==叵，则直线以与平面PBC

\PA\\n\IV4+6-V9+9+65

所成角的正弦值为手.

12.答案：32百或必百

33

解析：由归耳=4可得尸是在以3为球心半径为4的球面上,

由于30]=3C=，42+42=4也，43=4，

|pq|取值最小时，其在平面BCCXBX内，

其在平面3。。1用的交线为如图所示的圆弧.

故户可取值最小时，B,P,G三点共线，

通过点尸往与G作垂线，垂足为〃，则聂=要，

C}BG耳

则C]B=个BC?+BB：=4月,故G尸=05—4=46—4，

代入「^二」D解得CXM—4A/2——V6，从而BXM=—y/6，

JB33

因此可.配=即.函=I即斗|隔cos/PgC]

=|^Af|.|^q]=|V6x4V2=yV3.

故答案为：艾叵.

13.答案：±21

3

解析：依题意，配=（2,2,1），丽=（2,0,1），

\BA-BC[

所以点A到直线的距离d=

3

7

故答案为：正.

3

14.答案：9

解析：Z=（2,—1,3）J=（-l,4,-2）,c=（7,7,2）,，

：.由若Z52共面，则存在实数机,〃，使得三而+怎，

(7,7,2)=m(2,-l,3)+〃(—L4,-2),

2m一〃=7

<-m+4n=7,

3m—2n=A

解得〃=3,加=5,

.,.4=3x5—2x3=9,

故答案为9.

15.答案：（1）证明见解析；

（2）

3

解析：（1）证明：在正方形A3CD中,AD//BC，因为AD（Z平面PBCBCU平面P3C,

所以AD〃平面P3C,又因为AOu平面以D,平面PA£>n平面PBC=l，

所以A£>〃/,因为在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是正方形，

所以AD_L，DC且PD，平面A3CD,所以4），po,，尸口,

因为。。口。。=。，所以//平面/>。。.

（2）［方法一］【最优解】：通性通法

因为DP,D4,DC,两两垂直,建立空间直角坐标系。-孙z,如图所示：

因为=AD=1，设D(O,O,O),C(O,1,O),A(1,O,O),P(O,O,1),5(1,1,0)

设QO,0,1),则有成=(O,1,O),D0=(m,0,l),PB=(l,l,-l)

设平面QCD的法向量为7=(x,y,z),

则悭”=。,即尸，

DQn=0[mx+z=0

令％=1,则z=,所以平面QCD的一个法向量为5=（1,0,-m）,

——►〃•PB1+0+m

贝ljcos<n,PB>=,H___..

HIP5Iy/3-y/m2+1

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的

正弦值，

所以直线尸3与平面QCD所成角的正弦值等于

|cos<n,PB>|=—

7

二亘卜+工

3Vm2+l

当且仅当根=1时取等号，所以直线P3与平面QCD所成角的正弦值的最大值为在.

3

［方法二］:定义法

如图2,因为/匚平面P3C,Qe/,所以Qe平面P3C.

在平面心。中，过P点作PF±QD，交QD于£连接EF.

又由。。，40,4£)口「£>=£),尸£)<=平面RlD，ADu平面PAD，

所以。C_L平面B4Z).又p/