2022高考总复习 数学(人教A理一轮)5.3　平面向量的数量积与平面向量的应用

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI5.3平面向量的数量积与平面向量的应用第五章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破03素养提升微专题5 数学运算平面向量与三角形的“四心”必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.平面向量的数量积2.向量数量积的运算律交换律ab=ba分配律(a+b)c=ac+bc数乘结合律(a)b=(ab)=a(b) (为实数)定义设两个非零向量a,b的夹角为,则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积,记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影,|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积

2、ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为.4.向量在平面几何中的应用 常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)(a-b)=a2-b2.(2)(ab)2=a22ab+b2.2.当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|.3.a与b的夹角为锐角,则有ab0,反之不成立(为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角.()(3)若ab=0,则必有ab.()(4)(ab)c=a(bc

3、).()2.(2020全国3,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,ab=-6,则cos=()答案 D A.-3B.-2C.2D.3答案 C 4.(2020全国1,文14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,则m=.答案5解析由ab,可得ab=1(m+1)+(-1)(2m-4)=0,解得m=5.5.(2020全国2,理13)已知单位向量a,b的夹角为45,ka-b与a垂直,则k=.关键能力 学案突破考点1平面向量数量积的运算(2)以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,思考求向量数量积的运算有几种形式?解题心得1.求两个

4、向量的数量积有三种方法:(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即ab=|a|b|cos (其中是向量a与b的夹角).(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(3)利用数量积的几何意义.数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.考点2平面向量的模及应用【例2】 (1)(2020陕西二模,文3)已知向量a=(1,-1),b=(x,2),且ab,则|

5、a+b|的值为()答案 (1)D(2)5 思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法?解题心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用 及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义求解.2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.答案 (1)D(2)D 考点3平面向量数量积的应用(多考向探究)考向1求平面向量的夹角【例3】 (1)(2019全国1,理7)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a

6、-b)b,则a与b的夹角为()思考两向量数量积的正负与两向量的夹角有怎样的关系? 答案 (1)B(2)C解析 (1)因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2.设a与b的夹角为,考向2求参数的值或范围 思考两向量的垂直与其数量积有何关系? 答案 B 考向3在三角函数中的应用【例5】 (2020河南高三质检,17)已知向量a=(2sin x,-sin 2x),b=(-2 sin x,2),函数f(x)=ab+2 +1.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的单调递减区间.思考利用向量求解三角函数问题的一般思路是什么?考向4在解析 几何中的应用【例6】 (2

7、020全国3,文6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若 =1,则点C的轨迹为()A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线思考在向量与解析几何相结合的题目中,向量起到怎样的作用?答案 A解析 以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.解题心得1.数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角;数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角.3.求一向量在另一向量上的投影有两种方法:一是利用向量投影的概念求,二是利用向量的数量积求.4.解决与向量有关的三角函数问题的一般思路是应用转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化

8、为三角函数问题.5.向量在解析几何中的作用(1)载体作用:解决向量在解析几何中的问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题.特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.(2)因为a=(1,1),b=(-1,3),所以a-b=(1+,1-3).又因为(a-b)c,c=(2,1),所以2(1+)+(1-3)=0,即2+2+1-3=0,解得=3.要点归纳小结1.平面向量的坐标表示与向量表示的比较:已知a=(x1,y1

9、),b=(x2,y2),是向量a与b的夹角.要点归纳小结2.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.4.向量在三角函数中的应用对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形等问题.5.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件,通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来解答.要点归纳小结6.向量在物理中的应用物理学中的力、速度、位移都是

10、矢量,它们的分解、合成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=|F|s|cos (为F与s的夹角).1.根据两个非零向量夹角为锐角或钝角与数量积的正、负进行转化时,不要遗漏向量共线的情况.2.|ab|a|b|当且仅当ab时等号成立.3.注意向量夹角和三角形内角的关系.素养提升微专题5 数学运算平面向量与三角形的“四心” 1.平面向量与三角形的“重心”问题A.ABC的内心B.ABC的垂心C.ABC的重心D.AB边的中点答案 C 2.平面向量与三角形的“垂心”问题 答案 B 3.平面向量与三角形的“内心”问题 答案 B解析 根据向量加法的平行四边形法则可知,动点