全国高考数学试题(理科、文科)及答案

1、全国高考数学试题理科试题.选择题：本题共15个小题；第(1) - (10)题每小题4分，第(11) -(15)题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)已知全集 I=N ,集合 a =x|x=2n,nN, B=x|x = 4n, nwN。则(C)(A)I=AuB(B)I=AuB(C)i=a，jB (D)i=A5B(2)当a1时，在同一坐标系中，函数y = a与 y = logx的图象是若sin2 x Acos2 x ,则x的取值范围是(A)(B)x|2k二(Ox | k二-1一二：x : 2k 二411一二：x ：二 k 二一二,k Z(D)x|k二13

2、 .一二：二 x :k： 一 1k Z(4)复数(2+2i)：等于(3)，一 31, 一，x | 2k二-二；x : 2k二 二k Z 44(A)(5)1+J3i(B) T + J3i(C) 1 -V3i(D) -1-V3i如果直线l、m与平面北、。、？满足：l = Pc 丁/u, m u a和m_L?,那么必有(A) 0(_17且15(B) a_L7且 m/P(C) m/P且 Um(D) /日且也(6)当一三wx/日寸，函数f (x) = sin x +代cosx 的(D )22(A)最大值是1,最小值是-1(B)最大值是1,最小值是一 1 2(C)最大值是2,最小值是-2(D)最大值是2,

3、最小值是-1 TOC o 1-5 h z (7)椭圆；x=3+3cosQ的两个焦点坐标是(B )y = -1 +5sin 中.(A) (-3, 5), (-3, -3)(B) (3, 3), (3,-5)(C) (1, 1), (-7, 1)(D) (7, -1 ), (-1 , -1 )(8) 若。父父三 贝 U arcsincos (三十 a)+arccossin(n +等于( A )22(A)(B) -(Q -2a(D) - -2口2222(9)将边长为a的正方形ABCD&对角线AC折起，使得BD=a ,则三(D)棱锥D-ABC勺体积为(A)(B)12(C)3 3a12(D) a312等

4、于(A) 2(B) _|33(11)椭圆的极坐标方程为(10等比数列an的首项，前n项和为Sn ,若J 32 ,贝也&(B )(C) 2(D) -2P = -则它在短轴上的两个顶点的2 - cos(C)极坐标是(A) (3, 0), (1,兀)(B) (W),(汽产) TOC o 1-5 h z 22(C) (2, g), (2,警)(D) (、%a6), (2n-arctgt)3322(12)等差数列为的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(C )(A) 130(B) 170(C) 210(D) 2602(13)设双曲线一4=1(0交酎的半焦距为c,直线l过(a, 0),

5、a b(0, b)两点。已知原点到直线l的距离为ac,则双曲线的离心率 4 TOC o 1-5 h z 为(A )(A) 2(B)屈 (Q 0)的准线相切。贝UP= 答：2(17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个(用数字作答)答：32(18) tg20。+tg40。+ 73tg 20 Tg40 的值是答：、,3(19)如图，正方形ABC所在平 面与正方形ABEFW在平面成600 的二面角，则异面直线AD与BF 所成角的余弦值是 答: 三.解答题：本大题共5小题；共50分.解答应写出文字说明、证明 过程或推演步骤。(20)(本小题满分11分)解不等式loga(1)1

6、.x解：(I)当a1时，原不等式等价于不等式组: TOC o 1-5 h z /1 C10.1x 由此得1-a 1.1-1 a.xx因为1 -a 0,所以x 0,:二 x :二 0.1 - a(H)当0a0,(1)1x1 - 1时，不等式的解集为x|x0；1 - a当0空1时，不等式的解集为x1x 1 .1 - a(21)(本小题满分12分)已知 ABC勺三个内角A, B, C满足:A+C=2B，+=旦.求 cosAiC 的值 cos A cosC cosB2解：由题设条件知:B=6d, A+C=120- 2 = -2 2, 2 -2.2.cos60cosA cosC将上式化为 cosA co

7、sC - -2.2 cosAcosC利用和差化积及积化和差公式，上式可化为A C A -C2 coscos = - . 2cos(A C) cos(A - C) TOC o 1-5 h z 22一 A C11 .将 cos= cos60 =一 ,cos(A + C)= -一代入上式得222A -C 2-cos = 2 cos(A - C)22将8s(AP-slA)-1代入上式并整理得4、2cos2(A) 2cosA 3 2 =0 22A CA C(2cos- 2)(2 . 2 cos- 3) = 0A - C 2 2 cos 3 = 0,2A - C2cos . 2 =0.2从而得cos”.(

8、22)(本小题满分12分)如图，在正三棱柱 ABC-ABG中，E6 BB,截面AEM侧面AC(I)求证：BE=EB(H)若AA=AB,求平面 AEC与平二面角(锐角)的度数。注意：在下面横线上填写适当内容，(I)的完整证明，并解答(II)。(I )证明：在截面AEC内，过E作EG!AC, G是垂足。.面AEC1侧面AC,.EGL侧面AC;取AC中点F,连结BF, FG 由 AB=BC导 BF AG;面ABCL侧面AC一面ABC所成使之成为D Bi BF,侧面 AC;得 BF/ EG BR EG确定一个平面，交侧面 AC于FG: BE/侧面AC,.BE/ FG四边形BEG匿平行四边形，BE=FG

9、丁 BE/ AA,.FG/ AA,匕AACAFGQAF=FC.FG=1AA=1BB,即 BE=1BB,故 BE=ER 222(H)解：分别延长CE CB交于点D,连结ADii. EB/CC, EB=，BB=CC, 221 DB= DC=BC=AB ,2/BAiC=/BCiA=600, /DAB=/ADB=1 (1800-/DBAi) =30、 2 / DACi=/ DAB + / BAiCi=90,即 DA,AiCi。CC,面AiCB,即AiG是AiC在平面ACD上的射影，根据三垂线定理得DA,AiC所以/ CAC是所求二面角的平面角。. CG=AA=AB=AC, / AGC=90,/CACi

10、=45,即所求二面角为45。(23)(本小题满分i0分)某地现有耕地1 000心顷。规划I0年后粮食单产比现在增加22% 人均粮食占有量比现在提高I0%如果人口年增长率为I%那么耕地 平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)？/粮食总产量人均粮食 总产量、(= =)产量 耕地面积 占有量 总人口数解：设耕地平均每年至多只能减少 x公顷，又设该地区现有人口为 P 人，粮食单产为M吨/公顷。 TOC o 1-5 h z 依题意得不等式M (1 22%)吗-10 x)_3(110%). p(i 1%)10p10化简得 X M 103 11(1 0.01)1.22103 1 -1.1 (1 0.0

11、1) =103 1 - 1.1(1 C110 0.01 C120 0.012)1.221.2231.1：1011.1045 4.11.22二x W4(公顷)答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。(24)(本小题满分12分)已知11,12是过点P (-a/2,0)的两条互相垂直的直线，且11,12与双曲线y2-x2 =1各有两交点，分别为A、B和A、R。(I )求11的斜率k1的取值范围；(H)若 |AB|= 751A2B| ,求 11,12 的方程。解：(I)依题意，11,12的斜率都存在。因为11过点P (-72,0)且与I =k1(x+亚)(K #0),(1)双曲线有两个交点，故

12、方程组22.,y -x =1有两个不同的解。在方程组(1)中消去V,整理得(k12 -1)x2 +2J2k12x +2k12 7 =0若K2-1=0,则方程组(1)只有一个解，即11与双曲线只有一个交点, 与题设矛盾。故k12-10,即|用1。方程(2)的判别式为1 =(2 2k：)2 -4(k12 -1)(2k12 -1) =4(3k： -1).设12的斜率为k2,因为12过点P （-72,0）且与双曲线有两个交点，故方程组y = k2 (x + v12)(k2= 0),22y -x(3)有两个不同的解。在方程组（3）中消去V,整理得(k22 -1)x2 +22k22x+2k22 -1=0(

13、4)同理有 k22 1 #0, A2 =4(3k22 -1).又因为ll2 ，所以有k1火2 = -1.于是，l1,l2与双曲线各有两个交点，等价于3k： -1 0,3k22 -1 0,k1k2 = -1,国I卜,3 .解得 E|k1 卜：、3,If- k1(- . 3,-1) . (一1,- 3)一 ( ,1) . (1, 3)(H)设 A (x21)B (x2,y2).由方程(2)知一 2-2 2k1x x2 -2, x1x2 -k1 -12k12 -1k12 -1.| A1B1 |2 =(x1 一x?)2 (y 一 y2)2 = (1 k：)(x1 -x?)2 一 224(1k1 )(3

14、k1 -1)(k12 -1)2同理，由方程（4）可求得|A2B2|2,整理得I A2B2 I2 ;224(1 k1 )(3-k1 )(k12 -1)2(6)由 |AB|= 751A2BI ,得 |AB| 2=5|A2B2| 2.将(5)、(6)代入上式得2 一 22 一 24(1 k1 )(3k1 -1)- 4(1 k1 )(3 - k1 )=KX 2222(k1 -1)2(k1 -1)2解得ki =J2取 ki =V2 时，li : y = V2(x + V2),.2I2 ： y = (x 、, 2)； 2取 ki = 22 时，li : y = -v2(x+v,2),I2 ： y =2(x

15、 .2). 2(25)(本小题满分i2分)已知 a,b,c是实数，函数 f (x) =ax2+bx + c, g(x) = ax + b,当-i w xE i 时，|f(x)甲.(I )证明：|c|0,当-1 MxMi时，g(x)的最大值为2,求f(x).(I)证明：由条件当-ixiBt, |f(x)|i,取 x=0 得|c|=| f(0)|0时，g(x) = ax+b在-i , i上是增函数，g(-i) ig(x) Mg(i), | f(x)|i(-i x i),|c|i, g(i) =a b = f(i) -c| f(i)| |吓2,g(-i) =-a b = -f(-i) c-(|f(-

16、i)| |c|)-2,由此得 |g(x)怪2；当a0时，g(x) =ax+b在-i , i上是减函数，g(-i) -g(x) -g(i), | f (x)|i(-i xi),|c|i, g(7)=a b=T(i) c|f(7)| |c|E2, g(i)=a b = f(i)-c-(|f(i)| |c|)-2,由此得 |g(x)怪2；当 a=0 时，g(x) = b, f (x) = bx+c.-1 Ex . |g(x)|=| f(1) -c|.| f(1)| |c|2综上得 |g(x)区2.22证法二：由x = (x0一(x1) ,可得4x 12,x -1 2 x 1 x -1g(x) = a

17、x b = a(-2 ) -(- ) b(- -) TOC o 1-5 h z x 1、2 , ,x 1x -1、2 , ,x - 1r-a(-)b() c -a(-)b() c= f(x21)-f(x21).当一 1Wx41 时，0 x1 1,-1 x1 0时，g(x)在卜1 , 1上是增函数，当x=1时取最大值2,即 g(1) = a b = f(1) - f(0) = 2(1)-1 - f (0) = f (1) -2-1-2 - -1,.c = f(0) u-1.因为当1WxW1 时，f(x)之1,即 f(x)之 f(0),根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图象的对称轴，由此得

18、 -=0,即 b =0.2a由(1)得 a =2.所以 f (x) = 2x2 -1.选择题：本题共15个小题；第(1) - (10)题每小题4分，第(11) -(15)题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)已知全集 I=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7集合 A=1, 3, 5, 7, B=3,5.则(C)(D )(A) I -A _ B(B) i=A = b(C) i=a=B (D) i=A = B(A)x | 2k 二-31, r,一二：二 x : 2k -： ik Z(B),1x|2k二 445 , 一，二二 x : 2k 二 一，k

19、Z(0，1，x | k二-二：x : k二441 二,k Z4范围是(D)(4)复数(2 2i)4(1 - 3i)5等于(A)1+石(B) -1+J3i(C) 1 -V3i(D)-1 - 3i1.3 .x | k二 二：x : k二ik Z44(5) TOC o 1-5 h z (6)已知口是第三象限角且sin.24 ,则tgU =( D )252(A) 4(B) 3(C) 4(D)3443(7)如果直线l、m与平面a、P、y满足：l = Pc打/c(, mu o(和m_L ,那么必有(A )(A) 0(_1丫且15(B) ot_L且 m/F(C) m/P 且 Um(D) u/P 且 otP(

20、8)当一Ex 4时，函数 f (x) = sin x + J3cosx的(D )(A)最大值是1,最小值是-1(B)最大值是1,最小值是一工2(C)最大值是2,最小值是-2(D)最大值是2,最小值是-1 TOC o 1-5 h z (9)中心在原点，准线方程为x=4,离心率为T的椭圆方程是 2222(A) x +y =1旧 x +y =1( a )4334三棱锥D-ABC的体积为(D )(A) a3(B) a3(C) 73 a3(D)题 a6121212(13)等差数列为的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(C )(A) 130(B) 170(C) 210(D) 26022

21、(14)设双曲线一4=1(0交酎的半焦距为c,直线l过(a, 0), a b(0, b)两点。已知原点到直线l的距离为虫c,则双曲线的离心率4 TOC o 1-5 h z 为(A )(A) 2(B) M (Q 0)的焦点的距离是5,贝 U p=答：4(17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个(用数字作答) 答：32(18) tg20 +tg40 * + V3tg 201g40。的值是答：、.3(19)如图，正方形ABC所在平 面与正方形ABEFW在平面成600 的二面角，则异面直线AD与BF 所成角的余弦值是答：-24三.解答题：本大题共5小题；共50分.解答应写出

22、文字说明、证明 过程或推演步骤。(20)(本小题满分11分)解不等式loga(x 1-a) 1.解：(I)当a1时，原不等式等价于不等式组:x +1 -a 0,、x +1 - a a a.解得x 2a -1.(H)当0a0,、x +1 - a 1时，不等式的解集为x|x2a-1;当0ca1时，不等式的解集为x|a-1x2a-1.(21)(本小题满分12分)设等比数列an的前n项和为Sn.若S+S=2S,求数列的公比q. 解：q=1,则有&=34，4=6a1 , 3=94.但4#0 ,即得$+$#259,与 题设矛盾，故q =1.又依题意$+S=2S可得ai(1 -q3) ai(1-q6)(19

23、9) 二2, 1 -q 1 -q1 - q整理得 q3(2q6 -q3 -1) =0.由q =0得方程2q6 -q3 -1=0.(2q3 1)(q3 .1) =0,q =1,q3 -1=0,. 2q3 1 =0,34q 二一三.(22)(本小题满分12分)已知 ABC的三个内角A, B, C满足：A+C=2B，+=上.求 cosAiC 的值 cos A cosC cosB2解：由题设条件知：B=6d, A+C=120- 2 = -2 2,- 2 -2.2.cos60cosA cosC将上式化为 cosA cosC - -2.2 cosAcosC利用和差化积及积化和差公式，上式可化为A C A

24、-C2 coscos = - . 2cos(A C) cos(A - C) TOC o 1-5 h z 22将 cos A-C=cos60 =1 ,cos(A C) =-1代入上式得 222A - C2cos = 2 cos(A - C)22将cos(A-C) =2cos2(-1代入上式并整理得 2_2 A-C_ A-C_4、2cos () 2cos - 3 2 =022A CA C(2cos- 一 . 2)(2.2 cos- 3) =0A-C2 2 cos 3 = 0,2A-C2cos . 2 =0.2从而得cos”二(23)(本小题满分12分)【注意：本题的要求是，参照标本的写法，在标本、

25、线上填写适当步骤，完成(I)证明的全过程;并解答(如图，在正三棱柱 ABC-ABG中,CC上的点，且 BE=a, CF=2a(I )求证：面 AE&面ACF;(II)求三棱锥A-AEF的体积。(I )证明：BEw, CF=2a, BE/ CF,延长线交于D,连结AD.DB曰 ADCFAB=1AA=a, E、3B、的横).】F分别是BB、FE与CB延长DBDCBECF : BE:CF=1:2,DC=2DB = DB=BCDB=AB.ABDM等腰三角形、且/ABD=12。/. Z BAD=3),./CAD=9。DLAC.FC，面ACDCA是FA在面ACD的射影， 且 CAL AR /.FAI AD

26、.汗AC=A DAL面 ACF 而 DA 面 ADF面 ADFL面 ACF.：面 AEF1面 ACF.(C )解：: Vk1-AEF=V-AA1F.在面 ABG 内作 BiGSX A1C1,垂足为G. B iG= a .面 ABC面 AiC,EBB,而 BB/面 AiC,三棱锥E-AAF的高为3 a.Sxaia=1 AA AC=3a2.2 Vai-aef=Ve-aaif=a 3 .4（24）（本小题满分10分）某地现有耕地1 000心顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%人均粮食占有量比现在提高10%如果人口年增长率为1%那么耕地 平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？/粮食总产量 人均粮食总产量、（= =）产量 耕地面积 占有量总人口数7解：设耕地平均每年至多只能减少 x公顷，又设该地区现有人口为 P人，粮食单产为M吨/公顷。依题意的不等式M(1 22%)吗-10 x)_3(110%).p(i 1%)10p10化简得 X M 103 11(1 0.01)1.2210.103 1-1.1 (1 0.01)1.22