解直角三角形的应用中考试题

1、解直角三角形的应用中考试题作者：日期:解直角三角形的应用一.选择题（共 5小题）.如图，要测量 B点到河岸 AD的距离，在A点测得 / BAD=30 ,在C点测得 / BCD=60 ,又测得 AC=100米，则B点到河岸 AD的距离为XA. 100 米B. 50 米C米 D, 50 米米B一r=l 15/1 X.B/2.如图，一河坝的横断面为等腰梯形底AD的长度为（）A. 26米28 米ABCD ,坝顶宽10米，坝高12米，30 米斜坡AB的坡度i=1:1.5,则坝46 米.如图1,某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图 2是侧面示意图.已知自动扶梯AB的坡度为1： 2.4,AB的长度是13米，M

2、N是二楼楼顶，MN / PQ , C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BCXMN ,在自动扶梯底端 A处测得C点的仰角为42 ,则二楼的层高BC约为（精确到 0.1 米，sin42 0y7, tan42 090） （ ）一I 图1即IIA .10.8B. 8.9 米C. 8.0 米D.5.8 米米.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15 0方向的A处，若渔船沿北偏西 750方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60方向上，则B、C之间的距离为（）A. 20海里 B. 10海里C. 20海里D. 30海里二.填空题（共 5小题）.

3、如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌 B点、C点的仰角分别为 52。、35。，则广告牌的高度 BC 为 米（精确到 0.1 米）.（sin350 在57, cos35082, tan35 P.70 ;sin52 079,cos52 0 分2 , tan52 1 28）.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45。角，作业时调整为60。角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高.为解决停车难的问题，在如图一段长 56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成 45。角，那么这个路段最多可以划由个这样的停车位.如图，河流两岸 a、 b互相平行，点 A、B是河岸

4、a上的两座建筑物，点 C、 D是河岸b上的两点， A、 B的距离约为200米.某人在河岸 b上的点P处测得 /APC=75 , /BPD=30 ,则河流的宽度约为 米.三.解答题（共 5小题）9.图1中的中国结桂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成 意图如图2.在图2中，每个菱形的边长为10cm ,锐角为60 .1）连接CD , EB,猜想它们的位置关系并加以证明；2）求A, B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）参考数据：F.41 , F.73,2.45）30的夹角，示图210.如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的

5、长度.她先在山脚下点 E处测得山顶 A的仰角是30 ,然后，她沿着坡度是i=1 : 1 （即tan/ CED=1 ）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得 A点的俯角是15 .已知小丽的步行速度是E、D、 C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上.求生娱乐场地所在山坡F.41 ,结果精确到 0.1米）18米/分，图中点 A、 B、AE的长度.（参考数据:.如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2,晾衣架伸缩时，点 G在射线DP上滑动， /CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm ,且AH=DE=EG=20cm .（1）当/ CED=60 时，求C、

6、D两点间的距离；（2）当 /CED由60变为120时，点A向左移动了多少cm ?（结果精确到 0.1cm）（3）设DG=xcm ,当/ CED的变化范围为 60 720 （包括端点值）时，求 x的取值范围.（结果精确到0.1cm ）（参考数据 V.732 ,）.如图是某通道的侧面示意图，已知 AB /CD/EF, AM / BAM=30 , AB=6m .(1)求FM的长；2)连接 AF,若 sin/ FAM=,求 AM的长. 一艘观光游船从港口A以北偏东60的方向由港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发生了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船 在它的北

7、偏东370方向，,求海警船到大事故船马上以40海里每小时的速度前往救援cos53 06)解直角三角形的应用练习题参考答案与试题解析一.选择题（共 5小题）1. （2012?襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角 仪，去测量学校内一座假山的高度CD .如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m ,他的眼镜距地面的高度为1.6m,李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点 C,此时，铅垂线 OE经过量角器的60。刻度线，则假山的高度为（）A. ( 4 +1.6) mB. ( 12 +1.6) mC. (4 +1.6) mD. 4 m考点：解直角三角形

8、的应用.分析：根据已知得由 AK=BD=12m ,再利用tan300=,进而得由 CD的长.解答： 解： : BD=12米，李明的眼睛高 AB=1.6米， /AOE=60 ,/. DB=AK , AB=KD=1.6 米， / CAK=30 ,AK解得CK=4 (米)，即 CD=CK+DK=4 +1.6= ( 4 +1.6)米.故选：A.点评:本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得由tan30 =解答是解答此题的关键.（2014?随州）如图，要测量B点到河岸 AD的距离，在 A点测得/ BAD=30 ,在C点测得/BCD=60 ,又测得 AC=100米，则B点到河岸 AD的距离为（）IBD.

9、 50 米/ ABC=30 ,再根据等角对等边可得 CM长，最后利用勾股定理可得答案.AC=BC ,掌握直角三角形的性质：30角所对直i=1 : 1,5,则坝底AD的长度为（考点：解直角三角形的应用.专题：几何图形问题.分析：过B作BM XAD,根据三角形内角与外角的关系可得BC=AC ,然后再计算由 / CBM的度数，进而得到 解答：解：过B作BM1AD ,: / BAD=30 , / BCD=60 ,，/ ABC=30 ,，AC=CB=100 米，; BM AD,，/ BMC=90 ,，/ CBM=30 ,，CM= BC=50 米，BM= CM=50 米, 故选：B.rC Sf D点评：

10、此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明 角边等于斜边的一半.（2014?衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ,坝顶宽10米，坝高12米，斜坡 AB的坡度C. 30 米 D. 46 米考点：解直角三角形的应用 -坡度坡角问题.专题：几何图形问题.分析： 先根据坡比求得 AE的长，已知 CB=10m ,即可求得 AD .解答：解：丁坝高12米，斜坡AB的坡度i=1 : 1.5,AE=1.5BE=18 米,BC=10 米，AD=2AE+BC=2 M8+10=46 米,故选：D.E 10 C,将相关的知识点点评： 此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况

11、 相结合更利于解题.（2014?西宁）如图1,某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图 2是侧面示意图.已知自动扶梯 AB的坡 度为1 : 2.4, AB的长度是13米，MN是二楼楼顶， MN / PQ , C是MN上处在自动扶梯顶端 B点正上方 的一点，BC XMN ,在自动扶梯底端 A处测得C点的仰角为42 ,则二楼的层高BC约为（精确到 0.1米, sin42 067 , tan42 0 六90）（）A . 10.8 米B. 8.9 米C. 8.0 米D. 5.8 米考点：解直角三角形的应用 -仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题.专题：几何图形问题.分析： 延长CB交PQ于点D,根

12、据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角 4CDA中利用三角函数即 可求得CD的长，则BC即可得到.解答：解：延长CB交PQ于点D ./ MN /PQ, BCXMN ,/. BC PQ .;自动扶梯AB的坡度为1 : 2.4,设 BD=5k 米，AD=12k 米，则 AB=13k 米.; AB=13 米，k=1 ,，BD=5 米， AD=12 米.在 RtACDA 中， / CDA=90 ,/ CAD=42 ,，CD=AD ?tan / CAD 2 0.90 0.8 米， ，BC 5.8 米.故选：D . TOC o 1-5 h z /IPr An点评：本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助

13、仰角构造直角三角形并解直角三角形.（ 2014?临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西150方向的A处，若渔船沿北偏西750方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东600方向上，则B、C之间的距离为（）/A . 20海B . 10海里C. 20海里D.30海里里考解直角三角形的应用 -方向角问题.京：几何图形问题.蓼：如图，根据题意易求 ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度.樨： 解：如图， /ABE=15 , / DAB= / ABE ,答：DAB=15 ,，/ CAB= ZCAD+ /DAB=90 .又FCB=6

14、0 , /CBE= / FCB , / CBA+ / ABE= / CBE ,，/ CBA=45，在直角 ABC sin/=中，ABC=，BC=20海里.故选：C.r北个东点评：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题.解题的难点是推知 ABC是等腰直角三角形.二.填空题（共 5小题）（ 2009?仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌 B点、C点的仰角分别为52、35 ,则广告牌的高度 BC 为 3.5 米（精确到 0.1 米）.（sin35 057, cos35 082 , tan350070;sin52 079, cos52 0F2, tan52 0198）考解直角

15、三角形的应用 -仰角俯角问题.点：应用题；压轴题.BD蓼：图中有两个直角三角形4ABD、 ACD ,可根据两个已知角度，利用正切函数定义，分别求生析.，一和CD ,求差即可.答：一，,，,解：根据题意：在 RtA ABD 中，有 BD=AD ?tan52 .在ADC 中，有 DC=AD ?tan35 则有 BC=BD - CD=6 （1.28 - 0.70 ）=3.5 （米）.点本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.评：7. （ 2009?安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成 顶端沿墙面升高了 2 （） m.45角，作业时调整为60。角（如图所示），则梯子的考 解

16、直角三角形的应用-坡度坡角问题.京：压轴题.粤：利用所给角的正弦函数求两次的高度，相减即可.析：解 解：由题意知：平滑前梯高为4?sin45 =4?=.答：平滑后高为 4?sin60 =4 ?=.升局了 2（） m.点本题重点考查了三角函数定义的应用.（ 2014?宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.217个这样的停车位.（F.4 ）考点：解直角三角形的应 用.专调配问题.题： 如图，根据三角函数可求BC , CE,由BE=BC+CE可求BE,再根据三角函数可求EF ,再根据停车位的个数 =(56 - BE) 由F+1 ,列式计算即可求解.解答:

17、解：如图,BC=2.2 冷in45 =2.2 乂 勺54 米，CE=5 冷in45 =5 X 3.5 米,BE=BC+CE 著.04 ,EF=2.2 -4sin45 =2.2 + M.14 米，(56 - 5.04)与.14+1=50.96 314+1V6+1 =17 (个).故这个路段最多可以划由17个这样的停车位.故答案为：17 .56千点评： 考查r解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算.(2014?十堰)如图，轮船在 A处观测灯塔 C位于北偏西70方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西500方向匀速航行，1小时后到达码头 B处，此时，观

18、测灯塔 C位于北偏西25方向上，则灯塔Cq码头B的题高是 24 海里.结果精确到个位，参考数据：.4, .7 , 电4)考点：解直角三角形的应用-方向角问题.专题：几何图形问题.分析： 作BDLAC于点D,在直角 ABD中，利用三角函数求得 BD的长，然后在直角 4BCD中，利用 三 角函数即可求得 BC的长.解答： 解： / CBA=25 +50 =75 .作BDXAC于点D.则/ CAB= (90 -70 )+ (90 -50 )=20 +40 =60/ ABD=30 ，/ CBD=75-30 =45在直角 4ABD中,在直角 BCD中,点评：.是河岸a上的两座建筑物，点 C、D是河岸BD

19、=AB ?sin / CAB=20 冷in60 =2024./ CBD=45 ,则 BC= BD=10 X=10 10 2,4=24 （海里）. 故答案是:/CBD以及 / CAB的度数是解决本题的关键.（ 2014?抚顺）如图，河流两岸 a、b互相平行，点 A、Bb上的两点， A、B的距离约为200米.某人在河岸 b上的点P处测得 /APC=75 , /BPD=30 ,则河流的宽度约为100米.考 点: 募 析:解解直角三角形的应用.几何图形问题.过点P作PEXAB于点E,先求生 /APE及/BPE、/ ABP的度数，由锐角三角函数的定义即可 得由结论.解：过点 P作PEXAB于点E,: /

20、 APC=75 , /BPD=30 , ，/ APB=75 ,: / BAP= / APC=75 ,，/ APB= / BAP ,，AB=PB=200m ,: / ABP=30 ,，PE= PB=100m .z故答案为:100.点评： 本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键.二.解答题（共 5小题）11 . （ 2014?南昌）图1中的中国结桂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30的夹角，示意图如图2.在图2中，每个菱形的边长为10cm,锐角为60 .（1）连接CD , EB,猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求A, B两点之间的距离

21、（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：F.41 , F.73 , 彩.45 ）考解直角三角形的应用.黄： （1）连接DE.根据菱形的性质和角的和差关系可得/CDE=/BED=90 ,再根据平行线的判定可析： 得CD , EB的位置关系；（2）根据菱形的性质可得 BE, DE,再根据三角函数可得 BD, AD ,根据AB=BD+AD ,即可求 解解， 答：解：（1）猜想CD / EB . 证明：连接 DE .中国结桂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30。的夹角，菱形的锐角为 60。CDE=60 2-2+30 =90 ,，/ BED=60 2-2+30 =90 ,，/ CDE= / BE

22、D ,，CD II EB .(2) BE=2OE=2 M0tos30=10 cm, 同理可得， DE=10 cm,贝U BD=10 cm , 同理可得，AD=10 cm ,AB=BD+AD=20F9cm .答：A, B两点之间的距离大约为 49cm.点评：此题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质和平行线的判定，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题.（ 2014?铁岭）如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度.她先在山脚下点E处测得山顶 A的仰角是30 ,然后，她沿着坡度是i=1： 1 （即tan/ CED=1 ）的斜坡步行

23、15分钟抵达C处，此时，测得 A点的俯角是15 .已知小丽的步行速度是 18米/分，图中点 A、 B、E、D、C在同一平面内，且点 D、E、B在同一水平直线上.求生娱乐场地所在山坡AE的长度.（参考数据：F.41 ,结果精确到 0.1米）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题.分析： 根据速度乘以时间得由 CE的长度，通过坡度得到 / ECF=30。，作辅助线EF1AC ,通过平角减去 其他角从而得到 /AEF=45 即可求由AE的长度.解答： 解：作 EF AC, 根据题意， CE=18 M5=270 米， : tan/ CED=1 , ，/ CED= /

24、DCE=45 ,/ ECF=90 -45 -15 =30 ,，EF= CE=135 米，: / CEF=60 , ZAEB=30 ,AEF=180 -45 -60 -30 =45 ,，AE=135 190.35 米点评:本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是作辅助线EFAC ,以及坡度和坡角的关系.L 45DE( 2014?抚州)如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图 2,晾衣架伸缩时， 点G在射线DP上滑动，/ CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm,且AH=DE=EG=20cm(1)当/ CED=60 时，求C、D两点间的距离；(2)当/C

25、ED由60变为120时，点A向左移动了多少 cm?(结果精确到 0.1cm)(3)设DG=xcm ,当/ CED的变化范围为 60 720 (包括端点值)时，求 x的取值范围.(结果精确到0.1cm)(参考数据 M.732,可使用科学计算器)考点：解直角三角形的应用；菱形的性质.分析：(1)证明 CED是等边三角形，即可求解；(2)分别求得当 /CED是60和120 ,两种情况下AD的长，求差即可；(3)分别求得当 /CED是60和120 ,两种情况下DG的长度，即可求得 x的范围. 解答： 解: (1)连接CD (图1).CE=DE, / CED=60 ,.CED 是等边三角形，CD=DE=

26、20cm ;( 2)根据题意得：AB=BC=CD , 当/ CED=60 时，AD=3CD=60cm , 当/ CED=120 时，过点 E 作 EHLCD 于 H(图 2),则/ CEH=60 , CH=HD . 在直角 ACHE 中，sin/CEH=,CH=20 ?sin60 =2cm)0J,，CD=20 cm ,，AD=3 20 =60 N03.9 ( cm).103.9 - 60=43.9 (cm). 即点 A 向左移动了 43.9cm;(3)当 /CED=120 时，/ DEG=60 ,; DE=EG ,.DEG是等边三角形.，DG=DE=20cm ,当/ CED=60 时(图3),

27、则有 / DEG=120 ,过点E作EIDG于点I. ; DE=EG ,，/ DEI= / GEI=60 , DI=IG ,在直角 ADIE 中，sin/ DEI=,，DI=DE ?sin / DEI=20利入丐cm .冷in60 =20. J，DG=2DI=2034.6cm .则x的范围是：20cm 4 江4.6cm .C3解直角三角形的应用-坡度坡角问题.几何图形问题.析:答:点评：本题考查了菱形的性质，当菱形的一个角120。或60 时，连接菱形的较短的对角线，即可把菱形是分成两个等边三角形.( 2014?宿迁)如图是某通道的侧面示意图，AB /CD/EF, AM / BC/ DE , AB=CD=EF ,已知 /AMF=90 , / BAM=30 , AB=6m .(1)求FM的长；(2)连接 AF,若 sin/ FAM=,求 AM的长.煮:(1)分别过点 B、D、F作BNLAM于点N, DG BC延长线于点 G, FHDE延长线于点 H, 根 据 AB/CD/EF, AM / BC /DE，分别解 RtAABN、Rt A DCG RtFEH,求生 BN、DG、FH 的长 度，继而可求由 FM的长度；(2)在RtA FAM中，根据sin/ F