《高三概率》word版

1、教学设计示例一、教学目标1能叙述正态分布的意义；2能正确写出服从正态分布的总体曲线（正态曲线）的函数表达式；3明确标准正态分布的意义，会写出标准正态曲线的函数表达式；4能叙述正态曲线的主要性质及所表达的概率统计的意义；5逐步形成学习数学的兴趣和自信心，获得数学学习的良好情感体验二、教学重点：是正态分布意义和性质教学难点：正态分布的意义的理解和应用三、教学用具：多媒体设备四、教学过程：1导入新课首先，引导学生简要回顾样本的频率分布与总体分布之间的关系由于总体分布通常不易知道，我们往往是用样本的频率分布（即频率分布直方图）去估计总体分布一般样本容量越大，这种估计就越精确其次，再以上一节得出的100

2、个产品尺寸的频率分布直方图为例，说明当样本容量无限增大时，这个频率直方图无限接近于一条总体密度曲线再次，引导学生观察上节总体密度曲线的形状，得出总体密度曲线“中间高，两头低”的特征而具有这种特征的总体密度曲线一般可用一个我们不很熟悉的函数来表示或近似表示其解析式进而板书以下标题：2正态分布（1）正态函数的定义产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的总体密度曲线，一般就是或近似地是以下一个特殊函数的图象：（板书） 式中的实数 、 是参数，分别表示总体的平均数与标准差（至此，解释总体标准差是衡量总体波动大小的特征数，常用样本标准差去估计）函数 称为正态函数（2）正态分布与正

3、态曲线（板书）若总体密度曲线就是或近似地是函数 的图象，则其分布叫正态分布，常记作 的图象称为正态曲线然后，用几何画板画出三条正态曲线：即 ； ； ，其图象如下图所示：教师列举服从正态分布的具体实例，然后让学生也列举出自己熟悉的服从正态分布的示例并指出，当 时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是 相应的曲线称为标准正态曲线（3）正态曲线的性质先引导学生观察以上三条正态曲线，再让学生归纳出正态曲线的以下性质（板书）：曲线在x轴的上方，与x轴不相交曲线关于直线 对称，且在 时位于最高点当 时，曲线上升；当 时，曲线下降并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近当 一定

4、时，曲线的形状由 确定 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中（4）服从正态分布的总体特征先分析产品尺寸这一类典型总体，它服从正态分布它的特征是：生产条件正常稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素再由此概括服从正态分布的总体特征：一般地，当g 随机变量是大量微小的独立随机因素共同作用的结果，而每一种因素都不能起到压到其他因素的作用时，这个随机变量就被认为服从正态分布并加以解释再结合教科书举例加以说明如正常生产条件下各种产品质量指标，同一群体的某种特征等（5）标准正态分布表先引导学生

5、理解标准正态总体 在正态总体研究中的作用，再明确标准正态分布表中数值的意义，即 利用标准正态曲线说明等式中 及标准正态总体在任一区间 内取值概率 的几何意义 例题 求标准正态总体在（1，2）内取值的概率解：利用等式 有 （6）课内小结本节课我们主要学习了正态分布的若干性质，服从正态分布的总体的特征，如何使用标准正态分布表，要求同学们能知道正态曲线的大致形状以及从图象上直观得到正态分布的性质，并能利用标准正态分布表及相关等式进行计算五、布置作业：教科书第34页练习第1、2题教案点评：通过学习频率分布直方图和密度曲线引入正态曲线和正态分布，然后通过动画变化参数的值改变曲线，由学生归纳总结出正态曲线

6、的性质。利用实例说明正态分布的总体特征。讲解x在某区间的概率的例题说明正态分布的概率的求法。典型例题证明正态分布在某区间的概率例1 证明若 服从 则一定有： 分析：注意到对于一般正态分布 来说，取值小于 的概率是 ，这就建立了概率值与函数值的对等关系，由此入手，即可证明问题证明：因为 服从 ，所以，取值小于 和 的概率分别为 ，故正态总体 在（ ）内取值的概率为： 也即： 说明：对于标准正态分布 来说，总体在区间（ ）内取值的概率 是有着明显的几何意义的，即介于直线 和 间的阴影部分面积（图形参看P32图16（1），而一般正态分布 总体在区间（ ）取值的概率也是同样的原理，是总体密度曲线下的面

7、积一般正态分布与标准正态分布间的关系正是：若 即： 选题角度：一般正态分布在某区间的概率，训练正态分布转化为标准正态分布求解的思想。求服从一般正态分布的概率例2 设 服从 试求：（1） （2） （3） （4） 分析：首先，应将一般正态分布 转化成标准正态分布，利用结论：若 ，则由 知： 其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果解：（1） ;（2） ;（3） ;（4） 说明：这里，一般正态分布 ，总体小于 的概率值 与 和 是一样的表述，即： 选题角度：熟悉利用标准正态分布表求一般正态分布在某区间的概率；服从正态分布的材料强度的概率例3 已知：从某批材料中任取一件时，取得的这件

8、材料强度 服从 （1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率（2）如果所用的材料要求以99的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求分析：这是一个实问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题；本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可解：（1） ;（2）可以先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿这个结果与99进行比较大小，从而得出结论 即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.7399，所以这批材料符合所提要求说明：“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”转化“小

9、于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表选题角度：正态分布在生产中的应用.关于正态分布的探究活动已知测量误差 （单位：）则必须进行多少次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不起过10的概率大于0.9？答案：设 表示 次测量中绝对误差不超过10的次数，因为 服从二项分布即 ，其中， ，因为， ，所以， ;又因为， 解得： ；综上所知：至少进行了3次测量才可使至少有一次测量的绝对误差不超过10cm的概率大于0.9习题精选一、填空题1若随机变量 ，则 服从参数为_的正态分布2若随机变量 ，且 ，则 _二、选择题1若设随机变量 ，且 ，则 的值为（ ）A0 B C D 2设随机变量

10、，则 的值为（ ）A1 B2 C D43若随机变量 ，则 （ ）A B C D 4设随机变量 ，则 服从（ ）ABCD 5若随机变 ，且 则 等于（ ）ABC D 6设随机变量 的概率密度函数为： ，则 那么 等于（ ）A B C D 三、解答题1设 ，求下列各值：（1） （2） （3） （4） （5） 2设 服从 ，试求下面的概率：（1）（2）（3） 3某地区的月降水量 （单位：）服从正态分布 ，试求该地区连续10个月降水量都不起过50的概率4某中学高考数学成绩近似地服从正态分布 ，求此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比5设 服从 ，求下列各值：（1） （2） （3） （4） （

11、5） （6） 6某县农民年均收入服从 元， 元的正态分布：求：（1）此县农民年均收入在500元520元之间的人数的百分比（2）若要使农民的年均收入在（ ）内的概率不小于0.95，则 的值应至少为多大？7若随机变量 ，求 的概率密度函数参考答案一、1 2 二、1B 2A 3C 4D 5B 6B三、1因为 （1） （2） （3） （4） （5） .2因为 所以， （1） （2） （3） .（4） 3 ，所以 即该地区连续10个月降水量都不超过50的概率为 4设 表示学生高考数学成绩，根据题意知要求 的值因为， ，所以， ，故数学成绩在120分以上的考生占总人数的2.285因为 ，所以 （1） ;（

12、2） （5） （6） .6（1）因为， ，所以 ；即此县农民年均收入在500元520元之间的人数占县农民总人口的34.13（2） ，查表知， 即 的值应至少为39.27求 对应的概率密度函数，即求 对应的 和 因为 ，所以 ，所以， ，即 对应的 和 为2和1又因为， ，所以， 也服从正态分布，其对应的概率密度函数为： 统计课程的设计随着生活经验的积累和认知的发展，义务教育阶段的学生将逐步探索日常生活、自然、社会和科学技术领域中感兴趣的内容，认识统计的广泛应用和对制定决策的重要作用，并初步运用随机（或统计）的观点理解现实世界。他们将不断体验、经历、从事收集数据、整理数据和分析数据的过程，学习收

13、集数据和描述数据的基本方法，体会运用数据进行推断的思维方式。一、经历收集数据、整理数据和分析数据的过程，逐步形成统计观念也许有人可能会提出这样的问题，统计不就是计算平均数、画统计图吗？这些事情计算器、计算机就能做得很好，还有必要花那么多精力学习吗？确实，在信息技术如此发达的今天，计算平均数、画统计图等内容不应再占据学生过多的时间，事实上它们也远非统计学习的核心。在义务教育阶段，学生学习统计的核心目标是发展自己的“统计观念”。一提到“观念”，就绝非等同于计算。作图等简单技能，而是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的感觉，于是也有些人将“统计观念”称为“信息感”、“数据感”，无论用什么词汇，它代表

14、的都是对一组数据的感觉，由一组数据想到的推测到的，更重要的是能够有意识地从统计的角度思考并解决与数据有关的问题。1认识统计对决策的作用，从统计的角度思考与数据有关的问题学习统计的首要目标是能有意识地从统计的角度思考问题，当遇到有关问题时能想到收集和分析数据。举例来说，也许你是一个鞋店的管理人员，需要考虑每个月的进货情况，如果这时仅仅依靠主观喜好去做出判断，那么你就不具备统计观念，并且你的判断往往是不合理的。但如果你意识到判断前需要先收集一定的数据周围人群的穿鞋尺寸与喜好、今年流行的趋势、人们用于买鞋的花费等等，并且相信这些数据经过适当整理和分析，可以帮助你对人们的心理有个概括的了解，在此基础上

15、再对如何进货做出设计会比较可靠，这就说明你具备了一定的统计观念，能够自觉地从统计的角度思考问题。具备从统计的角度思考问题的意识显然是非常重要的，将来当学生一旦遇到了与数据有关的问题，即使他不懂得或忘记了具体收集和整理数据的方法，但只要有了这个意识，他就会去请教专业人员，在别人的帮助下就会做出比较合理的决策。要培养学生从统计的角度思考问题的意识，重要的途径就是要在课程中着力展示统计的广泛应用，使学生在亲身经历解决实际问题的过程中，体会统计对决策的作用，逐步树立从统计的角度思考问题的意识。2能通过收集数据、整理数据、分析数据，做出合理的决策学生不但要具备从统计的角度思考问题的意识，而且还要亲身经历

16、收集收集、整理数据和分析数据的过程，并能根据数据做出合理的判断。通俗地讲，就是不但要有意识，还要有一些办法。这里包含两方面的涵义，一是学生要亲自收集数据、整理数据和分析数据，这一点是非常重要的。因为要使学生建立“统计观念”，必须使他们真正投入到运用统计解决实际问题的活动中，以逐步积累经验，并最终将经验转化为观念。二是要能根据数据做出大胆而合理的判断，这是数学提供的一个普遍适用而又强有力的思考方式。实际上，运用数据做出判断，虽然不像逻辑推理那样有100的把握，但它可以使我们在常识范围内不能做选择的地方做出某种决策，而且提供足够的信心。这种思考方式在社会生活中经常使用，需要学生从小去体会、去实践。

17、还是以上面的“鞋店进货问题”为例，学生不仅要意识到解决这个问题需要收集数据，而且还要讨论需要收集哪些数据，采取什么样的办法收集；还要亲自去做一些调查；面对收集到的数据，还要整理使之更清晰；最后，非常重要的是，基于对数据的分析还要对鞋店如何进货提出一些合理的建议。二、在数据统计活动中学习统计的知识和方法要使学生真正理解并合理使用收集数据、整理数据的知识和方法，最有效的途径是让他们真正投入到数据统计的过程中，将统计知识和方法的学习尽可能融于解决实际问题的活动中。1学习收集数据的方法（1）根据实际问题，选择适当的方法收集数据确定好需要解决的问题后，学生首先面对的是收集哪些数据和如何收集数据。收集数据

18、的方法多种多样，如通过调查获取数据，通过做实验获取数据，通过报刊杂志、电视广播、网络等媒体获取数据。学生应对收集数据的多种方法都有比较丰富的体验，并能根据问题的需要选择合适的方法获取数据。对于义务教育阶段的学生，最好的数据是自己获得的。数学课程应鼓励学生从多种角度获取真实而原始的数据，既可以让学生收集有关自己和同伴的数据（如本班同学的头围，本班同学最喜欢的颜色）；也可以让学生从媒体或实际调查中获取数据（如中国运动员在奥运会上的表现、某个地区的群众对春节联欢会的看法），还可以设计有趣的游戏和实验以采集数据（如转盘游戏、乒乓球的反弹高度）。研究表明在计划收集数据上花时间是值得的。在讨论如何收集数据

19、的过程中，学生将对要解决的问题深入分析，以使获得的数据真正有效；将灵活地运用各种方法来获得数据，加深对每种方法适用性的认识，发展自己解决实际问题的能力；由于收集何种数据及如何收集数据的问题往往具有开放性，学生在讨论各自方案的过程中将互相交流，这有利于学生客观地评价他人获取数据的方法。例如，对于上面提到的“鞋店进货问题”，当学生确定需要调查人们所穿鞋的尺寸后，就可以针对调查哪些人、如何调查开展讨论。为了使数据更加有效，学生们可能会注意到需要对不同年龄、性别的人开展调查。为此，他们会讨论如何划分年龄群，或是对小孩划分得细些，对成年人划分得粗些等问题。他们还会讨论如何设计简便实用的测量方法，以及每小

20、组大约测量多少人。他们还需要根据讨论的结果设计调查表，以将数据分类记录在表格中。在这一过程中，学生获得的决不仅仅是收集数据的方法，而且还将在综合运用知识解决问题、合作交流、评价反思等多方面获得发展。（2）感受抽样和随机抽样的重要性，体会用样本估计总体的思想抽样是第三学段统计课程的重要内容。这部分内容的重点是通过丰富的实例，体会抽样的必要性和随机抽样的重要性；经历抽样的过程，并根据样本的平均数、方差等统计量估计总体的特征，体会用样本估计总体的思想。下面举例说明如何鼓励学生通过实践、探索和交流，体会抽样的必要性和随机抽样的重要性，以及运用样本估计总体的思想：【案例55】调查全校同学对”月球”的了解

21、情况学生首先需要讨论的问题是如何设计调查方案。如果需要设计调查问卷的话，可以提出哪些问题。通过讨论，学生可以选择一个或多个问题调查，例如调查全校学生“对月球上是否有水”的看法。然后，学生着手设计调查方法。在讨论过程中，学生可能意识到如果调查全校所有学生，太费时间和精力，是否可以只调查一部分学生，用他们的结果来代表全校学生的共同愿望。调查哪些人呢？对此，学生可能有很多想法，如调查本班的同学，调查参加科技兴趣小组的学生，在校门口随便找一些同学，每年级男生女生按比例各抽几个人，按各班名册随便点几个人等等。学生将通过实际操作和充分讨论，认识到不同的样本得到的结果可能不一样，有的样本能够比较好地代表全校

22、学生的看法，有的样本则有较大的偏差。上面的讨论涉及了总体、样本、抽样等新概念，但由于结合了学生熟悉的实例，并经过了大家的讨论，学生就具备了一定的理解基础。同时，课程中还可以列举生活中丰富的实例帮助学生感受抽样的必要性，体会不同的抽样可能得到不同的结果，样本的选择应具有代表性。适当的时候，学生可以在教师的指导下简单地随机抽样，最开始可以从帽子中抽取名字小条或者从口袋中抽取各种颜色的小球；然后可以使用随机数表；最后可以用计算器进行模拟。但根据第三阶段学生的特点，此部分内容的重点应放在对样本代表性的感受和样本对结果的影响上，至于如何得到随机样本，如何确定适合的样本容量不作为学习要求。2学习描述数据的

23、方法学生在收集、整理和描述数据的活动中，探索如何以简单而直观的形式最大限度地描述数据，理解统计图和统计量，并据此做出合理的判断。下面的例子可以使学生主动投入到数据处理的过程，并理解平均数、中位数和众数的意义。【案例56】你是个“普通”人吗？ 你怎样描述你们班上的“普通”学生？你们班的普通学生可能会和别的班的普通学生有着很大的不同。在这个活动中，你会发现你们班的普通同学是什么样子的。（1）列出至少四个你想调查的问题，这些问题用来刻画普通学生是什么样子的。例如：你的身高是多少？你的生日是哪年哪月？你家距离学校有多远？你最喜欢的电视节目是什么？（2）全班汇总所有问题，最终确定若干问题在全班开展调查。

24、（3）分小组就收集到的数据进行整理。如找出每组数据的平均数，中位数和众数，判断哪一个数能够最好地描述这些数据。（4）全班汇总，运用统计图或统计量描述班级里的“普通”同学。在对上面问题的讨论过程中，学生将认识平均数、中位数、众数等是整理数据的重要方法之一，体会它们各自的意义和特征，进一步了解统计的作用。而这一切都是在数据处理的全过程中自然展开的。确认一组数据的范围和平均数、制作统计图表，都是重要的活动，但它们只是统计过程中的一个环节。用调查数据计算平均数。方差，比在教材上给学生一组数据去计算要生动而有意义，因此，对于这些描述数据的方法的学习，应注重理解和在实际问题中的应用，即能够在新的问题情境中

25、，特别是在具有现实背景的问题情境中，准确地使用以解决问题，而不在于单纯地计算。即使对于制作统计图表、计算统计量等处理数据的技能，也要避免学生死记公式和步骤和一招一式的模仿。应鼓励学生根据不同的问题，选择适当的方法把杂乱无章的数据整理得简洁、概括、美观而富有个性。3认真分析数据，作出合理决策认真分析整理好的数据，并作出合理的决策，是数据处理过程中一个非常重要的环节。在信息时代，生活中充斥着各种数据，这些数据以及对其形象化处理的统计图表，给人们带来了很大的直观冲击力，于是有人称我们进入了一个“读图时代”。为了能在这个“读图时代”里更好地生存，就必须能从大量的“图”中获取有用的信息。统计课程应提供给

26、学生就数据展开充分讨论的机会，可以提出一些问题引起学生的思考：哪些数据最经常出现；数据表示出什么趋势；能从这些数据中得到怎样的结论；从这些结论中能做出什么预测；想办法证实或反驳由这些数据得来的结论，等等。在分析数据的活动中，没有现成的公式和方法，没有绝对正确的答案，学生将在与同伴交流的过程中，从数据中获取尽可能多的信息，制定尽可能合理的决策。4能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑或许你会提出这样一个问题，如果我不从事与统计相关的行业，还需要收集和分析数据吗？报刊、杂志、电视、广播、书籍、互联网等会给我们提供数据，并作了一定的分析，我们只要留意一下就行了。这确实是

27、一个真实的情况，随便打开一份报纸，人们就可以看到各式各样的统计数据，以及由此做出的一系列的解释。但需要注意的是，这些数据和解释都是可信的吗？统计常常被用来错误地表示某些信息，这就需要你做出理智的选择和分析，了解数据造成的误导，初步形成对数据统计过程进行评价的意识。数据的误导并不是指人们在收集数据或描述数据中出现了错误，而是有些人利用数据来为自己的利益服务。举一个香港教材中的素材：【案例57】“有福共享、有难同当”吗？某工厂有5个股东，100个工人。工人的工资总额与工厂的股东总利润见下表：表 工人的工资总额与工厂的股东总利润年度工人工资总额股东总利润1990年10万元5万元1991年12.5万元

28、7.5万元1992年15万元10万元该工厂老板根据表中数据，作出了图1，并声称股东和工人“有福共享、有难同当”，你如何看待他的说法？图1 工人工资与股东利润对比图乍一看统计图，人们会得到工人的工资总额与股东的总利润是平行增长的，并且总高于股东的总利润。确实是“有福共享、有难同当”，工人应当满足。但换一个角度来分析这些数据，会得到截然不同的结论。例如，我们可以比较工人工资增长的百分比与股东利润增长的百分比（见图2），或者比较工人个人年收入和股东个人年收入（见图3），就会发现股东得到的“好处”远比工人多。图2 工人工资增长百分比与股东利润增长百分比对比图图3 工人个人年收入和股东个年收入对比图由这

29、个例子我们不难看出，为了更好地做出选择和判断，需要培养学生理智地看待数据的能力。又如一则广告称“有75的人使用本公司的产品”，学生要能意识到广告没有提供数据的来源，也许样本不具有代表性，并不能反映总体的真实情况。总之，当学生面对他人公布的数据及结论时，既要能从中获得尽可能多的有用信息，还要保持理智的心态，对数据的来源、收集数据的方法、数据的呈现方式、由此得出的结论进行合理地质疑，这正是合格公民应具备的基本素质，而这仅仅靠记忆计算公式和制作统计图是不够的。因此，统计课程应使学生能正确地理解所学知识和方法的意义，并能在运用它们解决实际问题（包括对日常生活中的数据发表自己的看法）的过程中获得丰富的经

30、验。三、认识到统计在实际生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题统计的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用。现实生活中有多种渠道可以提供有意义的问题，课程中要充分挖掘适合学生学习的材料，既可以从报刊杂志、电视广播、计算机数据库等许多方面寻找素材，也可以从学生的生活实际中选取，使学生体会数学与生活的直接联系，并拥有充分实践的机会。儿童自然地对他周围世界发生兴趣，这提供了开始学习统计的机会。通过收集与自身关注的问题有关的数据，他们开始懂得数据可以用来了解现象、回答问题和作出预测。例如，学生可以讨论下面的歌手评分问题。案例58下表是第10届全国青年歌手电视大奖赛通俗组个人

31、决赛中某10位选手的演唱得分。表 某10位选手演唱得分统计表 选手1选手2选手3选手4选手5选手6选手7选手8选手9选手10评委196.497.497.296.598.298.698.197.097.498.9评委296.397.697.297.298.899.098.497.097.798.9评委396.997.698.396.898.298.198.197.097.598.9评委496.796.496.496.798.997.096.796.796.698.0评委596.997.397.897.598.498.898.097.398.898.1评委696.897.896.497.598.898.897.096.497.898.8评委797.197.898.498.098.998.898.897.997.299.0评委897.396.598.098.098.698.498.197.597.299.0评委997.297.598.497.898.798.598.497.597.398.9评委1097.796.897.096.698.998.498.