工程力学第7章课件

1、第7章 扭转7.1扭转的概念 工程中有些杆件如车床中的主轴、传动轴,汽车方向盘下的转向轴AB(图7-1a)、攻螺纹用丝锥的锥杆(图7-1b)等,均属于受扭转的杆件。图7-1 它们都有相同的受力特点和变形形式,从而均可抽象为如图7-2所示的力学模型。由图可见,它们的受力和变形特点是:在杆件的两端作用有两个大小相等、转向相反,且作用面垂直于杆件的轴线的力偶,致使杆件的任意两个横截面发生绕杆轴作相对转动的变形。这种变形称为扭转。扭转时两个横截面相对转动的角度,称为扭转角,一般用表示(图7-2)。以扭转变形为主的杆件通常称为轴。截面形状为圆形的轴称为圆轴,圆轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。图7-2

2、7.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 工程中作用于轴上的外力偶矩有时并不直接给出,而往往给出轴的转速和所传递的功率,它们的换算关系为式中,Me为外力偶矩,单位为Nm(牛米);P为轴传递的功率,单位为kW(千瓦);n为轴的转速,单位为r/min(转/分)。7.2.1功率、转速和外力偶矩间的关系 对于图7-3a所示的圆轴,为分析其内力,按截面法,在轴的任一横截面nn处假想地把圆轴截开分成左、右两部分,保留左部分,考虑其平衡。在外力偶矩Me作用下,截面nn上必有与Me转向相反的内力偶,设其矩为T(图7-3b),由平衡条件得 内力偶矩T称为扭矩。7.2.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 扭矩的符号规定如下:按

3、右手螺旋法则,用拇指指向表示T的矢量方向,当扭矩方向与截面的外法线方向一致时定为正号,相反时为负号(图7-4)。按照这一符号规定,图7-3b中所示扭矩T为正。当保留右部分时(图7-3c),所得扭矩的大小、符号与按保留左半部分的计算结果相同。图7-4 若作用于轴上的外力偶矩多于两个,则在轴各段的横截面上,扭矩不尽相同,这时往往用图线形象地表示截面上扭矩沿轴线变化的情况。如以平行于轴线的坐标表示横截面的位置,垂直于轴线的坐标表示相应截面上的扭矩,这样绘成的图形称为扭矩图。图7-3d为图7-3a所示轴的扭矩图。7.3薄壁圆筒的扭转切应力互等定理 剪切胡克 定律 薄壁圆筒指的是壁厚远小于其平均半径r0

4、的圆筒(图7-6a)。当其两端作用一对大小相等、转向相反的外力偶矩Me时,即发生扭转变形。 在施加外力偶矩之前,可先在圆筒表面上画出一系列纵向线和距筒端稍远处的圆周线。施加外力偶矩Me后,当圆筒产生不大的扭转角(图7-6c)时,可以观察到如下现象:7.3.1薄壁圆筒的扭转切应变的概念图7-61) 各圆周线形状、大小和间距均无改变,只是绕轴线相对旋转了不同的角度。2) 各纵向线均倾斜了同一微小角度。 由于圆筒沿纵向和周向均无尺寸改变,且筒沿这两个方向的变形并未受到约束,故它沿纵向和周向将不会有正应力。 若以筒的横截面及径向截面从筒中截取微小的直角六面体abcd如图7-6d所示,则上述角度就是此微

5、小直角六面体上原矩形abcd的直角改变量。这种直角改变量称为切应变。 直角六面体发生切应变,在它的侧面上必有切应力作用,根据切应变的倾斜方位,可以断定切应力的方向与过该点的半径垂直,其指向顺同T的转向。由于所有纵向线的倾角相同,说明沿圆周上各点的切应变相等,因而可知在同一圆周上各点的切应力也大小相等。由于筒壁很薄,故可近似地认为切应力沿壁厚均匀分布,如图7-6e所示。 在横截面上取一微面积dA=r0d,则作用在其上的微内力为dA(图7-6e)。由静力分析可知,在整个截面上所有这些微内力矩之和即为截面上的扭矩T,即得薄壁圆筒截面上切应力的计算公式为从几何关系可得式中,为筒两端面的扭转角;、r、r

6、0、L的含义见图7-6a。 将图7-6d中微小直角六面体尺寸取为ab=dy,bc=dx,厚度用dz表示,即如图7-7所示。称该微小直角六面体为单元体。图7-77.3.2切应力互等定理 由力偶的平衡条件可得 =(7-4) 此式表明,通过物体内一点处两个互相垂直的截面上垂直于两截面交线的切应力,必然数值相等,其方向均指向或背离此交线。这一关系称为切应力互等定理。 图7-7所示单元体的四个侧面上,只有切应力而无正应力,这种情况称为纯剪切应力状态。切应力互等定理虽然是以纯剪切的情况证明的,但是当单元体上同时存在正应力时,仍然成立,它是具有普遍意义的。 从薄壁圆筒的扭转试验可以得到与拉伸图相似的T-图(

7、图7-8),其中有一部分是直线,利用式(7-2)、式(7-3)即可以从此图得到切应力与切应变间的关系图线(图7-9),其中,直线部分说明与成正比,即有 =G(7-5)7.3.3剪切胡克定律图7-8图7-9 这一关系称为剪切胡克定律。式中,比例常数G称为材料的切变模量,它反映了材料抵抗剪切变形的能力。G值也随材料而异,可由试验测定。G和E的单位和量纲相同。 图7-9中直线部分最高点的切应力值称为剪切比例极限,用p表示,其值也随材料而不同,需由试验测定。当切应力超过这一极限值时,式(7-5)所表达的关系不再成立。7.4圆轴扭转时的应力和变形1.几何方面图7-10如果认为轴内变形与其表面变形相似,那

8、么可以假定:变形后横截面仍保持平面,其形状、大小与间距均不改变,半径仍为直线,此假设称为圆轴扭转的平面假设。7.4.1圆轴扭转时横截面上的应力 根据上述假设,若用相距dx的两个横截面以及夹角无限小的两个径向截面从轴中切取一楔形体O1O2ABCD(图7-11a)则其变形如图7-11b所示,轴表面矩形ABCD变为平行四边形ABCD,距轴线处的矩形abcd变为平行四边形abcd,即均产生剪切变形。图7-11 设所切楔形体左、右两截面间相对转角即扭转角为d(DO2D),矩形abcd的切应变为dad,则由图中可以看出或式中, 代表扭转角沿杆轴的变化率。对于同一截面, 为常数,可见切应变与成正比。2.物理

9、方面 由剪切胡克定律可知,在线弹性范围内 =G将式(a)代入上式,得横截面上半径为处的切应力为其方向则垂直于半径(图7-11c),因为剪切变形发生在垂直于半径的平面内。 式(b)表明:圆轴横截面上的扭转切应力与到轴心的距离成正比,即切应力大小沿半径方向按直线规律变化;在离圆心等远的各点处,切应力值均相等。实心圆截面轴和空心圆截面轴的扭转切应力分布情况分别如图7-12a和图7-12b所示。图7-123.静力学方面图7-13如图7-13所示,在距圆心处的微面积dA上作用微剪力dA,它对圆心的微力矩为dA。在整个横截面上,所有这些微力矩之和应该等于该截面上的扭矩T,因此将式(b)代入上式,并令则由此

10、得 此即圆轴扭转变形的基本公式。式中,Ip称为圆截面的极惯性矩,它是一个只与横截面几何尺寸有关的量。式(7-8)为圆轴扭转时,横截面上任意一点处切应力计算公式。Wt称为抗扭截面系数,是一个仅与横截面几何尺寸有关的量。圆轴的最大扭转切应力从式(7-7)得当两横截面间扭矩T为常量,且轴为同一材料等截面圆轴时,对上式沿x轴积分即为上式所求扭转角的单位为弧度。由上式可见GIp越大,在同样扭矩作用下,扭转角越小,所以称GIp为圆轴的抗扭刚度。7.4.2圆轴扭转时的变形计算实心圆截面轴Ip的量纲为L4,Wt的量纲为L3。7.4.3极惯性矩与抗扭截面系数7.5圆轴扭转时的强度和刚度计算 为保证轴安全地工作,

11、要求轴内最大切应力必须小于材料的许用扭转切应力,因此圆轴扭转的强度条件为7.5.1强度计算式中的许用扭转切应力,是根据扭转试验并考虑适当的安全因数确定的。它与许用拉应力有如下的近似关系:对于塑性材料=(0.50.6)t对于脆性材料=(0.81.0)t由式(7-7)有为保证轴的刚度,通常规定单位长度扭转角的最大值max不能超过许用单位长度扭转角,即式(7-16)称为扭转刚度条件,式中,的单位为rad/m(弧度/米)。7.5.2刚度计算7.6非圆截面杆扭转简介 实验表明,非圆截面杆受扭后横截面已不再保持平面,而变成了曲面,这一现象称为截面翘曲,如图7-17b所示为矩形截面杆(图7-17a)受扭后的变形情况。图7-17 经研究表明:矩形截面杆扭转时横截面上切应力分布规律如图7-17c所示。在图中画出了沿横截面边缘和对称轴上的切应力分布情况。从图上可见,截面边缘各点处的切应力的方向均平行于周边(或与周边相切);角点和中心处切应力为零,最大切应力max发生在长边中点A处;在短边中点B处的切应力也有相当大的数值。其计算公式如下:最大切应力短边中点处的切应力单位长度扭转角式中,hb2为矩形截面的抗扭截面系数;hb3为矩形截面的相当极惯性矩;h、b分别为长边和短边的长度；、为与截面尺寸有关的因数,其值与边长比h/b有关,可从表7-1中查得。1.01.21.52.02.53.04.06.