专题21.1 二次根式的概念及性质（基础检测）（解析版）

专题21.1二次根式的概念及性质（基础检测）一、单选题1．下列给出的式子是二次根式的是（）A．±3 B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A．±3不是二次根式，故本选项不符合题意；B.是二次根式，故本选项符合题意；C．∵3﹣π＜0，∴不是二次根式，故本选项不符合题意；D．∵的根指数是3，不是2，∴不是二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解题意二次根式的定义．2．当a为实数时，下列各式、、、、、是二次根式的有多少个（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【详解】解：∵，，，，∴、、、四个是二次根式，因为是实数时，、不能保证是非负数，因此与不是二次根式，故选：B.【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．3．下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：，故A正确，C错误；，故B、D错误；故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．4．函数有意义的条件是（）A． B． C．且 D．且【答案】D【详解】要使函数有意义，则，且，∴且．5．若，则x等于（）A．0 B． C．0和 D．任意实数【答案】D【分析】根据二次根式的性质和立方根的性质化简，可得，从而可得x值．【详解】解：，则x为任意实数，故选：D．【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，难度中等偏难．解题时要根据二次根式的化简及绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身．6．若代数式有意义，则必须满足条件（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意，依据分式有意义分母不为零、根式大于等于零，即可；【详解】由题知，代数式有意义，∴且；∴且；∴；故选：D【点睛】本题考查分式、二次根式的性质，关键在二者结合进行解决问题；7．已知（）A． B．0 C．1 D．【答案】C【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于x的不等式组，进而可求出x、y，然后把x、y的值代入所求式子计算即可．【详解】由题意得：x−2≥0，2−x≥0，所以x=2，当x=2时，y=-3，所以(x+y)4=(2-3)4=1．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、代数式求值和一元一次不等式组，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．8．下列等式一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用二次根式的性质和算术平方根的定义逐项化简即可得出答案．【详解】A．，故该选项错误，不符合题意．B．，故该选项错误，不符合题意．C．，故该选项正确，符合题意．D．，故该选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查二次根式的性质和算术平方根的定义，正确的化简各数是解题的关键．9．如果（2+）2=a+b（a，b为有理数），那么a+b等于（

）A．7 B．8

C．10 D．10【答案】D【分析】直接利用完全平方公式将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案．【详解】解：∵（2+）2=a+b（a，b为有理数）∴6＋4＝a＋b，∴a＝6，b＝4，∴a＋b＝10．故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确得出a，b的值是解题关键．10．若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式的概念可知使分式有意义的条件为a≠0，根据二次根式被开方数大于等于0可知，使该等式成立的条件为a＞0且1-a≥0，故a的取值范围是0＜a≤1.【详解】解：∵，∴，∴，故选D.【点睛】本题主要考查二次根式的概念和分式的概念，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，这也是本题最容易出错的地方．二、填空题11．已知，则的值为_______．【答案】9【分析】直接根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：∵∴∴故答案为：9．【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解答此题的关键是掌握算术平方根和平方互为逆运算．12．如果x＝1是关于x的方程＝x的一个实数根，那么k＝_____．【答案】0【分析】先把x＝1代入方程，两边平方求出k的值．【详解】解：把x＝1代入方程，得＝1，两边平方，得1+k＝1，解得k＝0．经检验，k＝0符合题意．故答案为：0．【点睛】本题考查了方程的解，熟练掌握方程解的定义是解题的关键．13．若整数x满足，则使为整数的x的值是____________．【答案】-2【分析】先求出x的取值范围，再根据算术平方根的定义解答．【详解】解：∵|x|≤2，∴-2≤x≤2，∴当x=-2时，，故使为整数的x的值是-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记常见的平方数是解题的关键．14．已知，则____________．【答案】-8【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0可求出x的值，进而求得结果．【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得x=3，∴y=-2，∴，故答案为：-8．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0．15．已知实数、在数轴上的对应点如图所示，化简：_______．【答案】m【分析】根据实数m、n在数轴上的位置，判断m、m+n、n-m的符号，再根据二次根式和绝对值的性质化简即可．【详解】解：由实数m、n在数轴上的对应点位置可知，m＜0，m+n＜0，n-m＞0，所以=-m-（n-m）+（m+n）=-m-n+m+m+n=m，故答案为：m．【点睛】本题考查数轴表示数，绝对值以及二次根式的化简，掌握绝对值和二次根式的性质是正确解答的关键．16．已知是实数，且满足，则的平方根是____________．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件可求得x，然后求得y，最后求平方根即可．【详解】解：∵是实数，且满足，∴并且，解得，此时，∴，其平方根是．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，二次根式的化简，理解二次根式有意义被开方数非负是解题关键．17．已知，，当分别取1，2，3，…，2021时，所对应的值的总和是______．【答案】2027【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简，然后代入求值即可求出答案．【详解】解：由二次函数的性质，则，当时，；当时，；∴对应的值的总和是：==；故答案为：2027．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．18．已知正方形的面积为，则这个正方形的边长为___________．【答案】【分析】将正方形的面积开平方，即可得到结果．【详解】解：∵正方形的面积为，∴这个正方形的边长为==，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质与应用，完全平方公式，解题的关键是正方形的面积利用完全平方公式转化．19．已知1，，2分别是三角形的三边长，则__________．【答案】2【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】解：∵1，，2分别是三角形的三边长，∴，∴原式．故答案为：2．【点睛】本题考查三角形的三边关系，以及二次根式与绝对值的化简，掌握三角形的三边关系以及二次根式的性质是解题关键．20．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为____．【答案】【分析】由正方形的性质先求解的长，再结合图②可得：是等腰直角三角形，可得【详解】解：如图，在正方形中，结合图②可得：是等腰直角三角形，故答案为：．【点睛】本题考查了七巧板，正方形的性质，勾股定理的应用，关键是得到该“七巧板”中7块图形之一的正方形的边长与七巧板中图形的边长的关系．三、解答题21．计算：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）2；（2）11；（3）；（4）0【分析】（1）根据二次根式的性质直接计算即可；（2）根据算术平方根的定义计算；（3）根据二次根式的性质直接计算即可；（4）根据二次根式的性质分别计算每一项，再合并即可．【详解】解：（1）；（2）；（3）原式；（4）原式．【点睛】本题考查了二次根式的性质和算术平方根的定义，属于应知应会题型，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．22．若时，试化简：．【答案】【分析】根据绝对值的性质，二次根式的性质，可得答案．【详解】解：因为，所以==．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用差的绝对值是大数减小数是解题关键．23．已知a，b满足（1）a=_______，b=______（2）把a，b的值代下以下方程并求解关于的方程【答案】（1）-4，；（2）【分析】（1）结合题意，根据二次根式和绝对值的性质，通过求解一元一次方程方程，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，通过求解一元一次方程方程，即可完成求解．【详解】（1）∵∴∴∴故答案为：-4，；（2）根据（1）的结论，得：∴∴．【点睛】本题考查了一元一次方程、二次根式、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、绝对值的性质，并通过求解一元一次方程，从而完成求解．24．已知二次根式.（1）求x的取值范围；（2）求当x=-2时，二次根式的值；（3）若二次根式的值为零，求x的值.【答案】（1）x≤6（2）2（3）x=6【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，即可求解；（2）直接把x=-2代入，进而求出答案；（3）由0的算术平方根是0可得，=0，解方程即可求x的值.【详解】（1）根据二次根式有意义的条件可得，解得x，∴x的取值范围是：x；（2）当x=-2时，二次根式===2；（3）由题意可得=0，解得x=6.故答案为（1）x≤6（2）2（3）x=6.【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简.25．计算，其中，小明算出了这样的结果：当a=-1时，；请你说出小明的错误在哪里．【答案】小明的错误在最后一步【分析】根据算术平方根为非负数判断即可．【详解】，故小明的错误在最后一步．【点睛】本题考查二次根式的求值，理解算术平方根的非负性是解答的关键．26．物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式h=9t2来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间.（1）把这个公式变形成用h表示t的公式；（2）一个物体从64米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒？【答案】（1）t=（2）秒【分析】（1）根据平方根的定义和等式的性质将公式h=9变形成用h表示t的公式；（2）将h=64代入用h表示t的公式中求解，即可求出物体落到地面所用的时间.【详解】（1）h=9根据等式的性质两边除以9，得=，t=，因为t为时间，t所以t=；（2）将h=64代入t=，得t==（秒）.故答案为：（1）t=（2）秒.【点睛】本题考查二次根式的应用.27．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且、满足，点的坐标为．（1）求，的值；（2）求三角形的面积．【答案】（1）a=﹣2，b=4；（2）9【分析】（1）根据非负数的性质可得a、b的方程，解方程即得结果；（2）由（1）可得点A、B的坐标，再根据三角形的面积公式解答即可．【详解】解：（1）∵，∴a+2=0，b－4=0，∴a=﹣2，b=4；（2）点A、B的坐标分别是（