离心率问题02教师版

1、离心率问题02 教师版椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B,P、Q在椭圆上，PD L于D,QFL AD于F,设椭圆的离心率为e,则e=3e=)e=Oe=，| PD| BF | BO| BA | AO|评：AQP椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。2a I AO| =a, | OF | =c, . 有； | AO| =a, | BO| = 一. .有。

2、c22题目1:椭圆，+、L=1(ab 0)的两焦点为Fi、F2 ,以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边,则椭圆的离心率e?AE的中点B,连接BFi ,把已知条件放在椭圆内，构思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取 造 FiBFa分析三角形的各边长及关系。解：|F1F2 I=2c 1BFiI =c 1BF2 1=V3cc+/3c=2a. . e=-c=,-1a22Fi、F2 ,点P在椭圆上，使 OPF为正三角形，求椭圆离变形1：椭圆，l +=1(ab 0)的两焦点为心率？解：连接 PF2 ,则 | OF I = I OF I = I OP| , / F1PF2

3、 =90 图形如上图，e=b 0)的两焦点为 F1、F2 , AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且 PF1 XX轴，PF2 /AB,求椭圆离心率?解： | PF1 I = | F2F1 a| =2c | OB| =b I OA| =a, PF2 / ABI PF1 I _ _b1F2 Fi i = a又 b= 1Ja2-c2a2=5c2 e=点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形22题目2：椭圆，+、L=1(ab 0) , A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，/ ABF=90 ,求e?解：| A

4、0| =a | OF| =c | BF | =a | AB | =a2+bsin75 +sin15 2变形1:椭圆，+ y-=1(ab 0)的两焦点为 F1值范围?分析：上题公式直接应用。解：设/ F1F2P= ,则/ F2F1P=120 - a ,_ sin F 1PF2sin60 1 122eb 0) , e=一2, A 是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求/ ABF?点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90引申：此类e=51的椭圆为优美椭圆。性质：1、/ABF=90。2、假设下端点为 B ,则ABFB四点共圆。3、焦点与相应准线之间

5、的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。22题目3:椭圆+ Vb=1(ab 0),过左焦点F1且倾斜角为60的直线交椭圆与 AB两点，若 | F1A | =2 | BF1 | ,求 e?解：设 I BF1 | =m 贝U | AF? | =2a-am | BF2 | =2a-m在AF1F2及BFE中，由余弦定理得： 错误！未找到引用源。a2 c2=m(2a-c)、一 2(a 2-c 2)=m(2a+c)两式相除亲=2| F1F2 II F1PI + I PF2 I=sin F 1PF2SinF 1F2P+si

6、n PF 1F2变形得点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知sin F 1PF2 e=sin F 1F2P +sin PF 1F22= e=o322题目4：椭圆，+=1(ab 0)的两焦点为 F1 (-c, 0)、F2 (c,0) , P是以I F1F2 I为直径的圆与椭圆的一个交点，且/ PF1F2 =5/PEE ,求 e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。“,、-I F1F2 II F1PII PF2 I , ，一解：由正弦定理：而中T = sin F 1F2P=淅至根据和比性质:I F1F2 Isin F 1PE2cI PF2 I + I F1P I = sin F

7、1F2P +sin PF 1F2 =2a / PF1F2 =75 / PF2F1 =15sin90 (-c, 0)、F2 (c,0) , P 是椭圆上一点,且/F1PF2 =60 求 e 的取=1 (t0) F1F2为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点(M不与长轴两端点重合)设/PF1F2_ 4 1. a .=a , Z PF2F1 = 3 右 “tan *tanR 1E六2，求e的取值范围?解;根据上题结论e=sin Fsin F 1PF2sin( a + 3 )1F2P +sin PF 1F2sin a +sin 32sin2sina + 32cos+cosa + 32a - 32acos 2

8、- cos3.2-sinacos -2-cos，一.a 3+sin 三sin 1- tan=ea 32-tan 1 1-e13 1+e 21 1eb 0),斜率为1,且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于 A、B两点，OA+OBf a =(3,-1)共线，求e?法一：设2cx+a2c2-a 2b2=02a2c-2b 2c2a2c ,X1+X2=a2+b2法二：设2 X1 + a2 X2 + aAB的中点N,2y121bOAOB=(x 1+X2,y 1+V2)与则 2ON=OAhOB-得：厚(3, -1 )共线,则-(X1+X2)=3(y 1+y2),即a 2=3b2e=32 b 2 aX1 +X 2y

9、 1+y22/ b , c、 - 1=- f(-3)既 a2=3b2分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。22题目6:椭圆 9+9=1(ab 0)的两焦点为Fi (-c, 0)、F2 (c,0),满足MR MF2 =0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？分析：: MR-MR =0 .以F1F2为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。a2=b2+c2 2c20eb 0)的两焦点为Fi(-c, 0)、F2(c,0) ,P为右准线L上一点，FiP的垂直平分线恰过F2点，求e的取值范围？分析：思路1,如图FiP与F2M垂直，根据向量垂直，找 a、b、c的不等关系。思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求 e2aa?-cb 2-a2解法一：F1(-c,0)F 2 (c,0) P(氏y。) M( -r，?)即(羡，yT)则 PF =-(失+c, y 0 )c22 2c 2cMF =-(b2y02cC,丁)PFiMF =0/c, yo )cb 2 .( 2c-c,y。T)=03e