解析几何直线过定点问题

1、解析几何定点问题、曲线过定点-2,0),点y轴交于点M,1、(2016广州一模)已知椭圆 C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，左顶点为 A ,左焦点为B(2, 72)在椭圆C上，直线y=kx(k#0)与椭圆C交于E, F两点，直线 AE , AF分别与N . (I)求椭圆C的方程； TOC o 1-5 h z (n)以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.22(I)解法一：设椭圆C的方程为三+与=1 (a b 0), a b因为椭圆的左焦点为 F1(2, 0 ),所以a 2.2 2k所以x0;2，人yoI 21 2k. 1 2k b2 =4 . 1分设椭圆的

2、右焦点为 F2(2, 0 ),已知点B(2,反)在椭圆C上，由椭圆的定义知 BF1 +|BF2 =2a,所以2a =3应+夜=4夜. 2分所以a =2应，从而b=2. 3分22所以椭圆C的方程为二十匕=1. 4分8422解法二：设椭圆C的方程为 三十与=1 (a Ab 0), a b因为椭圆的左焦点为 F1( -2, 0),所以a2 b2 =4 . 1分42一因为点B(2, J2而椭圆C上，所以 =+0=1. 2分a b由解得，a=2/2, b = 2. 3分22所以椭圆C的方程为上+匕=1. 4分84(n)解法一：因为椭圆C的左顶点为 A,则点A的坐标为(-2底,0 ). 5分22因为直线y

3、 =kx (k #0)与椭圆二十上=1交于两点E , F ,84设点 E (x0, y0 )(不妨设 Xo 0),则点 F (Xo, y0 ).y =kx,联立方程组 2 v2 消去y得x2=圣上=11 2k284所以直线AE的方程为y =1 J 2k2（x+2夜）.因为直线AE , AF分别与y轴交于点M , N ,人 i2&k日口后匚272k令x = 0倚y =, ，即点M 0,1 十 J1 +2k2V 1 十后2k2/同理可得点N 0,2 2k二1 - ,1 2k2所以MN2 2k22k21.1 2k2 1 - ,1 2k210分丁 2 点)设MN的中点为P ,则点P的坐标为p 0 _

4、I k J则以MN为直径的圆的方程为x2 +I 2k2k、211分令 y=0,得 x2=4,即 x = 2 或 x = -2.12分故以MN为直径的圆经过两定点R(2,0), P2(2,0).解法二：因为椭圆C的左端点为A,则点A的坐标为(26,0 ).22因为直线y =kx （k *0）与椭圆x-+L =1交于两点E , F ,84设点 E（x0,y）,则点 F（x。，y0）.所以直线AE的方程为y =一（x+2后 ）.x02,2因为直线AE与y轴交于点令x =0得丫 =包2军, x0 2,2即点M 0, 200同理可得点N 0, 2 -2y0-xo-2/2 j所以MN2、,2y02j2yI

5、6y0 x0 2 v 2 x0 - 2 J2x0 -822因为点E(x0,yO)在椭圆C上，所以 匣+巨 =1.84所以MN设MN的中点为P ,则点P的坐标为P 1 0,叵0 j.10分则以MN为直径的圆的方程为x2 +yoyX16yo2 y0Rn 22 2 2x0,ii分即 x + y +y = 4 .y。令 y=0,得 x2=4,即 x = 2 或 x = -2.12分故以MN为直径的圆经过两定点P(2,0), F2(-2,0 ).解法三：因为椭圆C的左顶点为 A,则点A的坐标为(-2夜,0 ).x y因为直线y=kx(k=0)与椭圆一+工=1交于两点E , F ,84设点 E (272

6、cos0,2sin 8)(0 日 冗)，贝U点 F (-272 cos, -2sin 日所以直线AE的方程为y 二2sin 12.2 cosu 2 - 2(x + 2& ).因为直线AE与y轴交于点M ,2sin 1口口 ,2sin 1,即点M 10,同理可得点- 2sinN 10,cos - -1所以MN2sin - 2sin -cos - 1 cos - -1sin -, 一 一一.2cos 口10分设MN的中点为P ,则点P的坐标为P 0,仝”.sin 1则以MN为直径的圆的方程为 x24、已知椭圆 彳+工=1上的两个动点 P, Q,设P(x1，y1)，Q(x2, y2)且x1 + x2

7、=2.求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A;证明 P(x1 , y1), Q(x2, y2),且 xI+x2=2. + y + 2cos = -4 ,sin 1 sin 二22 4cos n /11分即 x + y +y=4.sin 二令 y =0,得 x2 =4 ,即 x = 2或 x = 2 .故以MN为直径的圆经过两定点(2,0), P2(-2,0 ). 12分22.已知函数y=-x+-x+一的图象无论m取何值(m#0)恒过定点，求定点的坐 标. m 1 m 1 m 1二、直线过定点3、过抛物线y2 = 2 px( p 0)顶点作两条互相垂直3、过抛物线y2 =2x顶点作两条互相垂直

8、的 弦交抛物线于A,B两市)求证直线AB必经过定点；(2)求AAOB面积的最 (1)求证直线AB必经过定点；(2)求MOB面积的最小值(II)当直线存在斜率是，设它的方程为了 二笈十上Q J代入丁 二 2七，消w得期，-2了 + 25=0.二了此工一kF由(1)知，%为=一4一 ，一=4，即b=2无，直线/以？=履-24 = (52),恒过(2, 0)点.当x产x2时,x2+2y2=4,x2+2y2=4,得g2=x1 x21x + x22y+y2设线段PQ的中点N(1, n),kpQ =y1 一 y2x1 x22n当HE不存在斜率时，其方程为胃=2,也过Q, 0)点. 故 直线月B恒过定点(2

9、, 0).线段PQ的垂直平分线方程为 y-n=2n(x-1), (2x-1)n-y=0,该直线恒过一个定点A.g, 0，当Xi=X2时，线段PQ的中垂线也过定点A, 0 .综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点Ag, 0，5、(2013陕西)已知动圆过定点 A(4,0),且在y轴上截得的弦 MN的长为8.(I )求动圆圆心的轨迹 C的方程；(n )已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点 P, Q 若x轴是/PBQ的角平分线，证明直线l过定点.MN 2222解:(I) A(4,0),设圆心C(x, y),MN线段的中点为E,由几何图像知ME = ，CA2 = CM 2 =

10、 ME2 + EC2 2;(x-4)2 +y2=42 +x2= y2 =8x(n )点 B(-1,0), TOC o 1-5 h z 22y1x11设 P(x1，y1),Q(x2,y?),由题知y1+y2#0,丫也0)过点M (m,2),其焦点为F,且|MF|=2.(I)求抛物线C的方程；(n)设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F ：22(x -1)2 +y2 =1相切，切点分别为 A,B ,求证：直线 AB过定点.解：(1)抛物线C的准线方程为：x = -p，二| MF |= m十段=2 ,又；4 = 2pm ,即4 = 2p(2 -p) 二p2

11、一4 p+4 = 0,二p = 2 ,抛物线C的方程为y2 = 4x .(2)设点E(0,t)(t0),由已知切线不为 y轴，设EA:y=kx+ty kx t联立2 ，消去 y，可得 k2x2 +(2kt 4)x +t2 =0y = 4x.直线 EA与抛物线 C 相切，.A =(2kt4)24k2t2 =0 ,即 kt =112222代入 x2 -2x +t2 =0, x=t2,即 A(t2,2t)设切点B(xo, yO),则由几何性质可以判断点 O,B关于直线EF : y = -tx +t对称，则工y t -0二-1xo0 -1巴一t x0 t222t2x0 2-t2 12ty2t2 2t2

12、， 2t 1 t 1t思路1：直线AB的斜率为kAB = (t / 土1)直线AB的方程为y =1(x t2)+2t ,整理y = sC(x 1)二直线AB过定点恒过定点F(1,0) t2 -1t2 -1当t =土1时，A(1,-2), B(1,1),此时直线 AB为x=1 ,过点F (1,0).综上，直线 AB过定点恒过定点 F(1,0)思路2：直线AF的斜率为kAF2t 八2t2 , 一 2t(t#1),直线 BF 的斜率为 kBF =_1 = 1L(t/1), t -12t . t -1-1t 1，kAF =kBF ,即A,B,F三点共线当t=1时，A(1,2), B(1,1),此时A,

13、B,F共线.，直线AB过定点F .22万5、已知椭圆C0+ ?r=1(ab 0)的离心率为 ，直线l :x y+J2=0与以原点为圆心,a b以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.(I)求椭圆C的方程;(n )设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线 MAMB交椭圆于A , B两点，设两直线的斜率分别为 k1 ,k2,1且k1+k2=4,证明：直线AB过定点(一，-l).2解：(I)椭圆C的离心率e =2 c2 a2 -b2122e = =2 = - , a = 2b .a a 2_2由x y +亚=0与圆x2 + y2 =b2相切，得b =10a2 =2.二椭圆C的方程为： 工+ y2 = 1 .2

14、(n)若直线 AB的斜率不存在，设方程为 x = x0,则点A(x0,y0), B(x0，-y0).XoXo111=4,得x0 = 一-.此时AB万程为x = 一一，显然过点(一一，-l).222若直线AB的斜率存在，设 AB方程为y=kx+m,依题意m # 1.y = kX m设 A(xi, yi), B(x2, y2),由(x22得(1+2k2 )x2+4kmX+2m22 = 0.万八14km则 X x2 ：21 2k2XX22m2-2 .2.由已知 k1 +k2 = 4,1 2k2yi -1 + y2 -1 =4,X1X2kX1m-1 kX2 m -1 ，日厂1,、为+=4 即 2k +(m-1)-L-将X1+X2,X1X2代入得XiX2X1X2r1即 y = k(X+-)-1 .2kk: k =2(m +1),，m = 一1.故直线 AB 的万程为 y = kX + 1,22二直线过定点(1 , -l).2(n)法二：由已知MA方程为 y = k1X+1 ,设 A(Xi,yi) , B(X2, y2),y =kXi由X22571得 1 2ki2 X2 4kiX