高中数学题型全面归纳（教师版）：10.4曲线与方程45

1、 第四节 曲线与方程考纲解读了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，理解曲线与方程的概念命题趋势探究从内容上看，求曲线的方程是解析几何的基本问题之一，是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，一般与平面向量结合。从形式上看，以解答题为主，难度中档。从能力要求上看，高考中注重考查学生的逻辑思维，运算，分析和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，恰好能很好的反映学生在这些能力方面的掌握程度。预测2019年高考中，求曲线方程的题目若出现在主观题中，则综合性比较强，属于较南题：若出现在客观题中，则通常可以利用圆锥曲线的定义解题，为容易题。轨迹问题是每年必考内容之一，求解方程比较有规律，难度以中

2、等偏难为主。知识点精讲一、曲线的方程和方程的曲线 在直角坐标系中，如果是某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线。事实上，曲线可以看作一个点集，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集，上诉定义中 二、直接法求动点的轨迹方程 利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：建系-建立适当的坐标系设点-设轨迹上的任一点 列式-列出有限制关系的几何等式代换-将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其

3、转化为的方程式化简证明（一般省略）-证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）。简记为：建设现代化，补充说明。注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线。题型归纳及思路提示题型146 求动点的轨迹方程思路提示：动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解，所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标所满足的等量关系式，通常的方法有直译法，定义法，相关点法（代入法），参数法。一、直译法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲

4、线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。例10.30 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于，求动点的轨迹方程。分析 设点，将题设中直线与斜率之积等于翻译成含的等式。解析：因为点与点关于原点对称，所以点的坐标为，设点，由题意得，化简得 ，故动点的轨迹方程为变式1 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦MN的长为8，求动圆圆心的轨迹的方程解析 如图10-68所示，设动圆圆心，由题意，当不在轴上时，过作交MN于H，则H是MN的中点，所以，又，所以，化简得当在轴上时，过作O重合，点的坐标为，也满足方程，所以动圆圆心的轨迹C

5、的方程为变式2 在平面直角坐标系中，已知点点在直线上，点满足，点的轨迹为曲线，求的方程。解析 设，因为，M点满足，所以，由题意可知，即，即。变式3 （2017课标II，理）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足，求点P的轨迹方程；解析设,设, 。由得。因为在C上，所以。因此点P的轨迹方程为。二、定义法 若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。例10.31 和是平面上的两点，动点满足 ，求点的轨迹方程.分析 动点满足，则动点满足椭圆定义解析 因为，所以由椭圆定义，动点的轨迹是以和为焦点

6、，长轴长为6的椭圆，设椭圆方程为 ，则有 ，半焦距 ，所以 ，所以所求动点的轨迹方程为评注：椭圆的定义：在平面内到两定点 的距离和等于定长（大于 ）的点的轨迹是椭圆。对于圆，曲线，双曲线的定义也应熟记。变式1 设圆 与两圆 重点 一个内切，另一个外切，求的圆心轨迹的方程。解析 设圆C的圆心为C（），半径为，由题意可知两圆的圆心分别为，半径均为2，因为圆C与两圆中的一个内切，另一个外切，所以或，所以，即圆C的圆心轨迹L是双曲线。设C（）的轨迹L的方程为，则，圆C的圆心轨迹L的方程为。变式2 已知动圆与定圆外切，又与定直线 相切，那么动圆圆心的轨迹方程是 分析 动圆P与定圆C相外切，又与定直线相切

7、，可得P到定点C（-2，0）的距离等于到直线的距离。解析 如图10-69所示，设动圆P的半径为，点P到定点C的距离等于，又点P到直线的距离|PD|等于，易知点P只能在直线的左侧。将直线相右平移1个单位得到，则点P到定点C（-2，0）的距离等于P到定直线的距离。这样点P的轨迹为抛物线，该抛物线的焦点为（-2，0），准线方程为，则方程为。评注 若动点到定点的距离比动点到定直线的距离大或小一个正常数，且这个正常数小于定点到定直线的距离，我们可以通过平移定直线使动点轨迹的描述与抛物线定义吻合。变式3 已知平面内一动点到点 的距离与点到轴的距离的差等于1，求动点的轨迹的方程。解析 设动点P，由题意有，即

8、，当时，；当时，所以动点P的轨迹C的方程为和例10.32 如图10-15所示，为椭圆的左，右焦点，为椭圆上任因点，过焦点 向 的外角平分线作垂线，垂足为，并延长交 于点 ，则点的轨迹方程是 ，点的轨迹方程是 分析 由平分 ，得，易得到 故 解析 因为 ,所以 故 ,又为中点,所以 , ,则点的轨迹为以为圆心,2为半径的圆,故点的轨迹为 ,同理,点的轨迹是以 为圆心,4为半径的圆,故点的轨迹方程为评注: 在应用角平分线性质的同时,要会很好的结合已知曲线的定义,这里用到了圆的定义以及椭圆的定义.变式1 已知 是双曲线的左，右焦点，是双曲线上任一点（不是顶点），从焦点引的平分线的垂线，垂足为，则动点

9、的轨迹方程所在的曲线是（ ）A直线 B圆 C椭圆 D双曲线解析 延长F1P交QF2于点A，连接OP。如图10-70所示，因为PQ平分，所以PF1=PA，点P平分F1A，所以OP，故点P到原点O的距离为定长，所以点P的轨迹为圆的一部分：。故选B变式2 已知点为双曲线又支上异于顶点的任一点，连接 ，作的内切圆，其圆心为，则动圆圆心的轨迹所在的曲线是（ ）A直线 B圆 C椭圆 D双曲线解析 如图10-71所示，点P为双曲线右支上异于顶点的任一点，故。据圆内切于，那么，那么可转化为，得，即，那么Q点为双曲线的右顶点，连接，则轴，那么动圆圆心的轨迹所在曲线是直线。故选A。变式3 如图10-16所示，在正

10、方体中，是侧面内一动点，若到直线与到直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ）A直线 B圆 C双曲线 D抛物线解析 如图10-72所示，连接，作于M，动点P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，可转化为动点P到定点C1的距离等于到定直线BC的距离，满足抛物线的定义。故选D.评注 以空间几何体为载体，考查平面动点轨迹问题，目的是考查学生的空间想象能力以及分析问题的能力，体现了高考数学在知识的交汇处命题的思想以及数形结合思想的应用。三、相关点法（代入法）有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系

11、式。例10.33已知为椭圆上的点，点坐标为，有 求点的轨迹方程。分析 本题已知（相关点）在椭圆上，点坐标已知，只需用点的坐标表示点的坐标，然后代入椭圆方程便可解出。解析 设， 因为，故 即 代入 得 ，因此点的轨迹方程为 评注 关键在于用点的坐标表示点的坐标，然后根据点所满足的方程就可求得动点的轨迹方程。变式1 如图10-17所示，设是圆 上的动点，点是在轴上的射影，为上一点，且，当在圆上运动时，求点的轨迹的方程. 解析 设M的坐标为，P的坐标为，因为M为PD上一点，且|MD|=|PD|，所以，又P在圆上，所以，即，故点M的轨迹C的方程为。变式2 如图10-18所示，已知是椭圆 上两动点，且直

12、线 与的斜率之积为 （其中为坐标原点），若点满足 ，问：是否存在两个定点 ，使得 为定植？若存在，求的坐标：若不存在，说明理由。解析 设，因为直线OM与ON的斜率之积为，所以，即， 由，得，即， 因为点M，N在椭圆上，所以，故把代入上式得，即，所以点P在椭圆上（其中。由椭圆定义知：存在两定点（即椭圆的焦点），使得为定值。变式3 如图1019所示，抛物线 ，点在抛物线上，过作的切线，切线为（为原点时， 重合于），当时，切线的斜率为。（1）求的值（2）当 在 上运动时，求线段中点 的轨迹方程。分析 （1）利用导数及切线MA斜率确定切点A的坐标，进而确定点M的坐标，代入抛物线方程确定的值；（2）设出

13、点A,B坐标，利用相关点法，确定动点轨迹方程。解析 （1）因为抛物线上任意一点的切线斜率为，且切线MA的斜率为，所以A点的坐标为，故切线MA的方程为。因为点M在切线MA及抛物线上，于是，由得。（2）设,由N为线段AB中点知， 切线MA，MB的方程为， 由得MA,MB的交点M的坐标为。因为点M在上，即，所以 由得。当时，A,B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足。因此AB中点N的轨迹方程为。四、参数法 有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，

14、我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响。例10.34设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点，点 是坐标原点，点满足，求动点的轨迹方程。分析 动点因而动，点因直线而动，直线过定点，故因其斜率（倾斜角）而动，故引如参数-斜率 解析 设 因为，所以 当直线斜率存在时，设斜率为k则 ，由 得 即 则有 ，故 ， 得出

15、即 ，所以 ，解出 化简得 整理得 (2)当直线的斜率不存在时， ，将代入等式成立综上（1）（2）得，点的轨迹方程为评注 动点的坐标随着变量斜率的变化而变化，故利用设参消参的方法求出轨迹方程，千万要注意，当动直线斜率可变化时，一定要讨论斜率的存在与否，历年高考在该处屡考不鲜。变式1 已知过点 的直线与椭圆交于不同的两点，若， 求点的轨迹方程。分析 动点P的轨迹随A，B坐标的变化而变化，A,B两点的变化是直线斜率的变化而引起的，故选取直线的斜率作为参数来求解动点P的轨迹方程。解析 依题意知，直线的斜率一定存在。若直线斜率为零，即为轴时，则点P为（0，0）；当直线斜率存在且不为零时，设斜率为，则。

16、设，由题意可得。，消去，整理得。（因为点D在椭圆外，需考虑判别式）要使得与椭圆有两个不同的交点，得，即，解得。，所以，两式相除得，即，代入得，整理得。点（0，0）也满足，综上所述，点P的轨迹为。评注 在圆锥曲线中涉及直线与圆锥曲线位置关系时，一般都联立直线与圆锥曲线方程，再用韦达定理，该法非常普遍和实用。变式2 （2016高考新课标3理数）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.解析：设与轴的交点为，则.由题设可得，所以（舍去），.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方

17、程为.最有效训练题45（限时45分钟）已知定点不在直线 上，则方程表示一条（ ）A过点且垂直于的直线 B 过点且平行于的直线 C 不过点但垂直于的直线 D 不过点但平行于的直线2过点的直线分别与轴和轴的正半轴交于，点与点关于 轴对称，为坐标原点，若 且，则点的轨迹方程是（ ） A B C D 3动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（ ） A B C D 4已知椭圆，为椭圆上一动点， 为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹是（ ） A 圆 B 椭圆 C 线段 D 一段抛物线5线段的长度是10，它的两个端点分别在轴，轴上滑动，则中点的轨迹方程是（ ） A B C D 6如图10-21所示，

18、已知点，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ） A B C D 7（2017黑龙江哈师大附中三模）已知圆，过点作直线交圆于两点，分别过两点作圆的切线，当两条切线相交于点时，则点的轨迹方程为_8在ABC中，A为动点，B、C为定点，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，0)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，0)(a0)，且满足条件sin Csin Beq f(1,2)sin A，则动点A的轨迹方程是_9过定点任作互相垂直的两直线与，且与轴交于点，与轴交于点，则线段中点的轨迹方程为 10已知P是椭圆eq f(x2,a2)eq

19、 f(y2,b2)1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，eq o(OQ,sup16()eq o(PF1,sup16()eq o(PF2,sup16()，则动点Q的轨迹方程是_11（2016高考新课标1卷）（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；（ = 2 * ROMAN II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.最有效训练题451.B 解析 因为不再直线上，所以.

20、所以方程表示的直线与平行。又，所以点在方程表示的直线上，即直线过点P。故选B。2.D 解析 设，由，得，即。，得。故选D。3.C 解析 依题意，设AB的中点，满足点P到线段OB中点的距离为，则，即。故选C。4.B 解析 设点，则，得代入椭圆方程中，得，即线段MF1的中点P的轨迹是椭圆。故选B。5.B 解析 依题意，线段AB中点P满足|OP|=5，故点P的轨迹方程是，故选B。6.A 解析 设另两个切点为E,F，如图10-21所示，则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NF|=|NB|。从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=20且y0)9.解析 解法一：（直接法）当直线AM斜率存在时，设P，则，于是。因为，所以。整理化简得。当直线AM轴时，此时MN的中点也满足上述方程，所以所求点P的轨迹方程为。解法二：（代入法）设,则。因为，所以，化简得所以所求点P的轨迹方程为。解法三：（参数法）（1）当不平行于轴时，设的斜率为，依题意，因为，所以的斜率为。的方程为，的方程为，在中令，得M点的横坐标，在中令，得N点的纵坐标，设MN中