2.2.1 双曲线及其标准方程…1

1、PAGE PAGE 8双曲线及其标准方程教学设计沈阳市第三十中学 刘宇竹【教材分析】圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，此三个部分在圆锥曲线中的地位相同。本章对双曲线的教学，是建立在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉的上进行的，所以讲解时采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程，最后反思应用。本课是文科选修11第2.2.1的第一课时，它是学习双曲线的性质及其应用的基础。双曲线的定义与椭圆的定义很相似，但不容易掌握而又非常重要，学习时要注意和椭圆的联系与区别，为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备，又可对学生进行运

2、动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。【教学目标】 1、知识与技能：理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法。 2、过程与方法：掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法，培养学生动手能力，分类讨论、类比的数学思想方法。3、情感态度与价值观：通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，使学生认识到比较法是认识事物掌握其实质的一种有效方法。【教学重点】双曲线的定义、标准方程及其求法。【教学难点】推导双曲线的标准方程。【教学方法】直观教学法、启发发现法。【教学过程】教学环节教 学 内 容师生互动设计意图创设情境同学们已经共同探究了第一种圆锥曲线：椭圆，包括其定义、标准方程、几何性质。从本节课开始探究

3、第二种圆锥曲线：双曲线。然后通过实际生活中的建筑物“通风塔”的外观，给我们以双曲线的直观形象，从而引入课题：双曲线及其标准方程。（教师板书课题：2.2.1 双曲线的标准方程）教师向学生介绍“通风塔”，从而引入课题，同时板书课题。使学生了解数学在实际生活中的应用，增强学习兴趣，并明确本节课重点。问题引入问题1：椭圆的定义是什么？平面内到两个定点的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。（学生回答）教师强调：（1）到两个定点的距离之和等于定长 （2）定长大于问题2：双曲线的定义是什么？带着这样的疑问到模拟实验中去寻找答案。学生回答，教师适当的补充、强调，为双曲线定义打下基础。教师抛出问题，学生

4、积极思考。通过复习椭圆的定义，及教师强调的注意事项，为类比学习双曲线埋下伏笔。探究定义【数学模拟实验】取一条拉链，如图把它固定在两点，拉动拉链。观察动点运动的轨迹？（教师几何画板演示）教师几何画板演示，学生观察并在老师的提示下思考动点具有的性质。利用几何画板展示直观明了，有助于理解，并且大大的提高了课堂效率，学生也更加感兴趣。探究定义深化定义问题1：请同学类比椭圆的定义，根据作图过程，尝试总结双曲线的定义？（小组合作探究）学生总结双曲线定义，教师提出问题，同学思考。问题2：（1）为什么是到两定点距离差等于定长呢？（2）为什么又是距离差的绝对值呢？（3）为什么又是定长小于呢？学生通过观察思考得出

5、：拉链左右两侧长度相同，所以距离差等于常数。左边那条曲线：为常数，右边那条曲线：为常数。两边之差小于第三边。师生共同总结双曲线的定义。（教师板书双曲线的定义）双曲线定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于定长2a（小于）的点的轨迹叫做双曲线。即其中：两定点焦点 焦距教师强调：（1）到两个定点的距离之差的绝对值等于定长（2）定长小于教师提出问题。问题3：（1）当无绝对值时，轨迹是什么？（2）当常数等于时，轨迹是什么？（3）当常数大于时，轨迹是什么？借助几何画板图象，同学通过思考得出结论。（教师板书）结论：（1）当无绝对值时，轨迹是双曲线的一支。（2）当常数等于时，轨迹是两条射线。（3）当常数

6、大于时，轨迹不存在。学生小组讨论，教师巡视，适当的提示。学生归纳总结，教师循序渐进抛出问题，学生思考回答，突破定义中的关键点。教师总结双曲线定义。类比椭圆，教师强调定义中的两点。教师提出问题，然后借助几何画板图象，同学通过思考得出结论。通过小组合作，培养学生合作探究问题的能力，并且体会类比思想的运用。让学生自己总结，培养学生总结问题的能力，教师循序渐进的提出问题，培养学生严谨的思维能力，也使学生能够更透彻的理解双曲线的定义，突破本节课的重点之一。以突破定义中的难点、易错点，体会类比思想。思考这三种情况，有利于学生对双曲线定义的理解，同时也培养了学生的想像能力。探究方程问题：请同学们类比椭圆求标

7、准方程的方法，建立适当的坐标系，推导双曲线的标准方程。（小组合作探究）优秀小组成果展示：通过实物投影仪向同学展示推导过程。（学生讲解，讲台交给学生）建系如图，设，由，得，令（），得，即学生自己动手推导双曲线的标准方程，教师巡视，适时参与其中。讲台完全交给学生，让他们通过实物投影仪向同学展示自己的探究成果。对于同学的讲解及其他做法给予鼓励。完全让学生推导标准方程，既可以培养学生类比的思想和动手能力，也突破本节课的重点之二及难点。通过实物投影仪让学生自己讲解推导过程，不但提高了课堂的效率，同时也能增强学生的自信心。探究方程基于以上推导，师生共同总结双曲线的标准方程。（教师同时板书标准方程）双曲线标

8、准方程：当焦点在x轴上时：其中： 焦点：，（2）当焦点在y轴上时：其中： 焦点：，师生共同总结双曲线的标准方程，并且教师强调焦点位置及a,b,c关系。为以下椭圆与双曲线的对比打下基础。深化方程对比椭圆与双曲线的标准方程。教师指出：我们已经学习了两种圆锥曲线：椭圆与双曲线，他们的“外形”及其相似，那我们又如何区分它们呢？以焦点在轴为例，请同学思考他们的不同之处？学生思考回答，师生共同总结：椭圆： 双曲线：椭圆中：“+”，双曲线中：“-”椭圆中：（a最大）双曲线中：（c最大）判断焦点位置的方法：椭圆中：谁正 双曲线中：谁大教师提出问题“思考椭圆与双曲线的不同之处”。学生思考总结。通过对椭圆与双曲线

9、的对比，使学生更加深刻的掌握椭圆与双曲线，以免混淆。新知运用归纳总结：求双曲线的标准方程的一般步骤为：（1）定型，（2）定值。例1：根据下列条件，求双曲线的标准方程。（1）两个焦点坐标分别是，双曲线上的点与两个焦点的距离之差的绝对值等于8。（2）两个焦点坐标分别是 , 且双曲线经过点。 ：此题两种解法（1）定义法： （2）待定系数法：设教师总结求双曲线的标准方程的一般步骤，并带领同学分析例题的解法。此题给出教材中的两种解法。先总结解题方法，使学生在思考问题时思路更加清晰。主要设计求标准方程的问题，以强化本节课重点。一题多解，培养学生能够灵活运用知识的能力。反馈练习1.求时双曲线的标准方程。（注意焦点位置）2.已知双曲线， 如果此双曲线上一点P与左焦点 的距离等于16，求点P与右焦点的距离。（考察定义） 学生独立完成。检验本节课学习效果，培养独立解决问题的能力。课堂收获问题：下面请同学们回忆一下，本节课使你在知识上和思想方法上都有哪些收获？知识上：双曲线的定义及标准方程。（2）思想方法上：类比的思想方法。师生共同对本节课所学知识及思想方法进行总结提炼。让学生学会学习，学会反思，学会总结。巩固作业必做题：教材练习A：1（1）（2），2 练习B