自控第四章课件

1、第四章 根轨迹法目的 掌握绘制系统根轨迹的方法掌握利用根轨迹分析系统的方法内容根轨迹方程绘制根轨迹的基本法则利用根轨迹进行系统分析稳定性即闭环极点闭环特征方程的根动态性能稳态误差系统的性能开环放大倍数开环积分环节个数困 难!困难1：系统闭环特征方程的根如何求取！困难2：讨论或预测当系统中的某一参数发生 变化时系统闭环特征方程的根如何变 化! 参数改变，系统性能如何改变！ 伊万思（W . R . Evans）提出了一种图解方法，即在复平面上由系统的开环极点、零点确定 闭环 极点 称为根轨迹法。# 4 -1 根轨迹的基本概念一、根轨迹： 根轨迹法属于复域分析法，是一种图解法，它可用于控制系统的分析

2、和设计。 所谓根轨迹是指当系统某个参数(如开环增益K)由零到无穷大变化时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。反馈系统开环传递函数的一般形式：式中：Zi（i=1、2.m）为开环传递函数零点 Pj（j=1、2.n）为开环传递函数极点 K*为开环传递函数的根轨迹增益 系统的闭环特征方程： 式中，若已知Zi，Pj，并给定一个K*，必可得出方程的一组解Sj（j=1、2.n） 如果变动K*，则所有Sj都要发生变化。令K*由0变化，则n个特征根都将连续变化，在根（复）平面上各有一条变化轨迹，即有n条特征根的轨迹，这些轨迹称为系统的根轨迹。根轨迹图示例（一）如图所示的二阶系统，R（s）C（s）K S（S+4）解

3、：Gk(S)= KS(s+4)K*=K开环极点：P1=0, P2= 4 无开环零点(S)= = Gk(S)1+Gk(S)K S +4s+K2特征方程为：S +4S +K=02特征根：今令 K = 0 范围内变化，利用解的公式计算对应的特征根的值，通过连接这些根点，就可以在负平面上得到根轨迹线。K = 0 , S1 = 0 , S2 = 4 K = 4 , S1 = S2 = 2K = 5 , S1 = 2 + j , S2 = 2 j K = 8 , S1 = 2 + 2j , S2 = 2 2j K 时 , S1 2+j , S2 2 j在复平面上，点出各对应点的根点，把它们连接起来，再用箭

4、头表示它们的变化趋向，就得到二阶系统的根轨迹图kk有了根轨迹图，就可对系统的动态性能进行分析：1、当K=0时，根轨迹均在S平面的左半部，因此，系统对所有的K值都是稳定的。2、当0 K 4时，闭环特征根为一对共轭复根，系统为欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程。5、开环传递函数有一个位于坐标原点的极点，所以系统为 I 型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。 绘制根轨迹实质上是寻找闭环特征方程 1+ G(S) H(s)=0 的根 因此满足方程式 G(S)H(s)= 1的s 的值，都必定是根轨迹上的点， 故称上式为根轨迹方程。二、根轨迹方程利用开环传递函数的通式，即： G(S)H(s) = 1 为复变量，

5、所以上式为一矢量方程，可表示为模值方程和相角方程。模值和相角方程为：式中：从这两个方程中可看出，例、设系统开环传递函数为 GK(s)= 如何应用根轨迹方程在 S 平面上找到闭环极点？K(1s+1)S(T1S+1)(T2S+1)解：将上式改写为零极点形式P3Z1P2P1S11、在复平面上画出开环的零极点。一般用 X 表示开环极点的位置，此系统有三个开环极点 0 、P1 、P2 ;用小圆圈 表示开环零点的位置,此系统有一个开环零点 Z1 2、在复平面上任取一点 S1 ，然后画出从各开环零极点到 S1 点的各矢量。则如果：成立，那么S1就是根轨迹上的点# 4 - 2 根轨迹绘制的基本法则一、根轨迹的

6、分支数二、根轨迹对称于实轴三、根轨迹的起点、终点四、实轴上的根轨迹五、根轨迹渐近线六、根轨迹的起始角与终止角七、分离点坐标八、根轨迹与虚轴的交点九、根之和 练习：# 4 2 根轨迹的绘制一、根轨迹的分支数 根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数 n ，也就是分支数与闭环极点的数目相等。 这是因为 n 阶特征方程对应有 n 个特征根，当根轨迹增益 K* = 0 时，这 n 个特征根随 K* 变化，必然会出现 n 条根轨迹。 二、根轨迹对称于实轴 闭环极点若为实数，则必位于实轴上，若为复数，则一定是共轭成对出现，所以根轨迹必对称于实轴。三、根轨迹的起点、终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开

7、环零点，如果开环零点数 m 小于开环极点数 n ，则有 （ n m ）条根轨迹终止于无穷远处。根据根轨迹方程： 根轨迹的起点，即 K* = 0 时的闭环极点，当 K* = 0 时，上式右边为无穷大，而左边只有当 S Pj 时， 才为无穷大，所以 K* = 0 时，根轨迹分别从开环 n 个极点开始。即根轨迹起始于开环极点。 根轨迹的终点，即 K* 时的闭环极点。上式可知当 K* 时，右边为 0 ，而等式左边只有当 S Zi 时，才为 0 。所以 K* 时，根轨迹终止于各零点。 当 n m 时，只有 m 条根轨迹趋向于零点，还有 （ n m ）条根轨迹趋向如何？ 由于 n m , 当 S 时，上式

8、可写成（ Zi , Pj 可忽略不计）则： 当 K* 时，有 n m 条根轨迹趋于 四、实轴上的根轨迹 若实轴上某线段的右侧，开环零极点数目之和为奇数，则该线段一定为根轨迹段 。 在实轴的根轨迹上取一点 S1 ,一对开环复数零极点对 S1 的向量对称于实轴，其相角等值反号，在相角方程中将相互抵消，剩余的仅是位于实轴上的开环零极点对 S1 向量，但位于 S1 点左边的开环零极点对 S1 点的向量相角为零，位于 S1 点右边的开环零极点构成相角 ，故根据相角方程，只有实轴上的根轨迹区段右侧的开环零极点数之和为奇数，才能满足相角方程。五、根轨迹渐近线 如果开环零点数 m 小于开环极点数 n ，则当

9、K * 时，有（ n m ）条根轨迹趋向 ，这（ n m ）条根轨迹趋向无穷远的方位，可由渐近线决定。渐近线与实轴交点坐标：渐近线与实轴正方向的夹角：K 依次取 0 ， 1 , 2 一直到出现重复为止 。例一、画出所给系统的根轨迹解：P1 = 0 , P2 = 1 , P3 = 2 无零点 有三条根轨迹趋向无穷远，其渐近线与实轴的交点坐标0-1-2六、分离点坐标 一般情况下，如果根轨迹位于实轴上两相邻开环极点之间，则这两极点间至少存在一个分离点。如果根轨迹位于两相邻开环零点间（其中一个零点可位于无穷远处），那么，这两个零点之间至少存在一个分离点。 两条或两条以上的根轨迹的分支，可随 K* 的增

10、大而相遇又立即分开的交点称为根轨迹的分离点或会合点。 分离点即为根轨迹的交点，它必为系统的重根，故可由特征方程取导数联解得出。 或：对特征方程求导得：分离点的计算公式：例一、已知系统的开环传递函数试求系统闭环根轨迹的分离点坐标解：d1 即为所求 Z1P1P2d例一、已知系统的开环传递函数试求系统闭环根轨迹的分离点坐标解：P1 = 1 , P2 = 2 , Z1 = 3 ,K* = K据法则 1 ：n = 2 有两条分支 据法则 3 ：两条分支分别起始于 1, 2 点，一条终止于 3 点 另一条为无穷远处。据法则 4：在开环极点1 ，2 ，之间及开环零点 （3 ，）之间的实轴为根轨迹据法则 5：

11、有一条渐近线K = 0 ,则 = 可见渐近线就是根轨迹本身。据法则 6：可确定实轴上的分离点与会合点显然 1 与 2间的实轴上有分离点，在 3 与 间的实轴上有会合点。123七、根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的相交，意味着闭环极点为纯虚根， jw ，系统处于临界稳定状态。因此将 S = jw代入特征方程中得：例一、试绘制下列系统的根轨迹图解： P1 = 0 , P2 = 1 , P3 = 2 无零点 有三条根轨迹趋向无穷远，其渐近线与实轴的交点坐标为：分离点：令 S = jw012P0P1P2例二、设反馈控制系统中要求：（1）概略绘制系统轨迹图，判断系统的稳定性。（2）如果改变反馈通路传递函

12、数使 H(s) = 1 + 2S 试判断 H(s) 改变后系统的稳定性，研究 H(s) 改变所产生的效应。 解：（1）系统无开环有限零点，开环有限极点为： P1 = P2 = 0 , P3 = 2 , P4 = 5实轴上根轨迹区间为： 5 ， 2，0 ，0根轨迹渐近线条数为：4，且：由分离点方程：得：0 2 5从上图可知，无论 K* 取何值，闭环系统恒不稳定（2）当H(s) = 1 + 2S 时，系统开环传递函数为：其中 K1* = 2K* . H(s) 的改变使系统增加了一个开环零点。 实轴上的根轨迹区间为： ， 5 ， 2 , 0.5 0 , 0 根轨迹渐近线条数为：3 且：系统闭环特征方

13、程为:列劳斯表 S4 1 10 K* S3 7 2K* S2 K* S当 K* = 22.75 时，劳斯表 S 行的元素全为零。由辅助方程：解得根轨迹与虚轴的交点为：S 1,2 = j2.55 .0 0.5 2 5由上图可知 ，当 0 K* m 时，可以表示为：式中：Si 为闭环特征根当 n m 2 时，特征方程第二次与 K* 无关，无论 K* 取何值，开环 n 个极点之和总是等于闭环特征方程 n 个根之和。 所以当 K* 变化时， 为常数，由此可知系统所有特征根之和为定值，故若有一些特征根增大时，必将有一些特征根要减小，即：当 K* 增大时，若系统的某些特征根在复平面上向左移动（即这时对应的

14、根轨迹曲线向左延伸），则必有另一些特征根向右移动（即另一些相应的根轨迹曲线向右延伸）。例一、已知系统开环传递函数，试绘制其根轨迹曲线解：无零点下面按法则先后顺序求根轨迹的参数1、因为开环有4 个极点，故有4条根轨迹2、确定实轴上的根轨迹（0 20）3、n = 4 , m = 0 所以有根轨迹 4 条渐近线的方向和位置如下：4、求根起始角 因开环有一对共轭复数极点，求 P3,4 处根轨迹起始角。K = 0 时，5、求分离点6、求虚轴交点系统的特征方程为：令 S = jw 代入得：由：解得：0202练习：4 3 系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系一、用闭环零、极点表示的阶跃响应解析式二、闭环零、

15、极点分布与阶跃响应的定性关系三、主导极点与偶极子4 3 系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系一、用闭环零，极点表示的阶跃响应解析式设 n 阶系统的闭环传递函数为：式中：Zi 为闭环零点 Si 为闭环极点假设输入为阶跃作用，即 r(t) = 1(t) , R(s) = 1/S如果 中无重极点，可将上式分解成部分分式得： 经拉氏反变换，可求出系统的单位阶跃响应从上式可看出：系统的单位阶跃响应将由闭环极点 Sk 及系数 Ak 决定，而系数 Ak 也是与闭环零，极点分布有关。 二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系 一个控制系统总是希望它的输出量尽可能复现给定输入量，要求动态过程的快速性，平稳性要好

16、一些，要达到这一要求，闭环零极点应如何分布呢？ 1、要求系统稳定，则必须使所有的闭环极点 Si 均位于 S 平面的右半部。即 Sk 3 时，根轨迹将有两条分支伸向S平面的右半部，这时系统不稳定，所以系统稳定的开环增益范围为： 0 K 0.38 后，根轨迹将进入复平面。 令 K* = 1.06 ，可知它必是一个实根在 2 区间，而另两个根为共轭复根。为此，可先在实轴根轨迹 2 间用试探法求取对应的实根。 设所求实根为 S1 ,则已知 S1 = 2 时,K* = 0 ,故可取 S1 = 2.3 作试探。如图所示，可度量 S1 点与各开环极点间的离，显然对应的 L1 = 2.3 , L2 = 1.3

17、 L3= 0.3S1P3P2P1L3L2L1不是所求的值，同样可再选 应在 2.3 2.5 之间当 S1 = 2.34 时，K* = 1.06用这种方法，如果开始选的 S1 点离所求值差得很多，那么就可能要计算很多的点，这样就很麻烦了，为了更快地接近目标，可以先采一些近似估计。如对本例来说，如果开始设 S1 点在极点P3 的左侧 处 ，则就有 L3 = , L2 = + (P3- P2 ) , L1 = + (P3-P1) 现在对它们作近似处理，即认为 L2= P3-P2 ,L1= P3 - P1 ,显然，这种近似关系结果，必有大于所求的值，正好有利于确定准确的 S1 点范围。时，把这个 值反

18、回去计算对应的偏大但这样来，已经把所求的 S1 点缩小在 2 2.53 的范围内了。以后再根据 K* 的偏离程度，适当修正 值，就可以很快得到比较准确的结果。找出实根 S1 = 2.34 后，由特征方程式利用除法，把（S S1）因子提出，就可以得出另两个特征根。再解：例二、设系统开环传递函数试求 K* = 4 时，系统闭环极点值。解：P1 = 0 , P2 = 3 , P 3,4 = 1 j 无零点实轴上的分离点 d1 = 2.29 ，对应 K* = 4.3复数开环极点的起始角虚轴上的交点：013P2P1P3P41.25 2.29 系统有 4 个特征根，根据所给的 K* = 4 ,比分离点 K* = 4.3 要小，可判断出在实轴上由两个根，即系统在 K* = 4 时有两个实根和两个共轭复根。 用试探法求取实根，先有 2.29 3 之间找第一个根，设此根为 S2 ，它与 P2 = 3 的距离为 ，则 S2 对应的 K* 应为：L1 为 S2 与 P1 的长度L2 为 S2 与 P2 的长度L3 为 S2 与 P3 的长度L4 为 S2 与 P4 的长度 作近似处理来估算 ，即：以此 再代回计算得：偏小，故 应再选大些，根据偏小程度，考虑 增大引起（P2 ）和 1+（2 )2 要减小，因此 增大应比 K* 偏小的程度更高，由此可选 = 0.46 进行计算，得：就很接近了，再