完全信息静态博弈和模型分析

1、完全信息静态博弈和模型分析2022/7/2322.1两人博弈一、两人博弈的基本模型 二、两人零和博弈 三、两人博弈的占优策略均衡四、重复剔除的占优均衡（严劣策略剔除法）五、纳什均衡2022/7/233 在无限策略、连续策略空间的博弈中，纳什均衡的概念同样适用。我们通过具体模型来说明这种博弈的纳什均衡分析方法。（一）库诺特（Cournot）模型 库诺特模型是研究寡头垄断市场的经典模型，在库诺特模型中,假设一个市场有两家生产同一种产品厂商。如果厂商1的产量为q1，厂商2的产量为q2，则市场总产量为Qq1十q2。设市场出清价格P是市场总产量的函数P=P(Q)=P (q1，q2)。再设两厂商有单位生产

2、成本分别为c1、c2,且都没有固定成本，则该博弈中两博弈方的得益(即两厂商各自的利润)分析如下。 六、无限策略博弈分析和反应函数2022/7/234库诺特（Cournot）寡头竞争模型企业1企业2博弈方：企业1、企业2策略： 选择产量支付： 利润，利润是两个企业产量的函数2022/7/235 库诺特（Cournot）寡头竞争模型qi ：第i个企业的产量Ci（qi）代表成本函数P=P（q1+q2）：价格是两个企业产量的函数第i个企业的利润函数为：企业1企业22022/7/236库诺特(Cournot)垄断竞争模型设有A、B两家厂商生产同样的产品。如果厂商A的产量为q1，厂商B的产量为q2且 0q

3、i+，i=1,2，市场总产量为q=q1+q2ci(qi)厂商i生产qi个单位产品所需成本p=p(q1+q2)市场出清价格那么，厂商i的总利润分别为：u1(q1,q2)=pq1-c1(q1)=p(q1+q2)q1-c1(q1)u2(q1,q2)=pq2-c2(q2)=p(q1+q2)q2-c2(q2)求这个博弈的Nash均衡。2022/7/237设想：若(q1*,q2*)为纳什均衡产量，那（q1*，q2*）是纳什均衡意味着：找出纳什均衡的方法是对每个企业的利润函数求一阶导数，使其为0。可求得两个函数：并称这两个函数为Cournot反应函数。每个企业的最优产量是另一个企业的产量的函数。2022/7

4、/238两个反应函数的交叉点就是NE q*=(q1*,q2*)q2 q1 0q1* q2* NEQ1(q2)Q2(q1)交叉点即纳什均衡点2022/7/239Cournot模型的具体化c生产一件产品时单位成本，则有：u1(q1,q2)=q1a-(q1+q2)-cq1u2(q1,q2)=q2a-(q1+q2)-cq2最优条件为：a-(q1+q2)-q1-c=0a-(q1+q2)-q2-c=0求得最佳反应函数为：求得NE q*=(q1*,q2*)中的2022/7/2310当每个企业有不变的单位成本c：设需求函数为：最优化的一阶条件是：解反应函数得纳什均衡为：垄断利润为：2022/7/2311博弈结

5、果的绩效评价设两个厂商为同一公司，从公司总利最大化的角度再作一次产量选择。设总产量为q，那么总得益为u(q)=P(q)q-cq=q(a-q)-cq则最优化条件为u(q)=a-c-2q=02022/7/2312结论：寡头竞争的总产量大于垄断产量，而寡头竞争的总利润却小于垄断的总利润。2022/7/2313可以说库诺特（Cournot）寡头竞争模型是典型的囚徒困境问题！垄断企业的问题：垄断企业的最优产量：垄断利润为：寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因是：每个企业在选择自己的最优产量时，只考虑对本企业利润的影响，而忽视了对另外一个企业的外部负效应。2022/7/2314 Cournot模型的纳什均衡

6、也可以通过对划线法思路的推广来求，划线法的思路是先找出每个博弈方针对其他博弈方所有策略(或策略组合)的最佳对策，然后再找出相互构成最佳对策的各博弈方策略组成的策略组合，也就是博弈的纳什均衡。 在无限策略的Cournot博弈模型中这样的思路实际上也是可行的，只是其他博弈方的策略现在有无限多种，因此各个博弈方的最佳对策也有无限种，它们之间往往构成一种连续函数关系。 2022/7/2315 在上面讨论的两寡头库诺特模型中，对厂商2的任意产量q2 ，厂商1的最佳对策产量q1 ，就是使自己在厂商2产量为q2的情况下利润最大化的产量，即q1是最大化问题：的解。上式对q1求导并令导数等于0：由此得：2022

7、/7/2316 这样我们得到了对于厂商2的每个可能的产量，厂商1的最佳对策产量的计算公式，它是厂商2产量的一个连续函数，我们称这个连续函数为厂商1对厂商2产量的一个“反应函数” (Reaction Function)。同样的方法，我们可再求出厂商2对厂商1产量q1的反应函数：由于这两个反应函数都是连续的线性函数，因此可以用坐标平面上的两条直线表示它们,如图:q26363q1(2,2)2022/7/2317 从图中可以看出，当一方的产量选择为0时，另一方的最佳反应为3。这正是实现市场总利润最大的产量，因为这时候等于由一个厂商垄断市场，市场总体利润就是该厂商的利益；当一方的产量达到6时，另一方被迫

8、选择0，因为这时后者坚持生产已经无利可图。 在两个反应函数对应的两条直线上，只有它们的交点(2，2)代表的产量组合，才是由相互对对方的最佳反应产量构成的。 Q1(q2)上的其他所有点(q1,q2)只有q1是对q2的最佳反应，q2 不是对q1的最佳反应，而Q2(q1)上的点则刚好相反。2022/7/2318 根据纳什均衡的定义，(2，2)是该古诺模型的纳什均衡，并且因为它是唯一的一个，因此应该是该博弈的结果。这个结论与前面直接根据纳什均衡定义得到的完全样。 现在我们把反应函数法应用到伯特兰德模型的分析。伯持兰德1883年提出了另一种形式的寡占模型。这种模型与选择产量的古诺模型的区别在于，伯特兰德

9、模型中各厂商所选择的是价格而不是产量。我们用简单的两寡头且产品有一定差别的伯特兰德价格博弈模型进行分析。（二）伯特兰德(Bertrand)寡头模型2022/7/2319 上述产品有一定差别是指两个厂商生产的是同类产品，但在品牌、质量和包装等方面有所不同，因此伯特兰德模型中厂商的产品之间有很强的替代性但又不是完全可替代，即价格不同时，价格较高的不会完全销不出去。当厂商1和厂商2价格分别为P1和P2时，它们各自的需求函数为：和2022/7/2320 从上式可以看出产品之间是有差别的，其中d1，d20即两厂商产品的替代系数。我们也假设两厂商无固定成本，假设边际生产成本分别为c1和c2 。两博弈方的得

10、益函数分别为： 我们直接用反应函数法分析这个博弈。上两式分别对P1和P2求偏导，并令偏导数为0，由此得：2022/7/2321 很容易求出两厂商对对方策略(价格)的反应函数分别为和2022/7/2322 纳什均衡(P1*，P2*)必是两反应函数的交点，即必须满足：求解此方程组即可得到纳什均衡(P1*，P2*)：记：2022/7/2323 将P1*，P2*代入得益函数则可进一步得到两厂商的均衡得益值。具体地，如果进一步假设模型中的参数分别为：则可以得到： P1*P2*20， u1*u2*414。 2022/7/2324 值得一提的另外点是，这种价格决策与古诺模型中的产量决策样，其纳什均衡也不如各

11、博弈方通过协商、合作得到的最佳结果，因此也是囚徒困境的一种。 随着社会经济的不断发展，我们越来越无法回避公共资源利用、公共设施提供和公共环境保护等方面的间题。而在这些问题中，也包含了众多的博弈关系。我们以人们对公共资源利用方面的博弈关系为例来作一些讨论。案例：公共资源问题2022/7/2325公共地的悲剧证明：如果一种资源没有排他性的所有权，就会导致资源的过度使用。公海捕鱼小煤窑的过度发展2022/7/2326 在经济学中，所谓公共资源是指具有(1)没有哪个个人、企业或组织拥有所有权；(2)大家都可以自由利用，这样两个特征的自然资源或人类生产的供大众免费使用的设施和财物。 例如大家都可以开采使

12、用的地下水，可自由放牧的草地，可自由排放废水的公共河道(假设政府未予限制)，以及公共道路、楼道的照明灯等。2022/7/2327 最早是从休漠1739年开始，政治经济学者们就己经开始认识到，在人们完全从自利动机出发自由利用公共资源时，公共资源倾向于被过度利用、低效率使用和浪费，并且过度利用会达到任何利用它们的人都无法得到实际好处的程度。 我们用下面这个公共草地的放牧习题为例来论证这个结论。 设某村庄有n个农户，该村有一片大家都可以自由放牧羊群的公共草地。出于这片草地的面积有限，因此只能让不超过某一数量的羊群吃饱，如果在这片草地上放牧羊只的实际数量超过这个限度，则每只羊都无法吃饱，从而每只羊的产

13、出(毛、皮、肉的总价值)就会减少，甚至只能勉强存活或要饿死。2022/7/2328 假设这些农户在夏天才到公共草地放羊，而每年春天就要决定养羊的数量，因此可看作各农户在决定自己的养羊数量时是不知道其他农户养羊数的，即各农户决定养羊数的决策是同时作出的。 再假设所有农户都清楚这片公共草地最多能养多少只羊和在羊只总数的不同水平下每只羊的产出。这就构成了n个农户之间关于养羊数的一个博弈问题，并且是一个静态博弈。 在此博弈中，博弈方就是n个农户；他们各自的策略空间就是他们可能选择的养羊数目qi(i=1,2, ,n)的取值范围。2022/7/2329 当各农户养羊数为q1、q2、 、qn时，在公共草地上

14、放牧羊只的总数为Qq1q2qn ，根据前面的介绍，每只羊的产出应是羊群总数Q的减函数vv(Q)v(q1、q2、 、qn) 。假设购买和照料每只羊的成本对每个农户都是相同的不变常数c，则农户i养qi只羊的得益函数为： 为了使讨论比较简单和能得到直观的结论，我们先考虑下列具体数值。假设n3，即只有三个农户，每只羊的产出函数为V100Q100(q1q2q3)，而成本c4。这时，三农户的得益函数分别为：2022/7/2330 由于羊的数量不是连续可分的，由此上述函数不是连续函数。但我们在技术上也可以把羊的数量看作连续可分的，因此上述得益函数仍然可当作连续函数来处理。 分别求三农户各自对其他两农户策略(

15、养羊数)的反应函数，得：2022/7/2331 三个反应函数的交点 (q1*,q2*,q3*)就是博弈的纳什均衡。我们将q1*,q2*,q3*代入上述应函数，并解此联立方程组，即得q1*q2*q3*24，再将其代入三农户的得益函数，则可得u1*u2*u3* 576，此即三农户独立同时决定在公共草地放羊数量时所能得到的利益。2022/7/2332 为了对公共资源的利用效率作出评价，我们同样也可讨论总体利益最大的最佳羊只数量。设在该草地上羊只的总数为Q。则总得益为： 使总得益u最大的养羊数Q*必使总得益函数的导数为0，容易求得： Q* 48，总得益值u* 2304。该结果比三农户各自独自决定自己的

16、养羊数量时三农产得益的总和1728大了许多。而此时的养羊数Q * 48则比三农户独立决策时草地上的羊只总数32472小，因此，三农户独立决策时实际上使草地处于过度放牧的情况，浪费了资源，农户也没有获到最好的效益。2022/7/2333 如果各农户能将养羊数自觉限制在48316只，则他们都能得到更多的利益。但问题是他们面临的也是种“囚徒的困境”局面，因此很难实现这种理想的合作的结果。这个例子再一次证明了纳什均衡，或者说非合作博弈的结果有可能是低效率的。 在本例中，如果利用上述草地资源的农户数进一步增加，则纳什均衡的效率会更低；如允许外来者任意加入利用该公共资源的行列，则所有利用该资源的人的利益很

17、决都会消失，即羊只总数会随着放牧农户数的增加而增加到刚好不至于亏损的水平，各农户将完全不能从在公共草地上养羊得到任何好处，公共资源等于完全被浪费掉。2022/7/2334案例： 公共地的悲剧（一般）有n个农民的村庄共同拥有一片草地，每个农民都有在草地上放牧的自由。每年春天，农民要决定自己养多少只养。gi：第i个农民饲养的数量，i=1,2,n. n个农民饲养的总量V: 代表每只羊的平均价值,v是G的函数,v=v(G), 因为每只羊至少要一定数量的草才不至于饿死,有一个最大的可存活量Gmax,： 当G0; 当G=G(x)时,v(G)=0。2022/7/2335当草地上羊很少时，增加一只羊也许不会对

18、其他羊的价值有太大影响，但随着羊的不断增加，每只羊的价值将急剧下降。GGmaxv博弈方：农民策略： 养羊的数量得益： 利润2022/7/2336假设一只羊的价格为c，对于农民i来讲，其利润函数为：最优化的一阶条件为： 上述一阶条件可以解释为：增加一只羊有正负两方面的效应，正的效应是这只羊本身的价值v，负的效应是这只羊使所有之前的羊的价值降低。2022/7/2337其最优解满足边际收益等于边际成本：上述n个一阶条件定义了n个反应函数：因为：所以：2022/7/2338第i个农民的最优饲养量随其他农民的饲养量增加而递减。n个反应函数的交叉点就是纳什均衡。 尽管每个农民在决定自己增加饲养量时考虑了对

19、现有羊价值的影响，但是他考虑的只是对自己羊的影响，而并不是对所有羊的影响，因此，最优点上的个人边际成本小于社会边际成本，纳什均衡总饲养量大于社会最优饲养量。2022/7/2339（三）霍泰林(Hotelling)模型设有一个长度为1的线性城市，并设城市位于横坐标上，消费者以密度1均匀地分布在0,1区间里，并设有两个商店位于城市的两端。商店s1在x=0处，商店s2在x=1处。0s11 s22022/7/2340每个商店提供单位产品的成本为c；消费者购买商品的旅行成本与离商店的距离成正比;单位距离成本为t 住在x处的消费者到s1采购，旅行成本为xt 到s2采购，旅行成本为(1-x)t 问题：求价格

20、竞争的NE。2022/7/2341设pi商店i的价格i=1,2 Qi(pi,p2)商店i的需求函数i=1,2住在x左侧的将在s1处购买，住在x右边的将在s2处购买，就有需求：Q1=x;Q2=1-x其中x应满足p1+xt=p2+(1-x)t因而求得需求函数为：2022/7/2342利润函数分别为si选择自己价格pi最大利润ui的条件为：求得两个反应函数为：p1*=p2*=c+t得每个商店的均衡利润为u1=u2=t/22022/7/2343 这也就解释了在城市街道上，我们常见到一些地段上的商店十分拥挤，构成一个繁荣的商业中心区，但另一些地段却十分冷僻，没什么商店。对于这种现象，我们可以运用纳什均衡

21、的概念来加以解释。 甲 乙 1/2 图1 商业位置博弈 2022/7/2344 见图1，有一个长度为1单位的街道，在街道两边均匀地分布着居民。现有两家商店决定在街道上确定经营位置。如果甲在街道中间位置1/2处设店，则乙的最好选择是紧靠甲的左边或右边设店。2022/7/2345 当乙在甲的右边紧靠甲设店时，其右边街道上的顾客都是乙的顾客；如果乙不是紧靠甲而是远离甲设店，则其顾客只是其右边街道的居民，不如它紧靠甲设店时多，因而在远离甲的位置设店是劣策略。所以给定甲在1/2处设店，乙在紧靠甲的左边或右边设店是最优的。反过来，给定乙在接近1/2处设店，甲的最优选择也是在1/2附近设店。这样，甲和乙挤在

22、1/2处设店就是纳什均衡，这就是商业中心区的形成原理。2022/7/2346反应函数法的局限性博弈方的盈利函数ui不是连续的可导函数；各博弈方的反应函数不存在交点；反应函数的交点不唯一。0R1R20R1R22022/7/2347 最后，可能存在一个对均衡概念的误解，希望大家可以避免。误解一当我们说博弈的结果是均衡，并不一定是对参与者最有利的结果，更不意味着是对整个社会作为一个整体而言最有利的结果。 误解二在经济学中，均衡意即相关量处于稳定值。 2022/7/2348那么什么是博弈论的均衡呢？所谓博弈均衡，它是一稳定的博弈结果。均衡是博弈的一结果，但不是说博弈的结果都能成为均衡。博弈的均衡是稳定

23、的，因而是可以预测的。纳什均衡是一最常见的均衡。它的含义是：在对方策略确定的情况下，每个参与者的策略都是最好的，此时没有人愿意先改变自己的策略。 纳什均衡是博弈论中的重要概念，同时也是经济学的重要概念。2022/7/2349问题一：所有权配置与等级结构考虑团队生产：工作偷懒工作偷懒6，62，20，88，0解决途径让其中的一个人变成所有者？2022/7/2350问题二：风险与均衡的思考由于纳什均衡要求理性共识和一致预期，当人们可能犯小小的错误时，纳什均衡不一定被选择。如下面这个博弈中，多数人将选择“下”而不是“上”。上下 左 右8, 10 -1000,97, 66, 5只要B有千分之一的概念错误

24、地选择右，A将选择下；如果B怀疑A怀疑自己可能犯错误，B将选择右。所以，出现的不是纳什均衡2022/7/2351问题三：性别博弈与先动优势2022/7/2352问题四： 为什么大人物、大公司要聘请常年律师？ 大人物、大公司对声誉十分看重，因而为一些不良人物或公司通过诽谤大人物、大公司企图迫使大人物、大公司花钱“私了”而获利。这是因为，尽管对于一些无端的指控，大人物、大公司可望通过法律手段（打官司）而出清了结，但打官司请律师会增加他们额外的成本。如果能花稍少一些钱“私了”，则既使自己清白又省钱，同时诽谤者也获得收入。2022/7/2353 大人物、大公司为了避免这种无端的损失，干脆花钱请常年律师

25、，律师费用已经一次性支付，打官司不会带来额外的花费。这是一个承诺行动，它告诉潜在的诽谤者，大人物、大公司一旦受到无端诽谤必定会让他们吃官司。这样，大人物、大公司因此承诺行动而使自己得到保护，避免了许多无端指控的发生。2022/7/2354课后练习:P103:8,92022/7/2355纳什均衡还存在那些问题？问题一：一个博弈什么时候至少存在一个纳什均衡？问题二：如果一个博弈存在两个以上的纯策略纳什均衡，又该如何决策？2022/7/2356问题三：有些博弈没有“纯策略”纳什均衡，如监督博弈。监督不监督偷懒不偷懒1，11，22，32，2给定工人偷懒，老板的最优选择是监督；给定老板监督，工人的最优选择是不偷懒；给定工人不偷懒，老板的最优选择是不监督；给定老板不监督，工人的最优选择是偷懒；如此循环。2022/7/2357课堂思考请模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个战略：棍子、老虎、鸡、虫子。输赢规则是：棍子降老虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降棍子。两个人同时出令，如果一个打败另一个，赢者效用为1，输者效用为 -1，否则，效用均