解直角三角形练习情况总结复习资料讲义

1、解直角三角形复习讲义知识要点：一、直角三角形的元素（边与角）的对应关系。Eg：在 RtAABC 中,得：直角边:ACC=90BC斜边:AB锐角:.bA二、直角三角形的相关性质:/ A如图（直角:ZCB1）:在 RtAABC 中，/ C=901、两锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余。/ A+ / B=902、三边关系：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于 斜边的平方。BC2+ AC2 =AB2 或（a2+b2=c2）变形式子：BC2 =AB 2- AC2, AC2 =AB 2 -BC 2等的应用。勾股定理逆定理：如果一个三角形的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角

2、形。若：BC2+ AC2 =AB2 或（a2+b2=c2）,则： ABC 是直角三角形，且/ C=90 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。7、边角关系：锐角三角函数（1）锐角/ A、/ B （/ A+ Z B=90 ）的三角函数:互余两角的三角函数关系锐角/的正弦sinA=A的对边斜边=cosB锐角/的余弦cosA= *边=sinB斜边锐角/的正切tanA=A 的对边=cotBA的邻边cotB锐角/的余切A的邻边cotA=珀-=tanBA的对边取值范围0 V sinA 10 0cotA 0全称SineCosineTangentCotangent简写sincostan（或 tg）cot（

3、或 ctg、ctn）注：对于锐角/A的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。4、直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原来的直角三角形相似。若：在 RtAABC 中，/ C=90 , CD LAB 于点 D则： ACDsCBDsABC 对应边成比例6、射影定理： ACDAABC AC 2=AD - AB CBDA ABC BC2=BD - AB（2）同角三角函数的关系：平方关系:商数关系:倒数关系:sin2A+cos2A =1sinA ,A cosAtanA=, cotA=cosA sin AtanA = - , tanA

4、- cotA=1cot A ACDACBD CD2=AD - DB推广：同(锐)角三角函数之间的关系(正余交换): sinA=cos (90 A) , cosA=sin (90 A) tanA=cot (90 A) , tanA cotA=1.(3)三角函数中常用的特殊函数值。函数名030456090sin a0a避 T迎 T1cos a1避2*Ti20tan a0i无穷大cot a无穷大禽iT0090。之间，锐角/A的正弦值随着角度的增大而增大。在090之间，锐角/A的余弦值随着角度的增大而减小。在090之间，锐角/A的正切值随着角度的增大而增大。在090之间，锐角/A的余切值随着角度的增大

5、而减小。锐角三角函数的变化情况：在三、解直角三角形的类型与解法:已知条件两两直角边（a, b）1、由 tanA = 求 / A b2、/ B=90 Z Ac/2.23、c a a bRtAABC , /0=90Z/1的时迎4边斜边c,直角边a1、由 sinA = 求/ A c2、/ B=90 Z A-.J，一 23、b ca4 Z4的邻边白C图 19.3.1计算边的口诀：有斜求对乘正弦 有斜求邻乘余弦 无斜求对乘正切 无斜求邻乘余切直角边、锐角/ A、锐角/ A的邻边b1、/ B=90 Z A2、由 tanA = a= b - tanA b3、由 cosA =-k c=ccosA一 边一 角一

6、锐角锐角/ A、锐角/ A的对边a1、/ B=90 Z A2、由 cotA = - -b= a - cotA a3、由 sinA = c=csinA斜边c、锐角/ A1、/ B=90 Z A2、由 sinA = a a=c - sinA c3、由 cosA = b=c - cosA c有斜用弦（条件或求解中有斜边时，用正弦sin或余弦cos）无斜用切（条件或求解中没有斜边时，用正切tan或余切cot）取原避中（尽量用原始数据，避免中间近似，否则会增大最后答案的误差）宁乘勿除（能用乘法的尽量用乘法，可以提高计算的准确度）四、有关名词、术语的意义图 19.4.51、铅垂线：重力线方向的直线。2、水

7、平线：垂直于铅垂线的一条直线。3、仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。4、坡面的坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（1）的比叫做坡面坡度（或坡比）记作1,即i = h.15、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,有i=tan a16、方向角：如右图，O族示北偏东60方向 注意：东北方向表示北偏东450五、高度的测量的方法：构造两个相似的直角三角形，利用相似三角形的对应边成比例。1、利用平行的太阳光线2、利用标杆与量角仪3、利用物理的光学知识与平面镜六、直角三角形在尺规作图中的完美体现(1)在数轴上表示无理数

8、(2)黄金分割七、解直角三角形的几种基本图形图形1x: 3x axtan 60 xsin 60、,323x a图形21 -a.3a2axV3 ,Ox33 1 atan60 =-cot301 -a.、3a2图形3xE aC45a+xDE=AC=CD=a+xa xcot30 =AC=BE=DE=xtan600 =a-、3可证/ BAD= /BDA=30 AB=BD=ax3 1a21ax 2bd例 1 、在 ABC 中，若 |sin A-1| +（虫-cosB）2=0,则/ C=.2解由条件知，sin A 1 = 0且#cosB=0即 sin A=1,/A=90;cos B=弓，/B=30（ / B

9、 为锐角）.则 /C=60.例2、 如图，在 ABC中，/ C=90o, AD是角平分线，且/ 分析 求线段AB的长，应当考虑解直角 ABC,而从条件看 Rt ABC中仅有/ BAC = 60（或/ B=30）的条件，显然要创造条件，使它成为可解的直角三角形.而 RtACD 中，AD = 10, / DAB = 1 / BAC=30,2所以它是可解的三角形.因此可利用RtAACD的可解创造出RtAABC的条件.解 在 RtACD 中，AD=10, /DAC = 30.BAC=60o, AD=10,求 AB 的长.AC = AD - cos300=5 技在 RtAABC 中，/ B=30o, A

10、C=5 73.AB=2AC = 10 6.例3、 如图，D是 ABC的边AB上的一点，且 BD =2AD,CD = 6, cos Z BCD =W3 ,那么BC边上的高2AE =分析 由cos / BCD = 学，易知/ BCD = 30o.虽然CD=6,但 BCD不是直角三角形.因此作 DF，BC于F ,可得可解的直角 CDF .解作DF，BC于F, cos Z BCD= ,/BCD = 30.在 RtACDF 中,2CD = 6.DF = 1CD = 3.2又 DF/AE,AE AB 3DF BD 2AE = - DF =-例 4 已知 ABC 中，/ B = 45o, /C=30o, B

11、C=3+3石，那么 AB=.解作ADXBC,垂足为D.设 8口 = *,贝1 AD=x, CD=j3x.根据题意，得x+ j3 x= 3 + 3 技即(1 + J3)x=3(1 + 币)x= 3.又AB=应BD,AB = 3 屈.例5、如图，沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽50米.（1）求加宽部分横断面 AFEB的面积；（2）完成这一工程需要多少方土？分析求梯形AFEB的面积，关键是求出两底AF、BE的长.坡度1:2的意义即tg /ABC= 1 ,坡度1:2.5 ,22米，坡度由原来的1:2改为1:2.5 ,已知坝高6米，坝长Li212即 tg / E=.2.55解 在 RtABG 中，BG =

12、 2AG=12 （米）BE=EH BH = 5（米）则 S 梯形 ABEF= - （2 + 5） X6=21 （米 2）23需要完成工程的土万量为21 X 50= 1050 （米）答 横断面AFEB的面积为21米2;完成工程需要1050方土.例6 在正方形 ABCD中，F是CD上一点，AEXAF, AE交CB的延长线于点 E,连结EF交AB于点G.求证：DF FC = BG EC;(2)问当tg已知：当t a n / DAF= 1时， AEF的面积为3/ DAF = 2时， AEF的面积是多少?3分析 不难证得 Rt ABE Rt ADF. DF = BE.由 EBGA ECF而证得(1)的结

13、论.由 AEAF, AE = AF 知 Sef=AF2=10.2又吐=1，DF2 + AD2 = AF2= 20.贝U AD=3后. AD 32L=2 时，DF = 2亚，AF2= 26, AD 3则 当 t a n / DAF =-时，Saaef= 13(cm2).3解直角三角形测试题:选择题Rt ABC 中，C C=90 , AC=4 ,A、BC=3 , cosB 的值为()342、已知/A + ZB = 90，且 cosA=1 ，5则cosB的值为（）A、3、15在菱形B、4 C5ABCD43, /2.6、 _5ABC=6025AC=4 ,则BD的长是（）A、83 B、 4 3 C 、

14、234、在 Rt ABC 中，/ C=90 ,tan A=3, AC=10,则 S；aabc 等于()3 B、3 00 C、5035、一人乘雪橇沿坡度为1: J3的斜坡滑下，滑下距离S （米）与时间t （秒）之间的关系为s= 10t2t2,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为 （）A、72 米 B、36 米 C、36J3 米 D、18J3 米6、在Rt ABC中，/ C=90 , / A、/ B、/C的对边分别为a、b、c三边，则下列式子一定成立的是A、a c sin BcosBC、caDtan Ba sin A7、若/ A为锐角,tan A tan32A、32 B 、 58,1、C、()3

15、28、A、如果把Rt ABC的三边同时扩大1、（）58n倍，则sin A的值（）不变 B、扩大n倍C、缩小n倍 D、不确定9、ABC中，/ C=90 , AC= 2J5 , / A的角平分线交BC于D,AD=4 -4V15 ,则tan A的值为(38-15 B、V3 C 5310、如图 ABC中，A D是B C上的高,tan B那么AD的长度为（）A、D、.31 3二：填空题（20分）11、如图P是 的边OA一点，P的坐标为（3,4）, 则sin无尸12、等腰三角形的腰长为10cm,顶角为120 ,此三角形面积为4:u3 X弗11题13、已知方程x2 7x 12 0两根为直角三角形的两直角边，

16、则其最小角的余弦值为 14、如图甲、乙两楼之间的距离为40米，小华从甲楼顶测乙楼顶仰角为二30,观测乙楼的底部俯角为二45,试用含、的三角函数式子表示乙楼的高h 米。15、在 Rt ABC 中，/ C=90 , CD AB边上的中线，BC=& CD=5,则 tan ACD 三：计算16、计算 2 cos30tan 45 tan 60（衣 1）0118、在 Rt ABC 中，/ C=90 ，且 sin A - , AB=3,求 BC, AC 及 B. 219、已知，四边形 ABCM, / ABC = /ADB =900 , AB = 5 , AD = 3 , BC = 2d 求,ABC = 30

17、, / ACB = 60, BC =40 米，求 A四边形ABCD勺面积 S四边形ABCD20、（8分）如图，B C是河岸边两点，A是对岸边上的一点，测得/到岸边BC的距离是多少米？（结果精确到1米）BCAB21、（8分）如图，甲楼每层高都是 3.1米，乙楼高40米，从甲楼的第6层往外看乙楼楼顶，仰角为300,两楼相距AB有多少米？（结果精确到 0.1米）22、（8分）如图，ABC是一防洪堤背水波的木It截面图，斜坡 AB的长为13米，它的坡角为45,为了提高防洪能力，现将背水坡改造成坡比（AC:DC）为1:1.5的斜坡AD,求DB的长（精确到.1米）23、（8分）如图，气象大厦离小伟家8米，

18、小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45,而大厦底部的俯角是 30,求该大厦的高度（结果精确到 0.1米）24、（1分）如图，在3m高的峭壁上测得塔顶与塔基的俯角分别为3和6 ,求塔高多少米?CB解直角三角形应用.如图，上午9时，一条船从A处出发，以20节的速度向正北航行，11时到达B处，从A, B望灯塔C,测得 /NAC = 30 , / NBC=60 ,那么从B处到灯塔C的距离是多少海里？.如图，湖泊中央有一个建筑物 AB,某人在地面C处测得其顶部 A的仰角为60。，然后自C处?BC方向行100m至D点，又测得其顶部 A的仰角为30 ,求建筑物 AB的高.（精确到0.01m,

19、J3 = 1.732）.今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60方向上.前进100米到达B处，又测得航标 C在北偏东45方向上.在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩.如果这条航继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（ J3 = 1. 73）4.如图，太阳光线与地面成60。角，一棵大树倾斜后与地面成30。角，这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长（精确到0.1米）.660.有一拦水坝是等腰楼形，它的上底是6米,下底是10米，高为2百米，求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.海中有一个小岛 A,它的

20、周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行， 在B点测得小岛A在北偏东60 , 航彳T 12海里到达D点，这时测得小岛 A在北偏东30 .如果渔船不改变航向， 继续向东捕捞，有没有触礁的危.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN=30 ,点A处有一所学校，AP=160米假设拖拉机行驶时，周围 100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN的方向行驶时，学校是否会受到噪声影响 ？青说明理 由.如图，小山上有一座铁塔 AB,在D处测得点A的仰角为/ ADC=60 ,点B的仰角为/ BDC=45 ;在E处测得 仰角为/ E=30 ,并测得DE=90米，求小山高BC和铁塔高

21、AB（精确到.如图，某地为响应市政府 形象重于生命”的号召，在甲建筑物上从点 A到点E挂一长为30米的宣传条幅，在乙 建筑物白顶部 D点测得条幅顶端 A点的仰角为45。,测得条巾I底端E的俯角为30。,求甲、乙两建筑物的水平距 离BC的长（精确到0.1米）.某民航飞机在大连海域失事，为调查失事原因，决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子 ，如图所示，一潜水员在A 处以每小时8海里的速度向正东方向划行 ，在A处测得黑匣子 B在北偏东60。的方向，划行半小时后到达 C处，测得 黑匣子B在北偏东30。的方向，在潜水员继续向东划行多少小时 ，距离黑匣子B最近,并求最近距离.以申办2010年冬奥会，需改变哈尔滨市的交通状况，在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树 AB,在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离 B点3米远的D处测得树的顶点 A的仰角为60, 树的底部B点的俯角为30。，如图所示，问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？.如图，某学校为了改变办学条件，计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空地上（BD=21米），再建一幢与甲教学等高的乙教学楼（甲教学楼的高 AB=20米，设计要求冬至正午时，太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处，已知该地区冬至正午时太阳偏南，太阳光线与水平线夹角为 30。,试判断：计划所建的乙教学楼是否符合设计要求？并说明