求解曲线的离心率的值或范围问题

1、求解曲线的离心率的值或范围问题方法综述离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况： TOC o 1-5 h z 22,2.根据题意求出a,b,c的值，再由离心率的定义椭圆e2=3= JL=1 (P)2、a aa22. 2.双曲线e2 = := J=1 (b)2直接求解； a aa由题意列出含有a,b,c的方程(或不等式)，借助于椭圆b2= a2c2、双曲线b2= c2a2消去b,构造a,c的齐次式，求出e;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲线的统一定义求解.解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标二.解题策略类型一 直接

2、求出a,c或求出a与b的比值，以求解e【例1】已知双曲线Qi - = 1与的右焦点为抛物线Q:产二2px的F F 叫向焦点，且点 到双曲线的一条渐近线的距离为若点在该双曲线上,则双曲线的离心率为A. 3C.D.【解析】设F（gO）,则,一彳，所以抛物线小的方程为好-4酰.因为点干到双曲线的一条渐近线的距离为、分，_ h不妨设这条渐近线的方程为* J, gpbX-ay=0,则溪，=占=6,又点在双曲线上，所以解得在=收,故c =曲+第=隔,即（?=工=. B 2故选B.【指点迷津】求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出京的值，可得（2）建立隔山的齐次关系式，将用”表示，令两

3、边同除以口或 化为巴的关系式，解方程或者不等式求值或取值范围.【举一反三】i.设抛物线”的焦点为，其准线与双曲线勘昌-必=i的两个A BM iSABJV交点分别是，若存在抛物线 使得是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（）A .俘，+助1B. （1,手，C. （f+汨D . （L+就）【答案】A【解析】M x2 = 4p y（73 0）y =P因为抛物线“u ,所以fgl灯，准线为:将y=p代入捺一产=工得= 口%不妨设“为右支上的点，则a=+p2,青嬷KH2p 如工e因为是等边三角形，则，即用=的$反正，=Z所以“嬴厘，因此双曲线”的离心率为*耳=符=户孽=1耳故选A.平面直角坐标系x

4、Oy中，双曲线：橙一百= 1（。tU）叫的两条渐近线与 抛物线C: M = 211ytp =%交于O, A, B三点，若占QAE的垂心为引勺焦点，贝F上 的离心率为- 1 TOC o 1-5 h z 5A.夜B. 2C. 2D. 2【答案】B【解析】、F05）解：联立渐近线与抛物线方程得 辄平.岑）, BC-乎,岑），抛物线焦点为2 ,由三角形垂心的性质，得EF1OA,即hkkg = -l,匕=&所以住Y）”t，所以一丁，M c一所以已二:分，所以工的离心率为，故选：B.类型二 构造a, c的齐次式，解出e【例2】已知双曲线捺一号=i (a 0, b 0)的左、右焦点分别为Fi、F2,直线MN

5、过F2,且与双曲线右支交于 M、N两点，若cos/FiMN =cos/FiF2M ,咨则双曲线的离心率等于I? 11 餐【答案】2【解析】如图，由MSE&MN二8卬后务期可得出财N二ZA玛财，后匐三国&1=7以直蒯=N阳/=转,由双曲线的定义可得=女一2口，=4仁一2我，在AF：1MN中由余弦定理得(2r)a + (6c - 4a)2 - (4c)1 3c3 - 6ac + 2cc30sM即=2 x (2c) x (6c-4ti)= c(3c- 2s)在AF/eN中由余弦定理得coszER =以旷+/献=匕. WmHM押二 COSZ/iAJ ,.3ia-6flt+3a* _ p-a.- c(S

6、c-2fl)一跄，整理得3标-7妹40,.W-7七十2 = 0,解得修=2或g (舍去).双曲线的离心率等于2.故答案为：2.【指点迷津】本题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是把题中的信息用双曲 线的基本量（G。）来表示，然后根据余弦定理建立起凡问的关系式，再根据离 心率的定义求解即可.对待此类型的方程常见的方法就是方程左右两边同除一个 参数的最高次项即可转化成一个一元二次方程，化简整理的运算能力是解决此题的关键.【举一反三】已知椭圆和双曲线有共同焦点 Fi,F2 , P是它们的一个交点，且F1PF2 ,记椭圆和双曲线的离心率分别为 2,则的最大值是（ 312A士B.C. 2 D. 333【

7、答案】A1解析】如图,设幡圆的长半轴长为句,双曲线的半实轴长为的，则根据椭圆及双曲线的定义：|明+阿|=2% 闸卜飓| 二，忸司二巧十 e I%I =丹-华设用巴卜拉/昂任二，则在FF?甲根据余弦定理可得到.7、2.汽4c=臼 + 的+（药 -口:| -2 iij +的、卜 药一色 jca-化简得：4+迈*3该式可变成：r+y = 4凫弓 I -忑 .1上邓,.,金一2 十 2 - - ;- J 故选 /t3- S-白r修iEj3【指点迷津】本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出aa2与PFi、PF2的数量关系，然后再利用余弦定理求出与c的数 量关系，最后利用基

8、本不等式求得范围.类型三寻找特殊图形中的不等关系或解三角形【例3】【北京市首都师范大学附属中学 2019届高三一模】椭圆：捺42=1必由与的左、右焦点分别为，P为椭圆M上任一点，且伊FJIP/的最大值的取值范围是2caa3ca,其中c = Y或-犷,则椭圆M.的离心率的取值范围是.【答案】-【解析】 IPFj | |PF21 = (a + ejc)(a - er) = a e% a?川PFJ,|明|的最大值为口-由题意知2/ E喊玄丸，- 0 b - 0F.已知昂，耳分别为双曲线接一尢=1 (,)的左、右焦点，是双曲PF.MM线右支上一点，线段”与以该双曲线虚轴为直径的圆相切于点，且切点为PP

9、线段 ,的中点，则该双曲线的离心率为()A.需B. 5C.卓D. 3【答案】A【解析】如图，由题意知10Ml =）且3/巳,又“为线段吗的中点,则，=, PB/F,由双曲线的定义知勺 尸1=，.尸（益加又g：+飓乃=后.，即+侬-2时=门铲， 即成+炉=标=/ +械一2时+洛即叱加，./=； +出手标，双曲线的离心率为乜店，故选：A. TOC o 1-5 h z FzAF.已知 是椭圆捺+m=18右0）的右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若 为过 的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为（）1A. 3B.3C. 2D.号【答案】B【解析】AF8延长 交椭圆于点，设椭圆右焦点为F,连接AFL3F. ,

10、 AF= 2FB根据题意且F = x产十心.二口.，所以根据椭圆定义尸+即=2 所以#=芋 ,上在 中，由余弦定理得weeFWF二屋一3二-F F2a2-4 c-2在ARFF中，由余弦定理得coszF儿S,二A A3rJ T .辽=Eg所以至券=二，解得 2*司7所以椭圆离心率为- h 口 W故选B项.【指点迷津】根据椭圆几何性质可把椭圆内每条线段的长度用 心乩。表示，然后利用余弦定理，在两个三角形里分别表示同一角的余弦，得到 心。关系，求出离心率.类型四利用圆锥曲线性质【例4】已知Fi, F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2 一,设椭圆和双曲线的离心率分别为ei

11、, e2,则ei ,的关系为（）3A. ei B. ei_ e24 C. 4 D. e 3ei433eiei【答案】C【解析】设椭图与双曲线的方程分别为W十耳二L二-二二1端一厅二寸十片二小由焦点三角形的面积公式得与=的丫二号=现一封一1二式/一石）所以与孙故4+4=% 故选 c.【指点迷津】解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如椭圆的通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）长的结论、焦点三角形的面积公式等【举一反三】已知椭圆E:22xy2,2ab1 a b 0的短轴的两个端点分别为A,B,点C为椭圆上异于A, B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为则椭圆的离心率为（）A.虫 B.虫 C.

12、1 D. -22424【答案】A【解析】设 C(X0, y0), A(0 , b), B(0 ,2-b),则容 ay。2 b21.故 X2b2b22y0又 kAC kBC =1,故 a2 = 4b2, c2 = a2 b2 = 3b2, 4因止匕e=f ,故选A.【指点迷津】研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思维、简化运算，如本题利用kpA kpBb2,二,（A,B关于原点对 a称，A,B,P为椭圆上三点）.类型五 利用平面几何性质【例5】过双曲线41-号=1值0.匕(1)左焦点二的直线;与?交于,明川两点，且 口工匕珏一 5M 觥 W CFN = FM,

13、若，则的离心率为()23A.B. V7C.【答案】B【解析】中点连接产PFATF曾，如下图所示:设双曲线右焦点为F,取由市=3丽可知:MF = MP = NFp D4FF，上OM/ /PF 又为中点，可知 MN，FF为线段的垂直平分线- W履产设MF = t,由双曲线定义可知：内尸=窕一2工，MF= 2a+t3t 2a = 2a -F t “ .则，解得：士 二2母Rt 蜡MPP .在中，PF = i/MF谭一 口产=而口 4-=1广二 OM =PFr =yl3aRi 般MFO在中，M产+UMJ。产* 4ti= + 3a2 = c1 =包=本题正确选项:【指点迷津】注意平面几何知识的运用，对于

14、本题中的双曲线右焦点为广，*pprh4KJ中点 连接FHFMF”；根据已知可知尸为线段叫出的垂直平分线，得到割尸=成尸；结合双曲线定义可以求解出=力，从而得到山的长度，根据勾 股定理构造方程，从而求得离心率.【举一反三】已知。为坐标原点，f是椭圆2+W = ig：5 口的左焦点，儿瓦D分别为椭圆C的左、右顶点和上顶点，P为匚上一点，且PF_Lx轴，过AD点的直线 :与直线PF交于若直耳网线与线段0D交于点却，且8川=2加,则椭圆匚的离心 率为 L1【答案】二【解析】由题意，作出图像如下：因为F是椭圆捺戌=1如下。的左焦点，所以F(y，吟，又PFS轴，所以出F=， 7 1 7因为乩民口分别为椭圆

15、匚的左、右顶点和上顶点，直线与线段UD交于点府，且。国=2ND ,所以|。川三|。圳三酊|。|二。，|0加二相，由题意易得空AffFAf - ASQM ,所以 IoaI |od a.，出匣 llrwll 壮，因此= I *力=胆,整理得d = 5u, cla 3所以离心率为1【指点迷津】1.对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于石或口的等式，再进一步求出离心率.常构建等式的方法有：（1）利用圆锥曲线定义（2）利用几何关系（3）利用 点在曲线上.本题由题意作出图形，先由F是椭圆2+若=1（口：。）的左焦点，得到F的坐标，求出FF的长度，根据AAFM必，表示出M广的长度，再由尸

16、他2醺表示出MF的长度，列出等式，求解即可得出结果.类型六 利用数形结合【例6】 已知双曲线捺一层=。）的左、右焦点分别为昂、后，圆 ，置+好三与双曲线在第一象限内的交点为 M ,若= 月I.则该双曲线的离心率为A. 2B. 3C. 0【答案】D【解析】根据题意可画出以上图像，过 M点作为垂线并交尼用于点目，因为密昂|二司及用财在双曲线上，所以根据双曲线性质可知， 也&一眼& I=刖，即3附舟I -附牙口纸，附& |二。,因为圆炉三川的半径为B,是圆炉斗尸三胆的半径，所以口M = b,因为QM =匕，阳鸟=皿，。%二一迎十胪二心，所以2_。必8二93,三角形。阿后是直角三角形，因为所以第= %

17、即尤点纵坐标为真将M点纵坐标带入圆的方程中可得工詈 解得F，M若今，将M点坐标带入双曲线中可得 - = 1,化简得 N- fl* = fl2c3, (c2- a2y -a4 =a2c2 , c= = 3ff2, 3 =：二小,故选 D.【指点迷津】本题首先可以通过题意画出图形并过 “点作用吊垂线交互后于点H , 然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形 。冏鸟的形状并求出高的长度，MN的长度即做点纵坐标，然后将M点纵坐标带入圆的方程即可得出M点坐标，最后将M点坐标带入双曲线方程即可得出结果【举一反三】已知椭圆十圣 = 1如 占。)的右焦点为F,左顶点为4,上顶点为E ,若点。在直线由5上，且_

18、L玉轴，&为坐标原点，且必j二泡u ,若离心率e岂串,则X的 取值范围为A (p;)B。点C. #)D.Q3)【答案】A【解析】由题意得，直线4E的方程为y二:优十九 所以%三：，直线DF的方程为篁=J所以双党十),故土加=*=刊生.由匕二求竺可得:三修，整理得；1 = = 士=1一七，显然函数r=工-士在6字上单调递增，所以工即江卷 故选A.三.强化训练1.已知冗，今分别为椭圆2+白= ig&。)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第二象限内的点，延长P片交椭圆于点,若P用-PQ,且图后|三IFQI,则椭圆的 离心率为()A .百一卷B , 1C.再一、坛D .爱一福【答案】A【解析】解：PF2P

19、Q且|PF2| = |PQ|,可得4PQF2为等腰直角三角形，设 |PF2|=t,则 |QF2|=JS ,由椭圆的定义可得|PFi|=2a-t,2t+V2t =4a近则 t = 2 (2 -) a,在直角三角形PF1F2中，可得 t2+ (2a-t) 2 = 4c2,近4 (6-4) a2+ (12 -8) a2=4c2,近化为 c2= ( 9 6) a2,可得 e = ；=vS - yfS .故选A.3.椭圆+忌=18)唠的左右焦点为&, &,若在椭圆上存在一点 I 使得G的内心I与重心 满足比耳品，则椭圆的离心率为() TOC o 1-5 h z A咛B- IC. |D 玛【答案】D【解析

20、】设如，又E(f 0),则出司局的重心乳卷着).因为G低局所以必片居内心I的纵坐标为”即APE月内切圆半径为生.由三角形HFE片面积 0S5 = 抑& + 鹏+医以厅,5=三每周1城，及椭圆定义|鸣| +IP同=2ft得沁也+3?三亚日光 ,解得 =故选D.4.已知抛物线好4,与双曲线接一2=1缶印 有相同的焦点F ,点4是两曲线的一个交点，点E是点F关于坐标原点的对称点，且以月1s为直径的圆过点产，则双曲线的离心率为()A. 20TB.谑十 1C. 8V2-eD. 272-2【答案】B【解析】由题可得，网LA,所以？ = L所以见TR).因为以AB为直径的圆过点F,所以AF.所以A(1,2)

21、在双曲线上，所以有於-卷=1.因为班二产T =1一,代入化简得十一& + 1-。，解得d=3-24，&二0一 L所以双曲线的离心率 .故选B.右顶点分别为从八月人点P是双曲线5.已知双曲线曰2一匕=：11。*0）的左、C上与儿, /不重合的动点，若 喙网 = 3 ,则双曲线的离心率为（）A.夜B. V3C. 4D. 2【答案】D【解析】解：设 PCqjJ, Aif-a.,通式鼠0,4d11HJfn-d由可得守 - 3/）瑞=/一 3）,.而羊七I,.- 3d2 = 0,.炉=3fla二合一小，.：二二二即 =工,故选：D .已知双曲线H W =0泗左焦点为F, A, E为曲线仃的左、右顶点，点

22、P在曲线C上，且PF_Lh轴，直线就与v轴交于点M,直线b尹与r轴交于点阂， 。为坐标原点，若同而,则双曲线C的离心率为（）A.聂B. 2C. ：D. 3【答案】B【解析】由于pf_l比轴，不妨设p（一如当，而且（一髭（0出值。）.故直线P4PF的方程分别为尸二iG+a），）,令工=。，求得双=芸小=三,由于苏=-汐故=去，化简得（ = 2,故选B.已知W为双曲线搐一忌=1m 。a叫的右顶点，尸为双曲线右支上一点，若点F关于双曲线中心。的对称点Q满足匕pX （=；,则双曲线的离心率为（）A.雷 MB. yC.而D.而一1【答案】B【解析】因为总黑 =;,所以=士4 7xa 7t71 工一cl

23、Jf也 Jf3一维 工因为X = l,所以产小工口-四所以 a=2b,所以o7 = 4V 二里 一 a）.二 5as =婷用 e = 故选：B7.已知双曲线。：一:二1（征0,0）,过点网也。作直线交双曲线C的两条渐近线于月、E两点，若B为白的中点，且。j二*则双曲线的离心率为（）A. MB.拶C.凯叵D. 45【答案】B【解析】因为过点作直线交双曲线匚的两条渐近线于A、E两点，且已为FA的中点,且 OA=cy所以。力平分瓜QF,根据双曲线的渐近线关于y轴对称得到。儿和y轴正半 轴所成角和角E相等，。4和。5的夹角为60口，因为。M和。E都是双曲线的渐近线， 故得到轴平分角A口吃过第一、三象限

24、的渐近线的倾斜角为如 所以孑=,即*部,所以匚=曲,则双曲线的离心率为手.故J则产二9.已知F是双曲线之-g =坳 OR外的左焦点,过点广作垂直于入轴的直线交 该双曲线的一条渐近线于点y,若记该双曲线的离心率为A.金B.4【解析】 由题意得，F(-rO),该双曲线的一条渐近线为 = 嵬，将t=r代入y = :第得 丫三 人曰三2% 即比=2心，4a4, = b3c2 = c1 (工工一以% 二巴 4 4 = 0 ,解故选:A.【宁夏平罗中学2019届高三二模】已知耳冉是双曲线E=的左、右焦点，点M在E上，M三与x轴垂直，疝山用行=则双曲线E的离心率为A*B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析

25、】M片与x轴垂直，sinziW写玛二亍，;设ME = m,则ME = 4im,由双曲线的定义得由nm = 2a, 3m = 2ay得旭在直角三角形闻用片中，16质工一= 4产，即15mH =4,则45tl =第七,故选：A.已知双曲线口?一2=1加（）为 0的右焦点为尸，以为圆心，实半轴长 为半径的圆与双曲线匚的某一条渐近线交于两点P,Q,若而=而?（其中。为原 点），则双曲线匚的离心率为（）A,再B.第C.卓D. y【答案】D【解析】解：设双曲线的一条渐近线方程为 y二；x,H为PQ的中点，可得FH XPQ,由F (c, 0)到渐近线的距离为FH=d二辑5Mb,. PH= 4d * ,又为二

26、 30P. OH= 一 .：-不-丁即 7口 = 4c2故选：D二、填空题.已知双曲线。三一号=1(。津 口:，其渐近线与圆色-牙+胃二？相交，且渐近线被圆截得的两条弦长都为 2,则双曲线的离心率为【答案】一【解析】双曲线一2=1稹 。上 中的一条渐近线为以+町=0 ,与圆(其-2y+ya = 2相交，弦长为2,则弦心距为1藤711 = 1即圆心0)到渐近线S无十磔=0的距离为工工溪& = 1,得能工二一在双曲线中/二仁口一吟 3c2- 3na = a2 ,即M =4M11 .已知点F是双曲线R5-白=1Q 0,豳一的右焦点,的直线I与C的左、右两支分别交于A, 5两点，且赤,赤=0过原点且倾斜角为3,则C的离心率为【答案】一【解析】解：设F为双曲线的左焦点，连接AF, BF,由静第=0,可得AFXBF,可得四边形AFBF为矩形,又/BOF= 7, -zBFF=彳.FF=2c , . .BF=c , BF=近亡由双曲线定义可知：BF- BF=2