2018年高考数学一轮总复习专题3.2导数的应用练习(含解析)文

1、专题 3.2 导数的应用真题回放1. 【 2017 课标 1 , 文 21 】已知函数 f(x) =ex(ex- a) - a2x .(1) 讨论 f (x) 的单调性；(2) 若 f(x) _0 ，求 a 的取值范围 .【答案】 (1) 当 a=0 , f(x)在(_： ,? ：)单调递增；当 a . 0 , f (x)在( Yjn a)单调递减，在(In a, ：3-2e 4,1 .【解析】、)单调递增；当 a： 0 , f (x)在(-： ,1a、n( )单调递减，在 ( In( _), ：2 2a xU )单调递增； ( HYPERLINK l _bookmark1 2)试题分析。分

2、“0,Q0, 口 分别讨论函数 的单调岀 分 0, 口 分别解 f(x)ko, 从而确定必的取值范围”试題 解析： ( 1)a 数 n 町的 定义域为 (7,2 “ 八力二方一加 - 儿 若口 = 0,则 g=4 , 在(Y.RO) 单调递增 . 若0 ,则由 / = 0 得工 =1 口 4?当疋时 . 八功 o, 故念 )在/ 曲 - ?单调递 减 , 在 QM- 轨他理调 递増 .( 2) 若 a = 0 , 则 f (x) = e 2x ，所以 f (x) 丄 0 . 若 a ?0 , 则由 ( 1 )得，当 x = In a 时， f (x)取得最小值，最小值为 f (In a) -

3、-a 2 In a . 从而当且仅当 -a2 1n a - 0 , 艮卩 a 乞 1 时， f (x)丄 0 . a 若 a : 0 , 则由 ( 1 )得，当 x - In()时， f (x)取得最小值，最小值为2la 4a 4a1a?3af(ln( ) 二 a22综上，的取值范围为【考点】导数应用【考点解读】?3aln( ) ?从而当且仅当 a2 4 2 43-2e 4,1 ?本题主要考查导数的两大方面的应用：(1) 函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时， 负，得出函数 f (x) 的单调区间 ;二ln( ) _ 0 ，即 a _-2e 4 时 f(x)_O .2首先考虑函数的

4、定义域， 再求出 f(x)， 有 f(x) 的正(2) 函数的最值 ( 极值) 的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数 f (x)极值或最值 . _ 22. 【 2017 课标 3 , 文 21】已知函数 f (x) =ln x+ax+(2a+1)x(1) 讨论 f (x) 的单调性 ;(2) 当 a 0 时，证明 f(x) 一 - 中 -？ ?【答案】 ( 1) 当 a0 时， f (x)在( 0,=)单调递增；当 a： 0 时，则 f (x)在( 0, - 丄)单调递增，在2a1(- 1 , ?： )单调递减； ( 2) 详见解析2a【解析】 试题分析： 0

5、), 再根 据导函数符号变化情况讨论X单调性： 当心 o 时则 /( 力在单调递增 ，当 xo 时，则 #( 力在?) -) 调递増 , la在 单调递减证明 /(%)0). 利用导数la 417 La la la易得片 H =y(l) = f 即得证 .试题解析： ( D f( x)=2ax2 (2a 1)x 1 =(2ax 1)(x 1) (x O)，当 a -0 时， f(x) 一 0，则 f(x)在(0,： )单调递增，1当 a 0 时，贝 U f (x) 在(0, )单调递增，在 (2a1： )单调递减 ?2a23当 01 时，rJvi(2) 由( 1) 知，当 a ： 0 时， f

6、(X) max = f (- 丄)，2a1 3 1 1f( )-( 2)= 1 n( ) 1，令 y = 1 nt 1-12a 4a 2a 2a1则 y- 一 1 =0，解得 t =1 ,y 在(o, 1)单调递增，在 ( 1， =)单调递减，? - ymax 二 y(1) =3,? yO，即 f(X ) max 乞 一( 2)4a( t-A-2.f (x) 4a【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式 【考点解读】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数 h(x) =f (x)-g(x) . 根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式 ?(2

7、)根据条件，寻找目标函数 ?一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数 ?3.【 2017 高考课标 2 文 21 】设函数 f (x) = (1 _x 2)ex .(1) 讨论 f (x) 的单调性 ;(2) 当 x_0 时， f(x)乞 ax， 1，求的取值范围 ?【答案】 ( I)在(- 二， -1-.2) 和( -1， .2 匸： )单调递减，在 ( -1 - J,-1 ?-.2) 单调递增 ( n)1,： )【解析】试題 分析： ( 1)先求函数导数再求导函数零点 列表分析导函数符号确定单调区间对 61 分类讨论丿/(x)=(l

8、-xXl + xy l + x) =1 = ?0 + 1， 当 0 白。一花 xi a 吒+1 .试题解析： ( 1) f (x) = (1-2x - x 2)ex令 f (x) = 0 得 x = -1 二 24当 x (- ：，一 1 一、 2)时， f (x) 0 ；当 x (-1 一 2 1 2) 时， f( X) 0 ; 当 x (-1 2 一： )时， f (x) :： : 0所以 f(x ) 在 2) 和( J .2,： ) 单调递减，在 (_1_、 . 2, 、 2) 单调递增 /(X ) =(l-xXl + JcV当 41 时设函数 h(x)= (1-x) BI hJ Gc)

9、-xe0), 因此 hfcc)在仙 * ) 单调 递减 而 h=4,故 hWl, 所次f (z)= (s+l) hg)Wx+lWax+l当 0a e-z-lj (x) =e fc-l0 (x0) ,所以苣 (x在在 Q, +00) 单调 迅増 , 而 g( 0) =0,故 eT=s+l当 /( 兀 A(1 ， fl x)(l + x) 1 ax 1 = x(l ax J) ) 取花 = -2则兀 E 01). (1 - 兀 )(1+兀一压二 6 故/( 兀?仓十 1当必时； 取花 =尝丄/(%) ： ( 1- 西 Xl + Mi A 压+ 1综上 a 的取值范围 1, 0)【考点】利用导数求函

10、数单调区间，利用导数研究不等式恒成立【考点解读】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调F 卄性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题 ?4.【 2017 江苏， 20 已知函数 f( xx3 ax 2 bx 1(a ? 0,b? R) 有极值， 且导函数 f (x) 的极值点是f (x)的零点 ?(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值 )(1) 求关于 的函数关系式，并写出定义域；(2) 证明： b2 3a ;(3) 若 f(x), f (x) 这两个函数的所有极值之和不小于

11、丄，求的取值范围 .2【答案 ( 1) a 3 ( 2) 见解析 ( 3) 3： a_62【解析解： ( 1) 由 f (xx 3 ax2 bx 1 ，得 f (x) =3x2 2ax b =3(x 亘) 2 b-旦 .3 3所以送时9，af(x)有极小值 b 3因为 f (x) 的极值点是 f(x) 的零点 ?因为? 丄匚也 . 仁 0 , 又& ，故b 空 33 27 9 32 1f (x)有极值，故 f (x)=0 有实根，从而 b-a3 9aa =3 时， f (x)O(x = -1) ，故 f (x)在 R 上是增函数 ,9 aL(27-a 3 )_ 0 , 即 a_3.f (x)没

12、有极值 ;a 3 时， f(x)=0 有两个相异的实根 x壬号 坐， X2 =fa2 3b列表如下x (叫 Xjf (x) +f(x) 故 f (x) 的极值点是 X! , x2 .从而 a 3，2a 2 3因此 b ，定义域为 ( 3,=).Xi (Xi ,X2 ) X 区， 母 )0 0 +极大值 n 极小值 匚569 a设斗则=郭o W弓 -27279 t 9 r9?当心洋 B时， (/)0, 从而龙在 ( 哮，炖 )上单调递増 . 占 Jr因为 GA3,所以 卫需 3 的，故 或 a 品沁即土和?2因此 b A3。 ?(3) 由( 1) 知 ,f (x) 的极值点是 x1 , x2 ，

13、且 x-i x2X 2a， x-iX 32 4a2 -6bx2 一 9从而 f (xj + f (x2) = x； + ax； +bx i +1 + x； + ax； + bx2 +1=xi (3x；32ax 1 b) x； (3x； 2ax； b) -a(x； x|)3 3-b(x 1 x2) 23记 f (x)， f (x)所有极值之和为 h(a)，xkZ 2因为 f (x) 的极值为 b - 3 ?J = -a2 3 h(a)=_ -a2 + ， a.aZ Tlx Zw因为 h (a) 二- a 2 ： 0 , 于是 h(a)在( 3 ： )上单调递减 .h/、 2 3因为 h(6)=

14、丄， 是 h(a) h(6) ，故 a 乞 6.2因此 a 的取值范围为 ( 3,6 .(2) 由(1 知， 卓=弐亚+弓 =. 【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【考点解读】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研 究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的 情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路5. 【 2017 高考山东 文 20 】已知函数 ffxlux lax 2 R .,3 2 7a3 - sin a .(I) 当 a=2 时 ,求曲线 y =

15、fx 在点 3,f 3 处的切线方程；(II) 设函数 g x fx 厂 X-a cosx-sinx, 讨论 g x 的单调性并判断有无极值 ,有极值时求出极值 .【答案】 ( I) 3x y 9=0 , ( 2 )(ll ) a=0 无极值； a ： 0 极大值为1 3a - 0 极大值为 -a ,极小值为6【解析】1a3-si na ,极小值为 -a ；6试题井折：根撼求出切线斜率，再用点斜式写出切方程； 由巩刃 =0-口血 - 血心通 过讨论确定 巩兀 )单调性 , 再由单调 性确定概倩 .试题解折： 由才 ( 刃仝宀 +心得八 力“一 2 兀所臥“尸 tJ /又因 为/ =0,其切线方

16、程 y-0 = Xx-3), 即弘一 $-9=0.8( 2) = x 3 ax1 + (z-o)sx-s-io xf3 2JjJJgXX 2 O3C- ( X ?)siuX = (X-aXx-SLD X ) J令 h(x)=x-iinx, fliJ#(x)=lsinxfcO,所 以为(力是増函数且 ( 0) = 0.令 h(jc)=h 得珀 =O 1j=a J当 应=0 时 , ?)二 0 恒成立，所 a(x) 在 R 上递增无极 值门 0即 (力在(toQ. (0, -W) 上递増，在 ( 纽仍 上递减 所以极大值为 (应)= 一 2 耳 sir 6 极小值为 g(O ) =n ;6当 4

17、0 时 , g ( X) 在 d O) x 他)上 递埋在 (Q 口) 上递减 所叹扱大值为 g(o) = P 播小值 为 (灯) =- 2 鈕 6综上所述盘 tf3 sin a,66 无极值孑 40 极大值为 - 极小值为6【考点】导数的几何意义及导数的应用【考点解读】( 1) 求函数 f(x)极值的步骤： 确定函数的定义域； 求导数 f( T|! jF JF jkX )； 解方程 f( x) = 0,求出函数定义域内的所有根； 检验 f ( x )在 f ( X) = 0 的根 Xo 左右两侧值的符号 ,如果左正右负 ,那么 f (X)在 Xo 处取极大值 ,如 果左负右正 ,那么 f (

18、X)在 Xo 处取极小值 . 若函数 y = f (X)在区间 ( a ,b)内有极值 ,那么 y= f (X)在(a , b)内绝不是单调函数 ， 即在某区间上单 调函数没有极值 .6. 【 2017 天津，文 19 】设 a,b R , | a |_1. 已知函数 f (x) 二 x3 -6x 2 - 3a(a -4)x b , g(x)二 ex f (x).(I) 求 f (x) 的单调区间 ;(n)已知函数 y=g(x) 和 y =ex 的图象在公共点 ( xo , yo) 处有相同的切线，( i ) 求证： f (x)在 x = xo 处的导数等于 0；( 斗+(ii ) 若关于 x

19、 的不等式 g(x)乞 ex在区间冷 1,冷 1 上恒成立，求 b 的取值范围 .【答案】 ( I)递增区间为 (_：的导数等于 0. (ii) 的取值范围是【解析】,a) , (4_a,： ), 递减区间为 ( a,4 a) . ( 2) (i) f (x)在 x=x 0 处 -7,1 .试题 分析； ( I )先求酗的导数 /(x)=3(x-z 3)x-(4-) ,再根据 H1. 求得两个极值点 的大小 关系， 再分析两 侧的单 调性， 求得国 数的单 调区间 j ( II) ( i )根据畧 (刃与云有 共同的切线 , 根据导数的几何意畑立 方程 求得得证；(III) 将不等式活化为 /

20、( 刘1,再根 JS 前两问可 知兀是 极大值 点心 =4, 由( I 知在 LQ 內单调递増， 在 + 1)内单调通减，从而 /(x)/(e7 ) = mk-U + l 上 t 誠立， 得 3+1, 一 住亦 1,再根据 导数求函数的 馭值范 围*试題解析： (I) 由/(x) - X3 -6 - -4)x+ b ?可得fx) = 3/ -I2x-3a(a - 4) =3(x-a)(x-(4 - &) ,令解得兀 =0, 或兀 =4 一?由七伍 1 得心 0 ,可得 /(x)L又因为 川再 21广 ( 兀)= 0, 故兀为 八功 的极犬值点， 由1) 知兀二厂另一方面， 由于 I 口伍 1

21、丿故 G+1 在内单调递増，在 仗卫+1)內单调递庇故当兀 =0 时， /(x)/() = l 在仪一 s+l 上恒成立， 从而 (x)e K 在 gT, 兀 +1 上恒成立 .1宙 y ( a) = 6a 3o( j 43 + = 1 得矗 = 2a一鈕 +1, 1 农1*令心 0 = 2x-6? + 1 xet-lJb 所以 (?=6 乳 - 12 厂/(x)=0, 解得兀 =2 ( 舍去 ), 或兀 =(k因为 -1) =T , 2(1) = -3,的) =1 ,故心 ) 的值域为 -7,1 .所儿 6 的取值范围是 - 乙 1 -【考点】 1.导数的几何意义； 2.导数求函数的单调区间

22、； 3.导数的综合应用 ?【考点解读】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切/ 丿点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出 x0 二 a ，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能7. 【 2017 北京，文 20 】已知函数 f (x) =exCOSx - X .(I) 求曲线 y = f(x) 在点 (0, f(0) 处的切线方程；(n)求函数 f (x)在区间 0 n 上的最大值和最小值 .， 2【

23、答案】 ( I ) y = 1； (n) 最大值 1 ；最小值 - 一 .2【解析】试题分析： ( 1) 根据导数的几何 意义，求斜率 再代入切线方 程公式 ( ii 设 h(x)=f f(x) f 求卅(刘，根据 矶刈 确走函数凤 Q的单调性，根据单调减求函数的最大值 A( 0) = 0 ? 可以知 道应 am) 切恒成立， 所以国数 /Ms 单调递减 国数， 根据单调性求最值一学科蜩 试题解析： =/( 力在点 (0=/(0) 处的切线方程为(II ) A(x) = eK (cosx sin X) 1 ? 贝时， hx) 0 ,jr所 以凤力在区间 6 亍 上里调递减 .Af(x) = e

24、x(cosx sinx sin JC cosx) = 2e T sinx*当血 ( 0 听)所以 对任意 xe(01 有心) 丈顷 0) = 0 , 即八 0 0 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间调定递函减数区. 间的步骤; 解不等式 f ( x)6 解得站 丿二函数尸 4W+ 扌的单 调増区间为 & +8) 故选 B因为函数 用)=血心 定义域为 (0, +gb 所汉/a)=mx+ig 町当/WX) 时/ 解得兀右即函数 的单调 递増区间为 +00)5当怒0 时， 解得 0 xkG即函数的单调递减区间为 (0 故选 D1典例 2 已知函数 f(x) = 3x3 + x2 + ax+ 1(

25、a? R) ，求函数 f(x)的单调区间 .【解析】 f( x) = x2 + 2x + a 开口向上， = 4 4a = 4(1 a) . 当 1 a1 时， f( 当 1 a0 , 即 a0 , 解得 x0 恒成立， f (x)在 R 上单调递增 .一 2 / a . _f ( x) = 0 , 解得 刘= = 1 . 1 a , X 2= 1+ 1 a ,1 a 或 x 1 + 1 a；令 f (x)0 , 解得 1 , 1 a xl 时， f (x)在 R 上单调递增； 当 a0(f ( x) = 0 在 x= 0 时 取到 )， f(x)在 R 上是增函数 .【变式训练】 讨论函数

26、f(x) = (a 1)ln x+ ax2 + 1 的单调性 .【解析】 f (x)的定义域为 (0， +m ) ,2 “, a 1 2ax + a 1f (x ) = + 2ax = .当 a l 时， f ( x)0 ,故 f (x)在(0 ,+s)上单调递增 ;当当 0a1 时，令 f ( x) = 0 , 解得 x= x ? (0,- 罟) 时 , f ( x)0 ; 当 x?( 2a， f递增 .x xaW0 时， f ( x)-l.Q) 由在 匕 4 上单调递减得当天? 匕 4 时 削 0)=1 - 处匹 0 恒成 立，即恒成立 *所以必 G(X) 皿 而 G( H)二一1)2-1

27、, 因为工 m 所以扌譌 1 ,7所以 G(x)wz话(此时 X 4)、7 7所以吃一正 即盘 的取值范围是一说 +)?解题技巧与方法总结根据函数单调性求参数的一般思路 利用集合间的包含关系处理：y = f(x)在(a , b)上单调，则区间 (a , b)是相应单调区间的子集 .f (x)为增函数的充要条件是对任意的 x? (a , b)都有 f ( x) 0 且在(a , b)内的任一非空子区间上 f( x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解 .(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题 .【变式训练】已知函数 f(x) = exln x - aex(a? R)

28、 .(1)若 f (x)在点 (1 , f(1) 处的切线与直线 若 f(x)在(0,+ )上是单调函数，求实数 【解折】 (iyx)=e Klnx+ 芒三 一卅二(1)=(1 町孙由得尸 2 一C1y= -x+ 1 垂直，求 a 的值；ea 的取值范围 .g-fl + lne 1 ,由( 1) 扣/ =e_盘+ir 町已若皿为单调递 减函数 , 则/W)，则如二 _卡+、 号 3)；由由得 gq.得 Q1故奥 iftlQl)上为 单调递减 函数， 在 CU +巾)上为单调递增函数，此 3 寸贞 x)的最小值为贞 1 尸 1,但曲 ) 无最 大值归 无趋近值 ).故用 ) 不可能是单调递减 函

29、数 .若用 ) 为单 调递増 函数，则几疏 0 在 A0 时恒成立， 即 g Q+ki 也 在 m 时恒成立，A*所以桂十 In 疋在 口 0 时恒成立， 由上述推理可知 此时於 1故冥数 盘的 取值范围是 ( 一 8, 1 ?【知识链接】函数的单调性在某个区间 ( a, b)内，如果 f ( x)0 , 那么函数 y = f (x )在这个区间内单调递增；如果 f ( x)0 ,那么函数 y=f(x )在这个区间内单调递减 .题型二 导数与函数的极值、最值典例 1 (1)(2017 ?青岛模拟 ) 设 f (x)是函数 f(x)的导函数， y= f( x)的图象如图所示，则 y =f(x)的

30、图象最有可能是 ( ) 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数 y = (1 x)f( x)的图象如图所示，则下列A. 函数B. 函数C. 函数D. 函数f(x)有极大值 f (x)有极大值 f (x)有极大值 f (x)有极大值f( 2)和极小值 f(1)f(2) 和极小值 f( 2)f( 2)和极小值 f(2)【答 (1)C (2)D结案论】中一定成立的是 (【解析】 由 r (x)E 象可知，工 =。是函数用 ) 的极大面轧工 =2 是用 ) 的极小值鼠 故选 U 由题图可知， 当衣-2 时， 他口 当一 251 时，用 )0;由此可臥得到的数金 )在f)和-2极

31、处小取值得极大值 , 在 =2 处取得极小値 a典例 2 (2017 ?泉州质检 ) 已知函数 f(x ) = x 1 + g(a? R, e 为自然对数的底数 ) .(1)若曲线 y= f (x)在点 (1 , f(1) 处的切线平行于 x 轴，求 a 的值 ;17求函数 f （X） 的极值 .【解析】 由用） =工 1+養得/ 町 =1- 岸 .又曲线尸用）在点 血）处的切线平行于 工轴 得/ 1） =0,即 1-;=0, 解得 日 =圮 一(2 跑 =1- 念 当已时， / 不）为（ - 叫十 8）上的壇函数，所以函数 用） 无极值 . 当 Q0 时，令 二 0 得秧 = 即 X=1H6

32、 当兀? （ 一 叫 In 町时，当圧?如+血）时，于 （莎温所以代 0 在 （一 b 5 町上里调递减， 在 （Ins +?上单调递増，故用 r） 在 xlna 处取得 极小值 且极小 値为 Hlw ）=ln6 无极大倩 . 综上， 当曲）时，函数金）无极值 $ 当 Q0 时，用）在 xlna 处取得极小 filnfl, 无极大倩 .典例 3 （1 ）（ 2016 ?广州模拟 ） 已知 f （x） = x3+ 3ax2 + bx + a2 在 x =- 1 时有极值 0,则 a b = _x3 a 1 （2017 ?福州 B . 上的最小值 .质检） 若函数 f（x） = - gx2+x +

33、 1 在区间 （2 ,3） 上有极值点，贝 U 实数 a 的取值范围是 ( )5A (2 , R【解析】1819e( 1 肖 Qi 时 , 厨令 111 工 7 心 , T1 1 r 1所以尹 +匚=左 -， 工? + )?因此 才二若即曲线尸用 在点 e 用) 处的切线 斜率为 ￥又尼尸 111?- 扌，所臥 曲线尸汛 X) 在点 (2, 天勾) 处的切线 方程为 厂(ln2 寺 二眾一 2), 即 JC-4jp+41n2-4=0.e , 则当 x ? (0 , e 时， f( x) 0 , 函数 f(x)在区间 ( 0 , e 上单调递减， 所以当 x = e 时，函数 f(x)取得最小值

34、 e.e综上可知，当 a0 时，函数 f (x)在区间 (0 , e 上无最小值；当 0ae 时，函数 f (x)在区间 (0 , e 上的最小值为 -.解题技巧与方法总结求函数 f(x)在上的最大值和最小值的步骤(1) 求函数在 ( a , b)内的极值； 求函数在区间端点的函数值 f (a) , f(b)；(3)将函数 f(x)的极值与 f (a), f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 .2【变式训练】设函数 f(x)= x3专一 2x+ 5, 若对任意的 x?,都有 f(x)a，则实数 a 的取值范围是【答案】 ( 3 2)204f(2) = 0 , 当 x0 时，

35、有【解析】 由题意知，何 二 3 卫一 令/(x)=0, 得 3 卫一 * 一 2 二 0,解得 X 二 1 或 X=y 又 ZU) 埠心畔人一 1) 二字口 2)=?, 、27故人对皿 11= 2典例 5 已知函数 f(x) =(1)求 f(x)的单调区间； 若 f (x)的极小值为一7? * * 亍2ax + bx+ cx (a0) 的导函数 y = f ee3 ，求 f (x)在区间上连续的函数 若函数 f (x )在上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，C(x)的两个零点为一 3 和 0. 0 的解集是 ( )T|!A. ( 2,0) U (2 ,+s)C. ( s, 2) U (2

36、 ,+s) 【答案】 Dxf x 一 f x2- 0 恒成立，则不XB . ( 2,0) U (0,2)D.( s,1+ inx【解析】丁当口时，?”冲 为 减函数， 貝卩 (2)=0, ?: 当且仅当 0* 山0, 此时梆工 )Xk又妙为奇函数加二咖也为奇函数 ? 故釣丸的解集为込 2)U? 劭 例 2 设函数 f(x) = In x x + 1.(1) 讨论 f(x)的单调性；x一 1证明：当 x? (1 ,+ )时， 1 x . in x1x 当 0 x0 , f(x)单调递增；当 x1 时， f ( x)0 , f(x)单调递减 .【解析】 ( 1)解 由题设， f(x)的定义域为 (

37、 0 ,+8) , f ( x)= - 1，令 f ( x) = 0，解得 x = 1. 证明 由(1)知， f(x)在 x = 1 处取得最大值，最大值为 f(1) = 0.所以当 x 工 1 时， in x x 1.1 1故当 x? (1 ,+s)时， in xx 1 , In 1 ,x 1 in即 1x1 时，不等式 f (x) 恒成立，求实数 X 十 1a 的取值范围 ; kk 的取值范围 .21x-J 丄【解析】 函数的定义域为 ? +对 ,1-1-ln J luxG尸 =-T令 得兀 =1;所以工 =1 为极犬值点所以 gxls+0故討 1 时， k h(1) = 1 , 所以 g

38、( x)0 ,所以 g(x)为单调增函数，所以 g(x) g(1) = 2,故 kw2.所以实数 k 的取值范围是 ( 一 a, 2 .引申探究k本例 (2) 中若改为：存在 xo ?，使不等式 f (x) - 成立，求实数 k 的取值范围 . I I，当1 e时+，1”】、 1由+例ln(2有)解,知 ,【解折】令的二当 x?(Ql) 时， /(RXb HQ 单调递増 j 当圧 十呼寸 * 用)单调递屁 .曲 0 为单调増函数丿二的 C)maa =夙 0)= 2 + - 、223?辰 2 + 名即实数止的取值范围是 ( 一叫 2 +勺?C C【交汇技巧】 利用导数解不等式的思路已知一个含 f

39、( x)的不等式，可得到和 f(x)有关的函数的单调性， 然后可利用函数单调性解不等式 .(2) 利用导数证明不等式的方法证明 f(x)g(x ) , x? (a , b)，可以构造函数 F(x ) = f (x) g (x )，如果 F( x)0 ，贝 U F(x )在( a , b)上是减函数，同时若 F(a) w0 , 由减函数的定义可知， x? (a , b)时，有 F(x)0 , 即证明了 f (x)0 ，得 x2 ，由 f ( x)0 ，得 0 x0 ,h(x) = 2ln x , x0 ,则 f (x) = m x ) h(x) , 当 M 时， 绷力 在 (0, 9 上为湎函数

40、， 凤?在 (6 9 上为増函数， 若代 0 在 (0,上无雾点 , 则喊$羽(扣 即(2 - 国 -1)也 In 二 . .2-41n2Si2, 当血 2 时在 (0, 扌) 上曲弍，拭 *24二冗夬町 在 (0,扌) 上无零点 .由 得 叱一 41x2 二加 n=2-41n2.关系式 y = f (x).从而， f( x) = 10【交汇技巧】利用导数研究方程的根 ( 函数的零点 ) 的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题 ?可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零 点个数 .题型三利用导

41、数研究生活中的优化问题例 5 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量a2/千克) 满足关系式 y= + 10( x 6)，其中 3x6 ,X 3可售出该商品 11 千克 .y(单位：千克 )与销售价格 x(单位：元a 为常数 . 已知销售价格为 5 元/千克时，每日(1) 求 a 的值；(2) 若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大 .【解析】 ( 1) 因为当 x= 5 时， y = 11 , 所以 2+10 = 11 , a= 2. 广 * 由(1)可知，该商品每日的销售量为22 2 y= xz+ 10(x6).所以商场每日

42、销售该商品所获得的利润为2 2 f(x ) = (x 3) x + 10( x 2,=2+ 10( x 3)( x 6) 3x6.6)=30( x 4)( x 6) .于是，当 x 变化时， f ( x) , f(x)的变化情况如下表 :x f(x ) f(x)(3,4)+单调递增40极大值 42(4,6)一单调递减由上表可得，当 x= 4 时，函数 f(x)取得极大值，也是最大值 .所以，当 x= 4 时，函数 f(x)取得最大值且最大值等于 42.答 当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 .【交汇技巧】利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1) 分析实际问题中

43、各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数2526; 匕 【，： .?. ；，ti -2ill, ，则山 .?: i n 二 ： ， 因此不等式.构- ： . !. I1 - i x- 一二，选 C.B. (- 2 , 2) C. (-8,- 2) D. (-, +)_求函数的导数 f ( X)，解方程 f ( X) = 0. 比较函数在区间端点和使 f ( x) = 0 的点的函数值的大小，最大 开区间内只有一个极值点，那么该极值点就是最值点 .(4) 回归实际问题作答 .练习检测1. ( 2017 大庆实验中学高三仿真模拟， 11) . 函数 fi xiA. f

44、i ?二 f 山 i B. fi a ： - f. b:.C. fim .fib? D. fiGf 的大小关系不能确定( 小) 者为最大 ( 小)值；若函数在:a b 1： ,则( )e【答案】 C【解析】 试题分析：由函数 张) =一卞 则 fg = - 迁泸 - 芈土 当忙 e ( -?jh 所以 f(x) S 所法函数 血)单调 递减，因为白 bX2+2017 的解集为A. (- 2 , +8)【答案】 C【解析】令! ： . : -点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造造辅助函数常根据导数法则进行：如 I 1“： 构造心： ， ， . ?

45、i - 构造珥 I：.fun；： 构造 ： , _ X |I |X * ( 为自然对数的底数 )有两个极值点，则实数的取值范围是 ( )A. | . B. C. - D.【答案】 A【解 析】 f ( 刃 Irw- 日 J + 1 若函数 只旳 xkix-zw 猎两个极值点，则 y = ang(x) = 些于在他 +切有 2 个交点， gg = f 天 o)令 h(x = -lnx-1, 则 hx) - 一三一 D, 即 WOO Q, “对 递増，X G (1 ( 4 8) 时 , h(x 6 即 o.g(x) 递腻加 g(Un 并gb )而冀 f D 时 , + s 时 , g(x)-*Q若

46、丫 = 和 g(x)= 四耳亠在 (6 + 8) 有 2 个交点B只需 0 u a 0 得増区间，解不等 式得减区间，由于 广( 力中含有参数 s 应按口进行分类讨论； (ID 要证 的不等式就是护 - lox- 为此我们记曲沪於 -1 2, 求出它的最小值，证明最小值大于 0 即可 . 这可由导 数的知识易得 .试题解折： ( I )函数/( 力的走义域是柯 )2/ a 2)x a (x+ 1X2 JC d)xX X当?0 时，f (x) A 0 对任意 XE-HJO) 恒成立 ,所久 函数 /( 力在区间 ( 。皿 ) 单调递増； . 4 分当 a 0 时，由 f (x) 0 得 x ，由

47、 f (x) : 0 得 0： x： a2 2所以，函数在区间 ( ， ?： ) 上单调递增，在区间 ( 0, )上单调递减。 .2 2(n)当 a = 1 时， f (x) = x 2 ? x In x ，要证明 f (x) e x x2 x 2 ,只需证明 ex -In x -2 0 , 设 g(x) =e x -In x -2 ,则问题转化为证明对任意的 x 0 , g(x) 0 . 分令 g (x) 二 ex -1=0 得 ex 二 1 ,x x1容易知道该方程有唯一解，不妨设为 x0 ，则 x0 满足 ex0X。当变化时， g(x)和 g(x)变化情况如下表(0,x。 ) X。g(x

48、) 一g(x) 递减g(x) min =g(x )弋 -Inx 2 1 X0_2 . 10 分X。分( 沧严)+递增28因为 Xo 0，且 Xo =1 ，所以 g(x) min 2： -2=0 ，因此不等式得证。 . . 12 分考点：导数与函数的单调性，导数与最值 ?导数的综合应用 .【名师点睛】用导数证明不等式的过程如下： ( 1) 构造函数 (x)，转化为证明 g(x) . 0( 或(x) 0 );(2)利用导数求函数 (X) 的单调区间，求出最值 (如有 )； ( 3)判断定义域内 (x)与 0 的大小关系 ,证明不等式 .难点在于构造函数(x)，一般要对给出的不等式进行必要的等价变形

49、，如采用两边取对数 (指数)法，移项通分等等，要注意变形的方向，因此要利用函数的性质，力求变形后不等式一边出现需要的 函数式 .、 、 x25. ( 2017 吉安一中月考， 21) 设函数 f x 二 ex-ax-1 ,x R .1(1)若 a ，求函数 fx 的单调区间 ;【答案】 ( 1) 增区间2(2)若对任意 X_0 都有 fx - 0 恒成立，求实数的取值范围【解析】试题分析： ( 1) 先求导数：再研究导函数符号，将导函数视为目标函数，再利用导数研究駆数单调变化规律：先减后増，即有从而可得原函数的导函数恒正，即在定 义域上为増函数 对任 童山 o 都有/( 力?恒成立等价于 才(

50、乱肿 0,因为 /(0) = 0, 所以和 样可得当 f ( o ) =i-4“时，导函数不变号，满足条件；/(x)0 , 所以 f( X ) 在(- 严) 上递增 . .2(2) 当 x 一 0 时， f xi = eX -x-a ，令 g x =f x ，则 g xi； = eX-1 -0 ，则 x 单调递增 ,当 feri-xo 时， 导函数变号，存在6 分f x -f 0=1-a ,29当 a _1 ，即 f x _ f 0 _0 时， f x 在 0,= 上递增， f x _ f 0 二 0 成立；当 a 1 时 ,存在 xo ? 0 ： ， 使 f Xo=O , 则 f x 在 O

51、,X o 上递减，则当 x O,X o 时， f x : f 0 =0 ,不合题意，综上 a 兰 1 . . 12 分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是 参数的不等式，便于问题的解决 ?但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解 析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法6. ( 2017 重庆市巴蜀中学月考， 16)定义在 R 上的函数 f(X) 的导函数为f(-2)=3 ，当

52、 x=0 时有 x f (x) 0 恒成立，若非负实数、满足则 L2 的取值范围为a HYPERLINK l _bookmark2 1【答案】 4 ,3 IL HYPERLINK l _bookmark3 5【解折】试题分析：介或 严”、 介，所以由f(X ) ，且满足 f(3) = 1，f(2a， b)乞 1， f(-a-2b) 岂 3，flO 1bO /(2? +b)2zi+Ar3 为一个四边形 0ABC 及其内部，其中叹其取倩 范围为 【 , 虬 二f 所以可行域2 3 3 o+l足?欽 0 猊 0 耳而空二隔 苴中 P( “),DC2),所考点：线性规划，导数应用【名师点睛】线性规划问

53、题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚 线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直结合图形确定目标函数最值取法、值域范围7. ( 2017 重庆市巴蜀中学月考， 21) 已知函数 f(x)二 x-axln x ( a R).(1) 当 a =1 时，求函数 f (x) 的单调区间 ;(2) 设 g(x) = f( X) ，若函数 g(x)在 1,：； 4； 上为减函数，求实数的最小值； In x2 _ 一 1线的距离等等，最后30设/ = 一： -， 则 it 先求函数导 数八力二 ， 确定导函数零点 1,列表分析导膨符

54、号变化规律 确定函数单 调区间 由题青得 g(x) =怙 X 1- 0 在(1?畑”成立，即利用娈量分离转化対对应函数最值： 门工 的最1犬值而 lJ(x)+(1q)可1视作一个二尖函数，根据对称轴与定又区间位 (nx) (J DX)墨关系得最值 3) 不等式存在性冋题，一般利用变量分离转化为对应函 数最値 问題： 亠 - 占 m Jnx 4xIn x 4JC In e 4?试题解析： ( 1) a =1 时， f(x)=x-x nx , f(x) = -Inx ,令 f (x) 0，解得 0： X： 1，令 f (x) ： 0，解得 x 1 ,? f (x在) (0,1) 递增，在 1,：递

55、减 .xIn x函数 g(x)在( 1,址)上为减函数，由已知得 g(x) = ax，函数的定义域为 0,1 1,= ,| -? a + - 0(In x)g(x) = In x -1在( 1, 畑)恒成立，r I n x 万 1 / 敗 1 2Z/rZA(In x) In x In x即 a 王 “二 2 = T1一) +( )在( 1,畑)恒成立 .In x 4 41 2 1 1 令 -t，则 t 0，得到 a 一 -t t 在 t 0 恒成立，得 a， 即的最小值为一 .(3) 若存在 x0 |e, e ，使得 f (x 0) Inx0 成立，1- f(x ) 11 J In x 0 4

56、问题等价于：存在 X?e,e 2 ，使得 g(x。 ) 0 成立，- 4问题等价于：“当 x E _ e, e 2 I 时，有 g(x) min 兰 1 ”，且 g(x) =-ax ,In x3132In x 一 12g(x ) 二一 a 2 结合（ 2）知：当 x ? e, e I 时，(Inx)当 a -1 时， g （x） 0 在沧 |e, e 上恒成立，即J 0 丄 . (In x) 2 _ 4g （x） 在 e,e 2 上单调递减 ,则 g(x) ae 4 2 4e 2min = g(e 2)= e 2 0,函数在 （0,件） 上是增函数孑 当 4。时，在区间 （0, 2） 上， f

57、 ； 在区间 a? f（x）在（ 0 , ）是增函数，在（， +8） 是减函数 . .（ -,T f （x） 0.曰4 分（ H） 由 （I） 知，当 a 0 时，函数 f （x ）在（ 0 , +8） 上是增函数，不可能有两个零点，332函数：，aa a当 Qo 时， f 3 在。 - )上是増函数，在 (- ?心) 上是减 函数 大 IB,a a a当 f (-) WQ 时， f (x) 最多有一个零点 (-)e a e e e此时：丄 2二?且 f (2 =- 1 亠空 +i 二 - 皀 0，此时 【( 丄) 为函数 【 3 的最 a a a解得 oab2 2 2f ( ) =2-2lr

58、w- +1=3- 2lna- (Xal) $令 IF (a) p aF( 1) m aVo, 即 r(|) ?爲 的取值范围是 ( 0, 1) .( 川) 由( n)可知函数 f (x)在( o,) 是增函数，在 (， +s) 是减函数 . 分析： ?a 1 aO 1 0 就可以得出结论 . a 1g ( x) =f (- x) - f ( x) =ln ( x) - a (-一,x) -( Inx -ax)( 0 v xW),则 g (X)= 丄g ( x) 在区间 ( 0 , j+2a=y 心 Z)L? _ . 1上为减函数 . 0 v X1 ，则 g ( xj ga() =0 , 又 f

59、 (Xi) =0,( Xi) 0 . 又 f ( X2) =0 ,12 分 (1 ) 可知工 A ，即 j. . - . ：: ： : , . .考点： 1 导数在研究函数中的应用； 2.导数在研究不等式中的应用 .9. ( 2017 大庆实验中学高三仿真模拟， 21 ) 设函数 f ( x) =alnx - bx2 (x 0).(1)若函数 f ( x)在 x=1 处于直线 J 一 相切，求函数 f (X)在 L 上的最大值 ;(2)当 b=0 时，若不等式 f ( x) m+x 对所有的 a?, x?都成立，求实数 m 的取值范围 .1 234【答案】 ( I) .; (n) (-R, 2

60、 -e2 .【解析】 试题分析： 对函数求导， 利用函 数在梵 =1 处与 y = - 扌相切 , 可得关于 合血 方程 t 求出 比 b , 再利用导函数判断函数在 社創上的 单调性 , 结合单调性求 得函数 最大值? )用分离变量 法，将原问题 转化为 malnx-x f 对 所有的 a e 1 J.x e 1, e 2 F 构造函数 h 如=alnxc, 利用一次函数单调性 t 求岀最小值 h(l) = lnx-x , 再进 一步利用函数 单调性 , 求岀最小值 后可 得 H1 的范围 ?试题解析： ( I)： f( x) =- 2bx ,(l)=a-2b=0f ( x) =lnx -