2025高考数学复习：平面向量的数量积及其应用

第三节平面向量的数量积及其应用

课标解读考向预测

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.预计2025年高考，平面向量数

2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.量积的概念及运算，与长度、

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.夹角、平行、垂直有关的问题

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个以及平面向量数量积的综合应

平面向量的垂直关系.用仍是考查的热点，会以选择

5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.题或填空题的形式出现.

必备知识——强基础

知识梳理

1.向量的夹角

已知两个非零向量a,b,0是平面上的任意一点，作况=a,彷="则画/AOB=e（OW9Wn）

叫做向量。与分的夹角.

2.平面向量的数量积

已知两个非零向量。与从它们的夹角为仇我们把数量画回地型殳叫做向量a与5的数量

积（或内积），记作历1］辿，即|04|a.b=|a|0|cos。.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.

3.平面向量数量积的几何意义

ibJ

c.iiA,b

设a,》是两个非零向量，它们的夹角是ae是与》方向相同的单位向量，靠=a,E=b,

过油的起点A和终点2,分别作乱所在直线的垂线，垂足分别为4,Bi,得到洛宓，我们

称上述变换为向量a向向量b画投影，痴叫做向量a在向量b上的国投影向量,记为

\a\cos0e.

4.向量数量积的运算律

(1)。•方=叵可红.

(2)(%)仍=画旭囱=画丝回.

(3)(。+b)-c=11。|ac+bc.

提醒：(1)平面向量的数量积不满足乘法结合律，即加("c)(这是由于(〃6)。表示一个与c

共线的向量，a("c)表示一^个与Q共线的向量，而c与〃不一^定共线).

(2)平面向量的数量积不满足乘法消去律，即0仍=Q・C4>>=c(如图，向量方和c在向量a方向

上的投影向量相等，此时〃力=℃,但厚c,由a•方=℃,可推出a_LS-c)).

5.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=(xi，yD，)=。2，？)，。与万的夹角为夕

几何表示坐标表示

数量积a6=|a||8|cos。ab=\H|xiX2+yiV2

模\u\=7\a\=yjxl+y，i

八ab八阳」2+y1-2

夹角COS”一I|i>I

同向C°Syjxi+yi^x^+yl

aLb的充要条件ab=0叵］阳理+丫1'2=°

|a创W|a|步|(当且仅当a//\XlX2~\~

|a旬与同臼的关系

b时等号成立)乃以其勺(才+y彳)(於十凫)

常用

1.平面向量数量积运算的常用公式

(l)(a+by(a—b)=a2—b2.

(2)(a±Z>)2=a2±2ab+b2.

2.有关向量夹角的两个结论

已知向量”，b,

(1)若。与方的夹角为锐角，则〃•於0；若。0>0,则Q与)的夹角为锐角或0；

(2)若a与》的夹角为钝角，则“3<0；若0*0,则a与》的夹角为钝角或兀.

诊断自测

1.概念辨析(正确的打r”，错误的打“X”)

7T

⑴两个向量的夹角的范围是)

⑵若历>0,则a与占的夹角为锐角.()

(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.()

答案(l)x(2)x(3)4

2.小题热身

(1)已知a=(3,4),b=(5,12),则a与分夹角的余弦值为()

63I—

A-65B.痈

C.华D.V13

答案A

解析='32+42=5,|臼=方可运=13.a6=3x5+4xl2=63.设a与b的夹角为0,则cos。

(2)(人教A必修第二册6.2练习T3改编)若〃仍=-6,⑷=8,与。方向相同的单位向量为e,

则向量b在向量a上的投影向量为.

3

答案一并

解析向量b在向量。上的投影向量为需e=一弓e.

(3)(人教B必修第三册8.1.2例2改编)已知⑷=2,网=1,且|.一2加=2,则〈a"〉=.

答案60°

解析|±||a-2Z>|2=(a—2Z»)2=a2+462—4a-6=4,得ab—1,即⑷步|cos〈a,b)=1,贝(Icos

(a,b)=；,故〈a,b)=60°.

(4)(人教A必修第二册习题6.2T24改编)在。C中，弦A8的长度为4,则力・祀=.

答案8

解析取A2的中点M,连接CM,贝!|CM_LA8,初=短，所以防•祀=|劝||祀卜8$/54。

=|油曲=；|显/=8.

c

考点探究——提素养

考点一平面向量数量积的运算

例1(1)(2024•江苏淮安模拟)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸

上小正方形的边长为1,则(a+方＞c=，ab=.

答案03

解析如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则。=(2,1),b=(2,-1),c=(0,

1),.•.a+b=(4,0),(a+ft)-c=4x0+0xl=0,〃•)=2x2+lx(—1)=3.

(2)在平面四边形A8CO中，已知魂=虎，P为CD上一点,Cp=3Pt),|翁|=4,|晶)|=3,

2

池与冠)的夹角为仇且cos8=],则力•丽=.

答案一2

解析如图所示，：磊=比，，四边形ABC。为平行四边形，-：Cp^3Ph,：.Ap=At)+Dp

=凝+疝，河=磋-介=海-疝,又函=4,|初=3,cos6=|,贝证显=4x3x|=8,

x42+^x8—9=—2.

【通性通法】

计算平面向量数量积的主要方法

提醒：设a,A是非零向量，它们的夹角为仇则”在b上的投影向量为⑷cos嗡=(雷)

【巩固迁移】

1.设向量=0),%=(0，1).若。=-2«1+7改，)=40+3«2，贝！J〃仍=,向量

a在向量b上的投影向量为.

解析因为向量ei=(L0),62=(0,1),所以—2ei+7e2=—2(1,0)+7(0,1)—(—2,

7),方=4d+3。2=4(1,0)+3(0,1)=(4,3),所以〃仍=—2x4+7x3=13.由a=(—2,7),b

=

=(4,3)可得，\a\—<\/4+49—,\/53,\b\yj16+9—5,所以cos〈〃，b)=心仙।=y[^)x5'向量

a在向量入上的投影向量为|a|cos〈a,b)卷=黄5*[^^<&=最=偌，勤.

2.在边长为2的正三角形ABC中，M是8C的中点，。是线段AM的中点.若应)=无就十

yBt,贝！|x+y=；屈脑=.

3

答案I1

解析■是BC的中点，，或=；就，是4M的中点，，前=；或+；就或+/就,

113

...尤=],y=1,.*.x+y=“；4A3C是边长为2的正三角形,M是BC的中点，：.AM±BC,

且BM=L.•.动.威=|动||的cosNOBM=|戚|2=1.

考点二平面向量数量积的应用(多考向探究)

考向1平面向量的模

例2(1)(2022•全国乙卷)已知向量a=(2,1),b=(—2,4),则|a—臼=()

A.2B.3

C.4D.5

答案D

解析因为a—b=(2,1)一(—2,4)=(4,—3),所以|a—bl=y/4?+(-3)：=5.故选D.

(2)(2023・新课标II卷)已知向量a,》满足|"一例=小，|"+加=|2。一"，则|臼=.

答案事

解析解法一：因为|a+臼=|2。一臼，即(a+力2=Qa—8)2,贝［层+2。0+粘=4，_4。仍+/,

整理得/一2”仍=0,又因为|.一6|二小，即(a—Z>)2=3,贝!|"一20/>+方2=户=3,所以|臼二小.

解法二：设c=a—b,则期=/，a+b—c+2b,2a~b—2c+b,由题意可得，(c+2b)2—(2c

+Z>)2,则c?+4c0+4Z>2=4c2+4c0+及，整理得c2=M即也|=匕|=小.

【通性通法】

求平面向量的模的方法

—a2=a•a=la|2或

公式法--\a±b\=V(a±b)2=Va2±2a•b-\-b~

—若a=(%,y),则\aI=Vx2+y2

【巩固迁移】

3.(2024.山东兖州阶段考试汝口图，在AABC中，M■为BC的中点，若A8=l,AC=3,屈与加

的夹角为60。，则|流尸

答案华

解析因为M为BC的中点，所以磁=3证+独，所以两|2,屈+就)2=*|硒+|花2

+2A^-Ab)=：x(l+9+2xlx3cos60。)=?,所以|晶|

考向2平面向量的夹角

例3(2022.新高考H卷)已知向量。=(3,4),b=(l,0),c=a+仍，若〈a,c〉=〈"c〉，

则t=()

A.-6B.-5

C.5D.6

答案C

解析c=(3+b4),cos〈〃，c〉=cos{b,c〉，即以考解得，=5.故选C.

【通性通法】

求平面向量的夹角的方法

〜•▽土]_利用cos〈a,b〉=备含求解，〈a”〉

定义法一\a»b\

e[0,n]_______________________

坐[法一利用cos〈a,6〉=小岑求解

-------窃+7彳出+y：

【巩固迁移】

4.(2024.湖南岳阳阶段考试)已知正方形ABCD点E在边BC上，且满足2彷=就，设向量

助与赤的夹角为仇则cos8=

答案-曙

解析解法一：因为2命=/，所以E为2C的中点.设正方形的边长为2,则|油=巾，|筋

=5x22—2?=—2,所以cos。

AkBb-2

一|油说「小、2陋—10'

解法二：因为2时=病，所以E为8C的中点.设正方形的边长为2,建立如图所示的平面

直角坐标系的,则4(0,0),2(2,0),0(0,2),E(2,1),所以废1=(2,1),炭)=(-2,2),

所以无方•方方=2x(-2)+lx2=-2,故cosO==-7=__rz=—W京.

|油|的753210

考向3平面向量的垂直

例4(1)(2024•福建福州开学考试)下列向量中，与(3,2)垂直的向量是()

A.(-4,6)B.(2,3)

C.(3,-2)D.(-3,2)

答案A

解析对于A,V(3,2)-(-4,6)=-12+12=0,AA符合题意；对于B,V(3,2).(2,3)

=6+6=12¥0,；.B不符合题意；对于C,：(3,2).(3,-2)=9—4=5加，；.C不符合题意；

对于D,；(3,2)-(-3,2)=-9+4=—5邦，，D不符合题意.

(2)已知向量协与6的夹角为120°,且|屈|=3,|&|=2.若#=派+泥，且#则实

数几=•

套案—7

口木12

解析因为#_1_瓦，所以力•前=0.又#=；1显+加，前=加一无友所以办•周=(几显+

宿.(加一屈)=0,即(九一1)曲•初一/显2+熏=0,所以q—i)|祀||雇|.cosi20。一川屈F+i就

|2=0,所以Q—l)x3x2x(一，-9/l+4=0,解得/1=卷.

【通性通法】

有关平面向量垂直的两类题型

(1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题

第一》计算出这两个向量的坐标

根据数量积的坐标运算公式，计算出

这两个向量的数量积为0即可

(2)已知两个向量的垂直关系求参数的值

根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.

【巩固迁移】

5.(2023•河南安阳模拟预测)在A48C中，点。在边AC上，且位＞=3比，\BA\=A\BT\,若进)

_L(3求一前)，贝!]%=()

4

A.B.3

C.2D.1

答案B

3331

解析由题意知，炭）=或+疝=或+裨=或+彳（茂一族）=4而+严，则尻）.（3湿一成）

=©求1+，A）（3病一前）=翁承一72=0,即9阮『=|朗2,则|朗=3阮|,即4=3.故选

B.

考向4最值、范围问题

TT

例5（1）已知ei,C2是两个单位向量，且夹角为W，则纵+%2与®+。2的数量积的最小值为

（）

A-3B-近

A.2s6

C.|D.坐

答案A

711

解析由题意得，（3+%2>01+&）=谒+（於+1）3・改+好=，同+（户+1）忸1|闷85可+£忸2|=爹

1113

A+Zr+i，当t=~2时，取得最小值，为2x4—4+]=—/.故选A.

（2）（2022•天津高考）在△A3C中，C^=a,烈=b,。是AC的中点，国=2就，试用a,b表

示仍为,若盘，仍，则NACB的最大值为

答案2b-2a6

31

解析Dk=ck—cb=-^b—~^a,Ah=ch—ck=b—a.

解法一：小必&—%）s—a）=0,3〃+/=4agcos/AC8=编

=芈，当且仅当|a|=M§|例时取等号，WQ<ZACB<n,所以/AC8€（0,5.

解法二：如图所示，建立平面直角坐标系.

设|前1=1,A(x,y),则E(0,0),BQ,0),C(3,0),所以及：=

(一，一与)，Ai=(l-x,—y),屈_L^n^^(x—l)+5=0n(x+l)2+y2=4,所以点A

的轨迹是以M(—1,0)为圆心，r=2为半径的圆，当且仅当CA与。M相切时，/ACS最大,

此时sinZACB=TTf~d=9,

【通性通法】

利用数量积求最值、范围的方法

方法一用数量积的运算转化为代数问题求最值

方法二利用向量三角不等式求最值

方法三利用向量数量积运算转化之后分析几何图形特征，利用数形结合求最值

【巩固迁移】

6.已知点A,8在单位圆上，乙4。8=竽，若虎=2次+x彷(x€R),则西F的最小值是()

A.2B.3

C.5-2^2D.4

答案A

解析|Ot?|2=(2oA+xCZfe)2=4oA2+x2CZfe2+4.r|oA||CZfe|cos^=x2—2-\/2%+4=(%—-\/2)2+

222,因此|求F22.故选A.

7.已知显_LAt,|磊|=:,|At|=f,re|'4.

若P是AABC所在平面内一点，/=好+",则可•由的取值范围是_______.

|AC|电|

「3~|

答案“13

解析由题意建立如图所示的平面直角坐标系，可得A(0,0),B(j-o\C(0,力，•••#=当

Th，尸(1,4),协=(:一1，-4),m=(一1,4),PiPt=

卜一=(0,4)+(1,0)=(1,4),

电I

Q-1)x(—1)+(—4)%(7—4)=-1+1—4/+16=-1-4f+17<-2^y14f+17=13,当且仅当

9时，等号成立，又当仁(时，协.此=12,当k4时，两京，所以殖用的取值范

「3

围为13

课时作业

基础巩固练

一、单项选择题

1.(2023•新课标I卷)已知向量。=(1,1),1=(1,-1),若(a+m)_L(a+〃3,则()

A.i+〃=lB.%+//=-1

C.A//=1D.Xjn——1

答案D

解析因为a=(l,1),b=(l,—1),所以〃+%方=(1+九1一2)，。+=(1+〃，1—//),由

(〃+肪)_!_(〃+〃力)可得，3+刃),(0+〃方)=0,即(1+2)(1+〃)+(1一2)(1—〃)=0,整理得

—1.故选D.

2.已知用分为非零向量，且S|a|=2向，\a+2b\=\2a~b\,则。与分夹角的余弦值为()

A近B近

A.8416

「逅D亚

j8616

答案B

解析将等式|。+2例=|2a—"两边平方，得8a•5+3y=3〃2,设。与b的夹角为仇即81aH例cos。

2、/5

+3|臼2=3⑷2,将⑷=3|臼代入81ali臼cos6+3l|2=3⑷2,得cos<9=^.故选B.

3.(2023•河北邯郸模拟)已知小〃是两个互相垂直的单位向量，则向量a—2方在向量力上的

投影向量为（）

A.bB.~2b

C.—于D.—b

答案B

解析因为a,b是两个互相垂直的单位向量，所以ab=O,且|〃|=|例=1,所以（。一25）仍=〃•万

—2/=•一2|肝=—2,所以向量a—2方在向量b上的投影向量为"C卷~2》故选

B.

4.（2023・湖北黄冈质检）圆内接四边形ABC。中，AO=2,CZ）=4,2。是圆的直径，则At•前

=（）

A.12B.-12

C.20D.-20

答案B

解析如图所示，由题知NBAD=NBCr>=90。，AO=2,CD=4,.•.祀.炭）=（疝+力•初=

⑰•应）+虎•动=|⑰||动卜cos/BZM一|成||成）「cos/BOC=|⑰产一|成产=4-16=—12.故选

B.

5.(2024•湖北荆州中学摸底)已知向量a=(〃z,2),5=(1,1),^\a+b\=\a\+y[2,则实数相

=()

A.2B.-2

C.1D.-；

答案A

解析因为Z>=(1,1),则向=乖，由已一知可得|。+例=同+|臼,等式|a+8|=|a|+l两边平方

2212

可得a+2a-b+b=a+2\a\\b\+bf则a-b—\a\\b\f故a与方同向,所以根=2.故选A.

6.(2023•全国甲卷)向量⑷=|5|=1,匕|=也，且a+8+c=0,则cos[a~c,b~c)=()

C.|

D-5

答案D

解析因为>+c=0,所以Q+Z>=—c,即〃2+办2+2°仍=。2,即1+1+2〃仍=2,所以〃•方

=0.

如图，设次="，Oh^b,Ot=c,由题意知，。4=。3=1,OC=小,△048是等腰直角三

角形，AB边上的高。。=孚,AD=*,所以CD=CO+OD=取+啤=平,tanZACD=7n

1

=ycosZACD=Vwcos(a-c,b-c)=cosZACS=cos(2ZACD)=2cos2ZAC£>—1=

2x(君J—1=*故选D-

7.(2024•湖南岳阳模拟)在一个边长为2的等边三角形ABC中，若点P是平面ABC内的任意

一点，则成•记的最小值是()

A.一,B.一§

C.-1D.-3

答案C

解析

如图，以AC的中点为原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则4—1,0),C(l,

0),设尸(x,y),则可=(-l—x,—y),pt=(l-x,—y),1+1

—1,当且仅当尸在原点时取等号.故可•瓦?的最小值是一1.故选C.

8.（2024•山东日照模拟）已知AABC是边长为1的等边三角形，D,E分别是边42,8C的中

点，且初=3肆，则赤•命的值为（）

A」B工

A.]2]2

C.1D.-8

答案B

解析如图所示，把AABC放在直角坐标系中，由于AABC的边长为1,故8（0,0）,C（l,

0）,。:，坐。分别是边AB,OC的中点，,陪，坐）41，。），设F（x，y），Dk

=小留济―），;心正,小解得1小

〔一生=3，，[y=-n'

一^），"=七'一^就=（1,0）,乔•瑟=盍.故选B.

二、多项选择题

9.下列关于向量。，4c的运算，一定成立的是（）

A.（a+b）c=ac+bc

B.{abyc=a（b'C）

C.a-b^\a\\b\

D.|〃一回＜|。|+|例

答案ACD

解析根据数量积的分配律可知A正确；B中，左边为c的共线向量，右边为。的共线向量,

故B不正确；根据数量积的定义,可知〃仍=|〃||例cos（a,b}W|a||例，故C正确；|a「肝=|。『

+\b^~2a-b=|a|2+16|2—2|a||6|cos〈〃，b）|a|2+|ft|2+2\a\\b\=（\a\+\b\）2,故|a—b|W|a|+|臼,

故D正确.故选ACD.

（ab,当〃，》不共线时,

10.定义一种向量运算“⑤”：a®b=\tWIw,4nl（"，b是任意两个向量）.对于

同一平面内的向量〃，b,c,e,下列结论中正确的是（）

A.a®b=b®a

B.2(〃砚)=Qi)⑥伙;I€R)

C.(a+b)®c=a®c+b®c

D.若e是单位向量，贝！J|a③e|W|a|+l

答案AD

解析当a,b共线时，〃区)=|0一"=|万一°|=>艺〃，当a,b不共线时，〃③5=〃-8="a=b®a,

故A正确；当2=0,万#)时，九(。区力)=。，(〃)⑥)=10—〃/),故B错误；当a+b与c共线

时，则存在a,b与c不共线,(a+b)^c=\a+b—c\,a®c-\-b®c=ac-\~bc,显然|a+'—c|加•<?

+bc,故C错误；当e与a不共线时，|a/e|=|a,e|<|a||e|<|a|+L当e与a共线时,设〃=〃c,

w€R,则⑷=|〃|,\a0e\=\a-e\=\ue-e\=\u-l\^\u\+l=\a\+lf故D正确.故选AD.

11.在△ABC中，AC=3,BC=4,NC=90。.尸为△ABC所在平面内的动点，且尸。=1,则中•协

的取值可能为()

A.-5B.-4

C.0D.2

答案BCD

解析在△ABC中，AC=3,5C=4,ZC=90°,以C为坐标原点，CA,C3所在直线分别为

x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.则A(3,0),5(0,4),C(0,0),设尸(x,y),因为尸C

=1,所以炉+丁2=1,又闻=(3—X,—y),协=(—X,4—y),所以国•协=—x(3—x)—y(4—

y)=x1+y2—3x—4y=~3x—4y+1,设x=cos0,y=sin0,所以可•闻=—(3cose+4sin8)+l

=-5sin(9+9)+L其中tan°=w，当sin(8+0)=l时,可•协有最小值一4；当sin(0+9)=—

1时，可•协有最大值6,所以成•成€[—4,6].故选BCD.

5

4

-5-4-3-2-If45%

—1

-2

-3

-4

-5

三、填空题

12.若向量。=(—2,-1),b=a，i),“与分的夹角为钝角，则实数2的取值范围是.

答案(一5'2)U(2,+(»)

解析当。与》共线时，此时-2=—%=>/1=2,当4=2时，a——b,此时a与b方向相反，

当。与6的夹角为钝角时，则需。仍<0且a与〃不反向，所以一24—1<0且拄2,解得力€

(-3'2)U(2,+CO).

13.(2024・四川树德中学阶段练习)如图，直径AB=4的半圆，。为圆心，点C在半圆弧上，

ZA£)C=1,线段AC上有动点尸，则冰放的取值范围为.

答案[4,8]

解析过点P作的垂线，交AB于点H,可得苏.或=|初||被当尸在C点时，加.被取

最小值4,当P在A点时，加•就取最大值8,故加•环的取值范围为[4,8].

14.已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且#=%屈+(2—2/1)就(/I€R),

则成•由的最小值为.

答案5

解析取BC的中点O,

：△ABC为等边三角形，

C.AOLBC,则以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则8(-2,0),C(2,0),

A(0,2小)，设尸(无，y),：.Ap=(x,y-2小),霜=(—2,—25)，At=(2,一25)，；.#=

九话十(2—2功就=(4—6/1,2小-4响,贝人厂广：.P(4-6A,2小九一2小)，...现

=(6%一4,4y[3~2y/3A),无=(64一2,2十一2小冷，.•.成•衣=(64—4〉(6/1—2)+(4小一2小

义)(2/一2小储=48力-724+32,由二次函数性质知，当2=土时，成•由取得最小值5.

B级:素养提升练

15.(2024•河南开封五校高三期末联考)已知a,b是不共线的两个向量，\a\=2,a-b=4^3,

若V/GR,\b-ta\^2,则|臼的最小值为()

A.2B.4

C.2小D.4小

答案B

解析由步一切》2,得救一词224,即|臼2—2心方+产⑷224.因为|a|=2,ab=4-^3,所以—

8小f+4产=|臼2+4(r—/)2—1224,所以他『2一4«一小下+16.令/f)=-4(/-^3)2+16,则

就max=16.又VfCR,\b-ta\^2恒成立，所以卅》式力^=16,所以向》4,即回的最小值为

4.故选B.

16.(多选)已知。为坐标原点，点4(1,0),Pi(cosa,sina),P2(cos夕，sin外,尸3(cos(a—)),

sin(a—£)),则下列结论正确的是()

A.|O?i|=|O?2|

B.IMI=IA>3|

C.况.仍=殖.殖

D.O^Op^OPvOPi

答案ABD

解析由题意云=(1,0),力的坐标等于化的坐标(i=l,2,3),|O?i|=|O?2|=l，A正确；

|A?2I=yj(cos^—1)2+(sin^?-0)2=^/2—2cos^,|P1P3\=

^/[cos(a——cosot]2+[sin(a——sina]2=-\/2-2[cosacos(a—+sinasin(a-]

=、2—2cos”,所以|W?2l=|R?*3l，B正确；OA-O?i=cosa,OP2OP3=cos^cos(a